1、1第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率主要知识考点：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念,理解直线的倾斜角的唯一性;理解直线的斜率的存在性;斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式1. 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地, 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 , 规定 = 0.2. 直线 l 的倾斜角 的范围是 .03. 倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 .tank4. 已知直线上两点 ，则有斜率公式 .12(,)(,)Pxy 2121()y
2、kx经典要点解析要点导学1. 直线的倾斜角与斜率（1）一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.（2）直线 abc, 那么它们的倾斜角 相等.所以一个倾斜角 不能确定一条直线.即确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素为一个点 P 和一个倾斜角 .2. 斜率公式（1）对于斜率公式 . 特别地是，当 ， 时，直线与 x 轴垂直，21ykx12x12y斜率 k 不存在；当 ， 时，直线与 y 轴垂直，斜率 k=0.1（2）直线的倾斜角 =90时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合 . 当 =90时，斜率 k=0；当 时，斜率 ，随着 的增大，斜率 k 也增大；当090k
3、时，斜率 ，随着 的增大，斜率 k 也增大. 98k【经典例题】【变式训练一】(1)已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点 A(a，2)，B(3 ，7) ，C (-2，-9 a)在一条直线上，求实数 a 的值【分析】已知两点坐标, 而且 x1x2, 由斜率公式 ,代入即可求得 k 的值.而当21ABykxk = tan0 时, 倾斜角 是锐角;当 k = tan=0 时, 倾斜角 是 0. 三点 A(a，2)，B(3 ，7) ，C (-2，-9 a)在一条直线上 ,可由斜率公式 列
4、关21AByx系求解.【解】(1) 直线 AB 的斜率 0, 所以它的倾斜角 是锐角;121437k直线 BC 的斜率 0, 所以它的倾斜角 是锐角.31k(2) ， .753ABka7(9)25BCa A 、 B、 C 三点在一条直线上， 2 ， 即 ， ABCk5793a解得 或 .2a9【点拨】已知两点坐标, 而且 x1x2, 求斜率，可用斜率公式 .三点共线时，21ABykx可以利用斜率相等，由此证明三点共线的一种方法是利用斜率相等. 此外，还可利用两点间距离公式、直线方程等证明三点共线.【变式训练二】已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直
5、线 与线段 AB 始终有公共点，求直线 的斜率 的取值范l lk围. 【分析】可用数形结合，当倾斜角 时，斜率09，随着 的增大，斜率 k 也增大；当倾斜角0k时，斜率 ，随着 的增大，斜率 k 也增大.918【解】如图所示, 直线 PA 的斜率是 , 12(3)5k直线 PB 的斜率是 .203()k当直线 由 PA 变化到 y 轴平行位置 PC, 它的倾斜角由锐角 增至 90，斜l (tan5)率的变化范围是5, ；当直线 由 PC 变化到 PB 位置，它的倾斜角由 90增至)l，斜率的变化范围是 .1(tan21(,2所以斜率的变化范围是 .(,5)【点拨】分别计算过线段两个端点的直线的
6、斜率，体现了研究问题的一种运动变化思想. 由图象的运动变化规律，观察得到斜率的变化范围.3.1.2 两直线平行与垂直的判定主要知识考点：进一步理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；理解两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.1. 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 1212/lk2. 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .12l12k名师要点解析要点导学1. 是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立
7、的，缺少这个前提，212/lk结论并不成立即如果 , 那么一定有 ; 反之则不一定 .k12/l2. 结论成立的条件. 即如果 , 那么一定有 ; 反之则不一定.1212l3. 两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，且都垂直于x 轴.【经典例题】3【变式训练一】 （1）已知直线 经过点 M（-3 ，0） ，N （-15 ，-6） ， 经过点 R（-2，1l 2l） ，S（0， ） ，试判断 与 是否平行？3252l2（2） 的倾斜角为 45， 经过点 P（-2，-1） ，Q（3，-6） ，问 与 是否垂直？1l 1l2【分析】根据两直线平行或垂直的条件，先计算 与 的斜
8、率，再判断两直线是否平1l2行或垂直.【解】 （1） = ， . / MNk0(6)135250()RSk1l2（2） ， ， ， 1tan4()12k【点拨】当 与 的斜率存在时， ， . 斜率不存在l212/kl12lA时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程主要知识考点理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.1. 根据斜率公式，可以得到，当 时， ，即 ，0x0xyk)(00xk当 时， ，次式也成立，
9、而此方程由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直0x0y线的点斜式方程，简称点斜式.2. 经过点 且平行于 轴（即垂直于 轴）的直线方程是 ，或),(0xPxy0y.0y3. 经过点 且平行于 轴（即垂直于 轴）的直线方程是 ，或),(0yx0x.0x4. 已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 ，直线 的方程为lky),0(blbky名师要点解析要点导学1. 点斜式：直线 过点 ,且斜率为 k，其方程为 .l0()Pxy00()ykx2. 斜截式：直线 的斜率为 k，在 y 轴上截距为 b，其方程为 .b3. 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线. 若直线 过点 且与 x 轴垂直,此时l0,
10、P它的倾斜角为 90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或 . 0x0x4. 注意： 与 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点yk00()ykx4，后者才是整条直线.0(,)Pxy5. 截距”与“距离” 不同，截距可正、可负、可为零，而距离不可能为负值.【经典例题】【变式训练一】已知直线 经过点 ，且 与两坐标轴围成的三角形的面积为l(5,4)Pl5，求直线 的方程l【分析】【解】由已知得 与两坐标轴不垂直l直线 经过点 ， 可设直线 的方程为 ，即(5,4)Pl(4)(5)ykx.4()ykx则直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 .lky5根据题意得 ，即 .
11、14|5|2kA2(54)10|kk当 时，原方程可化为 ，解得 ；0k2()28,5当 时，原方程可化为 ，此方程无实数解.kk故直线 的方程为 ，或 .l4(5)yx84()yx即 或 .2510x820【点拨】已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.3.2.2 直线的两点式方程主要知识考点根据确定直线位置的几何要素，探索直线方程的两点式、截距式. 理解直线方程的两点式的形式特点及
12、适用范围；了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.1.已知两点 ，通过这两点的直线方程为),(),(221yxP),2121yx.当 时，方程可以写成1121xy2),(2121212 yy由于这个直线方程由两点确定，所以把它叫直线的两点式方程，简称两点式.2. 已知直线 与 轴的交点为 A ，与 轴的交点为 B ，其中 ，lx)0,(a),0(b0,ba则直线 的方程可写成 ，次方程是由直线 在 x、 y 轴上的截距 a，b 确定的，叫1byl做直线方程的截距式.名师要点解析要点导学51. 两点式不能表示垂直 x、 y 轴直线；截距式不能表示垂直 x、 y 轴及过原点的直线.2. 线段 中点
13、坐标公式 .12P1212(,)y【经典例题】【变式训练一】3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 经过点 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几(,)A条？请求出这些直线的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 【分析】可用直线的截距式方程 解题，要注意截距为 0 的情况讨论.1yab1.【解】解：当截距为 时，设 ，过点 ，则得 ，即 ；0kx(,2)Ak2yx当截距不为 时，设 或 过点 ，,xyy则得 ，或 ，即 ，或3a13010x这样的直线有 条： ， ，或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2yxy【点拨】直线在两轴上截距相等
14、，直接考虑截距式方程 ，也可以用由图形性ab质，得到 k=-1 时截距相等，但本题是直线在两轴上截距的绝对值相等，还有 k=1 时的情况.若本题选用点斜式解题时，特别要注意截距都是 0 的情况，这时选用方程 .yx3.2.3 直线的一般式方程主要知识考点据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，明确直线方程一般式的形式特征；会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.1. 关于 的二元一次方程 （A，B 不同时为 0）叫做直线的一般yx, 0Cyx式方程，简称一般式.2. 直线一般式方程 化为斜截式方程是 ，表示斜率为0()AByACy
15、xB，y 轴上截距为 的直线.ABC名师要点解析要点导学1. 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含 项、含 项、常数项顺序排xy列； 项的系数为正； ， 的系数和常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程xxy的结果写成一般式.2.与直线 平行的直线，可设所求方程为 ；与直线:0lABC 0AxByC垂直的直线，可设所求方程为 . 过点 的直线可写为0ABy 0Bxy(,)P.()()x3.经过点 ，且平行于直线 l 的直线方程是 ；0M00()(y64.经过点 ，且垂直于直线 l 的直线方程是 .0M00()()BxAy【经典例题】【变式训练一】写出过两点 A(5,0)，B(0,
16、-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程【分析】可由直线的截距式或两点式写出直线方程，再化为直线方程的其他形式.【解】两点式方程： ；05)3()(xy点斜式方程： ，即 ；)()3( )0(53)xy斜截式方程： ，即 ；05xy53x截距式方程： ；13x一般式方程： y【点拨】应熟记直线方程的五种形式及其适用范围.【变式训练二】已知直线 l 的方程为 3x+4y12=0，求与直线 l 平行且过点（1，3）的直线的方程【分析】由两直线平行，所以斜率相等且为 ，再由点斜式求出所求直线的方程. 4【解】直线 l:3x+4y12=0 的斜率为 ， 所求直线与已知直线平行，
17、所求直线的斜率为 ，3又由于所求直线过点（1，3） ，所以，所求直线的方程为： ，即3(1)4yx.490xy【点拨】根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式 而直00()()AxBy接写出方程，即 ，再化简而得.3(1)4(3)0xy3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标主要知识考点进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系；理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标名师要点解析要点导学1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二
18、元一次方程组 若方程11220,AxByC组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.72. 方程 为直线系，所有的直线恒过一个定点，1122()()0AxByCAxByC其定点就是 与 的交点.0【经典例题】【变式训练一】 已知 为实数，两直线 ： ， ： 相交a1l0yax2l0ayx于一点，求证交点不可能在第一象限及 轴上.【分析】先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.【解】解方程组 得交点( ).10,xya1,2a若 0，则 1.当 1 时， 0，
19、此时交点在第二象限内.又因为2a为任意实数时，都有 10，故 0.因为 1（否则两直线平行，无交点） 2a2aa，所以，交点不可能在 轴上 新 疆学 案王 新 敞x【点拨】也可先讨论 =1 时，两直线平行，无交点.再考虑 1 时的情况.【变式训练二】若直线 l：y kx 与直线 2x3y6 0 的交点位于第一象限，求直线 l 的斜率的取值范围.【分析】可通过联立方程组将交点坐标解出，再求直线 l 的倾斜角的取值范围，也可以通过数形结合解决.【解】如图，直线 2x+3y6=0 过点 A（3，0） ，B（0，2） ，直线l：ykx 必过点（ 0， ）.当直线 l 过 A 点时，两直线的交点33在
20、x 轴；当直线 l 绕 C 点逆时针（由位置 AC 到位置 BC） 旋转时，交点在第一象限. 根据 ，得到直线 l 的斜率 k . Ak3倾斜角范围为 .3,【点拨】此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.3.3.2 两点间的距离主要知识考点探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“ 形”结合转化思想 .名师要点解析要点导学1. 平面内两点 ， ，则两点间的距离为：1(,)Pxy2(,)xy.22|
21、()Px特别地，当 所在直线与 x 轴平行时， ；当 所在直线与 y 轴1, 122|Px12,P平行时， ；当 在直线 上时， .122|y12,ykb1|kx2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.8xyB O CAD【变式训练一】直线 2xy 4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)，B(3，4) 的距离之差的最大值.【分析】可利用数形结合转化为对称问题解决.【解】找 A 关于 l 的对称点 A，A B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点. 设 , 则()ab，解得 ， 所以线段 .
22、12440ba01ab22|(41)30AB【点拨】问题转化为两定点在直线的同侧时，直线上有一点与两定点之间的距离之差有最大值；两定点在直线的异侧时，直线上有一点与两定点之间的距离之和有最小值【变式训练二】ABC 中，D 是 BC 边上任意一点（D 与 B，C 不重合） ，且AB 2=AD2+BDDC用解析法证明：ABC 为等腰三角形【分析】首先建立直角坐标系，设出点的坐标，由距离公式可得等式，再化简.【解】作 ，垂足为 ，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立AOBCBCxO直角坐标系设 ， ， ， (0,)a(,0)b(,)c(,0)Dd ，22|ABD所以，由距离公式可得，22()
23、badbcd () 0 bdc 所以， 为等腰三角形ABC【点拨】坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.3.3.3 点到直线的距离主要知识考点理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式.点 到直线 的距离公式为 0(,)Pxy:0lAxByC02|AxByCd名师要点解析要点导学1. 点到直线距离公式中不能忘掉绝对值符号，距离 是一个非负数02|xydAB2. 当点落在直线上时公式 仍然成立02|AxByCd3. 求点到直线距离时，如果给出的直线方程不是一般式方程，应先将方程化成一般式，以便
24、确定系数 的值，这一点对于直线方程中含参数的问题尤为重要.AB、【经典例题】9【变式训练一】已知点 到直线 的距离为 ，求 的值；2,3A1yax2a【分析】可直接带入点到直线距离公式求解.【解】 1,0,yaxy223,1d22,48aa280,3232.aa或【点拨】注意求出来的 a 值有两个，都不能舍去，因为过直线外一点到直线的距离为常数（不等于 0）的直线有两条.3.3.4 两条平行直线间的距离主要知识考点会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想两条平行直线 ， 之间的距离公式为11:0lAxByC22:0lAxByC.12|CdAB名师要点解析要点导学1. 利用点到直
25、线的距离公式，可以推导出两条平行直线 ，11:0lAxByC之间的距离公式 ，推导过程为：在直线 上任取一点22:0lxyC12|CdAB2l，则 ，即 . 这时点 到直线0(,)P2AB0xy0(,)P的距离为 .11:l 122|2. 在求两条平行线间的距离时，有时可不用公式，仍利用化归思想转化为直线上一特殊点到另一直线的距离来处理【经典例题】【变式训练一】求与直线 及 都平行且到它们的距离1:230lxy2:4650lxy都相等的直线方程.【分析】先把 x,y 的系数化为相同，设所求直线的方程，利用两组平行线间距离相等可得等式.【解】直线 的方程化为 . 设所求直线的方程为 ，1l460xy460xyC则 ，即 ，解得 . 所以所求直线方程为22|5|46C|2|5|C72C.70xy点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论： 【点拨】与两条平行直线 ， 都平行且到它们的11:0lAxByC22:0lAxByC距离都相等的直线方程 .2
