1、首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010） 一、 填空题 (1) 设 0 ，则2220xxdxeex +=_. (2) 若关于 x 的方程211( 0)kx kx+=在区间 (0, )+ 内有惟一实数解，则常数k =_. (3) 设函数 ()f x 在区间 ,ab 上连续 . 由积分中值公式有 () ( ) ( )xaf tdt x af=()axb .若导数 ()f a+存在且非零，则 limxaax a+的值等于 _. (4) 设 ()6abc=nullnullnulli ，则()()()ab bc ac+ +nullnull nullnull nullnulli =_. 二、设
2、()f x在(1,1)内有定义，在0x =处可导，且(0) 0f =. 证明 : 21(0)lim2nnkkffn=.三、设 ()f x 在 0, ) 上一致连续，且对于固定的 0, )x , 当自然数 n时()0fx n+. 证明 : 函数序列 ( ) 1,2, fx n n+=null： 在 0,1 上一致收敛于 0. 四、设22( , ) : 1Dxyxy=+， (, )f xy在 D内连续， (, )gxy在 D内连续有界，且满足条件： (1) 当221xy+时， (, )fxy+； (2) 在 D中 f 与 g 有二阶偏导数， 2222fffexy+ =, 2222gggexy+ .
3、 证明： (, ) (, )f xy gxy 在 D 内处处成立 .五、设 ( , ) : 0 1;0 1Rxy x y=( , ) : 0 1 ;0 1 Rxy x y =. 考虑积分1RdxdyIxy=， 1RdxdyIxy=， 定义 0limI I+= . （ 1） 证明211nIn= ； （ 2）利用变量替换：1()21()2uxyvyx=+=计算积分 I 的值，并由此推出22116nn= . 六、已知两直线的方程： :Lx y z=， :11x yzbLa = .（ 1）问：参数 ,ab满足什么条件时， L与 L是异面直线？ （2）当 L与 L不重合时，求 L绕 L旋转所生成的旋转面 的方程，并指出曲面 的类型.七、设 ,AB均为 n 阶半正定实对称矩阵，且满足 1ranknAn . 证明 : 存在实可逆矩阵 C 使得TTCAC CBC和 均为对角阵 . 八、设 V 是复数域 C上的 n 维线性空间， :jfVC ( 1, 2j = ) 是非零的线性函数 , 且线性无关 . 证明 : 任意的 V 都可表为12 =+,使得 112() ( )ff = ，221() ( )ff = .
