1、第 1 讲第 一 章 基 本 概 念13 集合、映射及代数运算 （2 课时）（Sets mapping and algebra operation ）本讲教学目的和要求：本讲主要介绍本书中将用到的有关集合、映射和代数运算的一些基本知识和基本概念。要求学生掌握以下概念：1、元素属于（不属于）集合与集合包含（不包含）另一集合的区别。2、子集、真子集；集合的运算（交、并、差、补、布而和等） 。3、映射的定义，元素关于硬是个的象、逆象。单射、满射、双射及卡氏（ ）积。cartesin4、代数运算（包括 ）ADBA到和到 本讲的重点和难点：代数运算（二元运算）的掌握及映射概念的把握。尤其是掌握各类映射（
2、单射、满射及双射）的定义、陈述。本讲的教法及教具：使用投影仪和展示台。在教学过程中充分启发学生进行思考和提问。本讲思考题：蕴涵在教学过程中。布置作业： 。)2(;)1;(964P教学内容及过程：一、集合定义 1：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集） 。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元） 。例 1：师院 99 级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集。而每个学生就称为这个集中的元素。定义 2：没有元素的集合叫做空集，记为 ，且 是任一集合的子集。例 2：一切满足方程 的实数组成的集合是空集。012x（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。例 3：“由我院胖子组
3、成的集合”这不能组成一个集合。 （违反了确定性）例 4：集合中的元素要求两两互异。即：1，2，2，3=1，2，3 。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母 A，B，C表示集合，习惯上用小写拉丁字母 a，b，c表示集合中的元素。若 a 是集合 A 中的元素，则记为 。Aa否 则 记 为,表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例 5：A =1，2，3，4 ，B=1，2，3，100 。2、描述法： 元素 具有的性质。)(,xp例 6： 。显然例 6 中的 A 就是例 5 的 A。41aZA且3、绘图法：用文氏图（ ）可形象地表现出集合的特征DiagrmVen及集合之间的关系。例 7：利用例 5
4、 的 A 和 B，可构制出文氏图：（3）集合的蕴含（包含）定义 3：若集 B 中每个元素都属于集 A，则称 B 是 A 的子集，记为，否则说 B 是 A 的子集，记为 . AB思考题 1：如何用语言陈述“ ”？AB定义 4：设 ，且存在 ，那么称 B 是 A 的真子集，否ABa但则称 B 不是 A 的真子集。思考题 2：若 ，但 B 不是 A 的真子集，这意味着什么？定义 5：若集合 A 和 B 含有完全一样的元素，那么称 A 与 B 相等，记为 A=B.结论 1：显然， .A且（4）集合的运算集合的并： BxBA或集合的交： BxAB且集合的差： 且集合在全集内的补： xE且集合的布尔和（对
5、称差）： )()()()( BABAxBAxB 但或集合的卡氏积： ba且),注： 中的元素可看成由 A 和 B 坐标轴所张成的平面上的点。BA卡氏积的推广： miAaaAAmimmii ,21,),( , 21211 ：成 的 卡 氏 积 为个 集 合 ， 那 么 由 它 们 做是令对上述集合运算，可以得到一批基本公式：ABABEAECABCCABB)(;)()6(;5 .;4 )()()()()()()3;2.;1吸 收 律 ： 思考题 3：（1） 那 么 ：设 ,42,51,4,52,1CE； ；BABA； ；C)( （2）证明等式： )()()( CBABA（3）设有集合 A，B ：若
6、 ，则 A 与 B 有什么关系？若 ，则 A 与 B 有什么关系？二、映射：定义 6：设 是集合 A 到 B 的一个对应法则：如果对 A 中任一元素a，关于 都有 B 中的元素 b 与其对应，那么称法则 是由 A 到 B 的一个映射。其中，记 ，b 是 a 关于 的象，a 是 b 在 下的逆象。)(映射的分类：设 的 映 射 。到是 BAf:（1）单射（一对一映射） 单 射 ）， 则 称， 则若或 ： 设 单 射， 那 么 称则若设 faffaAaff )(,( ),(212121 （2）满射（映上的）：是 满 射 。 ）则（ 或 满 射则 称使都 存 在 ffBffbb),(),(,（3）双
7、射（一一对应）若 f 既是单射又是满射，则 f 是双射。(或 )是 双 射则使都 存 在 唯 一 的 fabAaBb),(, 思考题 4：试说一说：当 f 不是单射；不是满射；时该怎样叙述？例 8 （ ） ；注意 （ ）5P6P映射的相等： 。是 相 等 的 ， 记 为与， 那 么 称都 有如 果 是 映 射都设 gfgfagfAaBf )( :,:三、代数运算：设给定 ，DAfDAmm 2121 :的 映 射到如果 n=2 时，f 就叫做代数运算。一般地有定义 7：任一个 的映射都叫做 的一个代数运算。B到 B到事实上，我们都接触过代数运算。例 9： 6)10,4(5)3,2(:,),(:
8、fffbafZf 就 是 整 数 内 的 加 法故 知设为方便起见，以后凡是代数运算都不用映射符号等。“, ， 而 是 用gf例 10：（整数内的减法） ,48,527,: 即则 baZ上述的例子都是 的情形，一般情况下，有DBA例 11（ ）8P注意：（ ）代数运算表：当 都是有限集时，那么 的每一个代数运算BA, DBA到都可以用运算表表示。设 ，则运算表为：mnba,2121 1b2m1a2na ab1 12m 1b2anmnb注：对于代数运算 的运算表，要求 中元素在上表中的DABBA与位置互换。在实际工作中，更多的是 的情形，这时，有如下定义：定义 8：若 的代数运算，则可称 是 的代数运算或称A到是 A对 是封闭的。A课堂练习：which of the following rules are algebra operations on the indicated set?1、 .,Qsethonab2、 .0l xandRx3、 .,2Rsethonbequtiotfris 4、 .,ZshonSubtac5、 .0andetri6、 ,sSolution:1、 .221Qbawhen2、 0ln11ad3、 323,2bahen4、 .Oky5、 .052baandwhe6、 .ky
