2009年全国高中数学联赛福建省预赛.doc

1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 2009 年全国高中数学联赛福建省预赛2009 年全国高中数学联赛福建省预赛暨 2009 年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主办. 由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题. 命题负责人：陈荣斯. 试题以普通高中数学新课程标准的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增加全国高中联赛中二试的内容. 试题包括 10 道填空题，每小题 6 分；5 道解答题，每小题 20 分. 全卷满分 160 分. 考试时间：2009 年 9 月 13 日（星期日）上午 9

2、：0011：30. 考试地点：由各设区市组织进行. 预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织相关人员对各设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单. 同时，省数学学会根据各设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选. 声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 试 题一、填空题（每小题 6 分，共 60 分）1已知向量 ， ， . 若 、(2cos)1OPx， (sin)cos2OQx， ()fxOPQa、 分别是锐角 中角 、 、

3、的对边，且满足 ，bcABC (1fA， ，则 的面积 . 5313a S2设 ，变量 满足 ，且 的最小值为 ，则 _ _. x2ax2xa2a3已知 5 个不同的实数，任取两个求和得到 10 个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为 48 和 51，则这 5 个数中最大的数等于 . 4一个直径 的半圆，过 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点 ，使2ABA S， 为半圆上一个动点， 分别为 在 上的射影. 当三棱锥ASCMN、 SBC、的体积最大时， 与 所成角的正弦值是 . MNSBC平 面5若定义在 上的奇函数 的图象关于直线 对称，且当 时，R()yfx1

4、x01x，则方程 在区间 内的所有实根之和为 . 3()logfx1()03fx(0)，6平面直角坐标系 中，直线 ： 与 轴、 轴分别交于点 ，直线Oy1l452xyxyAB、与线段 分别交于点 ，且平分 的面积，则 的最小值为 . 2lAB、 CD、 AOB2CD7若对于任意的实数 ，函数 的值都是非负实数，x2()14fxxax则实数 的最大值为 . a8集合 的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 12309， ， ， ，9方程 的实数解是 . （其中 表示不超过 的最大整数）xxx10满足 ， ，且 的有序整数组 的个0ik1234i， ， ， 1324kk1234()k， ， ，数为

5、 . 二、解答题（每小题 20 分，满分 100 分）11已知 ，方程 有两个不同的正根，且一根是另一根的 3 倍. 1()3axf()48fx等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，且 （ ，2，3，）. nbnnST()nf1声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） （1）设 （ ，2，3，） ，求 的最大值；()nagb1()gn（2）若 ，数列 的公差为 3，探究在数列 与 中是否存在相等的项. 若152n nab有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列 的通项公式；若没有，请说明理由. c12已知抛物线 的顶点在原

6、点，焦点坐标为 ，点 的坐标为 （ ）. C(20)F， P(0)m， （1）设过点 斜率为 1 的直线 交抛物线 于 、 两点，若 ， 关于原点的对P1lCAB称点为 . 求 面积的最大值. QAB（2）设过点 斜率为 （ ）的直线 交抛物线 于 、 两点，在 轴上是否存k02lMNx在一点 ，使得 、 与 轴所成的锐角相等？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请TMTNx T说明理由. 13如图， 与线段 相切于点 ，与以 为直径的半圆相切于点 . O ABMABE于点 ， 与以 为直径的半圆交于点 ，且与 相切于点 ，连接 、CDABCDCO FACCM. 求证：（1） 、 、 三点共线；

7、FE（2） ；M（3） . 2A（第 13 题）14 设 . 令 . 21120ixi， ， ， ， ， 12342091Sxx（1）S 能否等于 2010？证明你的结论；（2）S 能取到多少个不同的整数值？15已知正实数 a、b、c 满足 . 求证：3abc（1） ；132（2） . 1()()()abcFCD MEOBA声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 解 答1. 由条件知 ()2cos()in()cos2iss(),4fxOPQxx所以 ， . 2sin()14A2sin()A又因为 为锐角， ，因此 ， .

8、3244A4因为 ， ，所以53bc1a，2 2cos()cosbbcbA即. 340所以 ， 的面积152bcABC. 1215sin152SbcA2. 由 及 ，得 . 设 . 1a2xa0()xa22()()4afxx若 ，即 ，则 在 处取最小值 ，因()1f11f此 ， . 12a3a若 ，即 ，则 在 处取最小值 ，因此 ，()2()fx2a24a21（舍去）. 2a综上可知 . 32a3. 设这 5 个数为 ，则 ，下面bcde3264851abced， ， ，说明 . 7bc声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题

9、集锦） 因为 ，所以 437cbdcb， ，()39adbd故 . 所以 37c，2()()1c故 ，即最大的数为 27.5. 15.6.0.57.23.5abced， ， ， ，4. 易知 ，所以 ，从而 . BCSA面 BCANSBC面所以 ，因此 ， . NM面 1SMANMV由 ，得 ，而 ， 为斜边长为 的直角三角2S2 2形，面积最大在 时取到. 1A所以，当三棱锥 的体积最大时， ，此时， ， 与SN160SCS所成角的正弦值是 . BC平 面 325. 函数 的图象关于直线 对称，以及 奇函数知，()yfx1x(fx），()()ff因此，42(fxfxf是周期函数，4 是它的一

10、个周期. ()fx由 是定义在 上的奇函数，知 ，方程 化为 . R(0)f1()(0)3fxf1()3fx结合图象可知， 在 、 内各有一个实根，且这两根之和为 2；1()3fx， 12，在 、 内各有一个实根，且这两根之和为 10； 在 、1()3fx(45， 6， 1()3fx(89)，内各有一个实根，且这两根之和为 18. 90，所以，方程 在区间 内有 6 个不同的实根，这 6 个实根之和为 30. 1()(0)3fxf(10)，6. 由条件知， ， ， . 设 ，则 . 5OA4BABAO5cos41由 ，得2ABCDS . 154122CD由余弦定理，得声明：本资料未经过编辑加工

11、，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） . 22cos541CDADAC当 时等号成立. 所以， 的最小值为 . AD254127. 由条件知 ，解得 . (0)10faa当 时， ，即2a22fxx，23,1,()1245,.xfx易知对于任意的实数 ， 的值都是非负实数，因此， 符合要求. x()f a所以，实数 的最小值为 . a8. 方法一 令 ，则问题中要求的答案为 的展232091)(1)fxx ()fx开式中，x 的奇次项的系数和. 故所求的答案为. 209208()f方法二 对集合 的不含 2009 的子集 A 讨论，若 A 的各数

12、之和为偶数12309， ， ， ，则补入 2009，否则不补，故共有 个元素和为奇数的非空子集. 289. 显然 . 若 ，则 ，从而 . 0xx3927x若 ，则 ，从而 . 2224x所以 ，于是 ，故 ，所以 . 3xx2932x10. 当 时，满足 ，且 的非负整数解0mym02xy，共 组. ()0xyjmj， ， ， 1当 时，满足 ，且 的非负整数解 ，24xy20x， ()jm， ，共 组. 0j所以，满足 的解共有1324kk. 002 2211()()041686mm11. （1）由 得， ，整理得()48fx483ax2()90声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬

13、请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 设 、 是方程的两根，且 ，则1x2 213x21184,93.ax所以 ， ， . 12x4a()xf因为 ，所以1()3nSfT. 214()1834736(6)nSangbTn所以 时， 取最大值 . 1n()5（2）由（1）知， ， ，结合 ，数列 的公差为 3，知 ，12ab138152anb1b， ，所以 24b23a，5834(1)22nna. 3b若在数列 与 中存在相等的项，设 （ 、 为正整数） ，则 . nabmkb832mk整理得 . 由于 为偶数，而 1 为奇数，故上述方程无正整数解. 681km68

14、k所以，在数列 与 中不存在相等的项. n13.（1）由条件知，抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，点 的坐标C28yx1lyxQ为 . 由 ，得(0)， 28yx. 22(4)0mx由 ，得 . 设 、 ，则 ， ， 1Ay， ()By， 12(4)xm21x. 224B8又因为点 到直线 的距离 ，所以 的面积(0)Qm， 1ldQAB，3282Smm声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 其中 . 20m记 ，则 . 所以，当 时， ；当32()f2()34fm423m()0f时， . 403()0f所以， 在区间

15、 上为增函数，在区间 上为减函数. 所以 f423， 403 ，时， 取最大值 . 43m()f7因此， 面积的最大值为 . QAB 329（2） 方程为 . 由 ，得l()ykxm2()8ykxm. 2240设 、 ，则 ， . 3()Mxy， 4()Nxy， 32kx234x设点 存在，其坐标为 . 由 、 与 轴所成的锐角相等知， ，T0t， TMN0TMNk即 ，即340xtt，34()()0kxmkxtt. 343422所以 ， . 228()0kmtmtt因此，符合条件的点 存在，其坐标为 . T()，13.（1）如图，设 中点为 ，由条件知 与 内切于 ，故 ， ， 三点共线.

16、ABPP O EPOE连接 ，由 ， 切 于点 ，知 ， ， . 因为 FOCDO FCDFA FA， ，所以 ， 、 、 三点共线. EPEA（2）在 中，由切割线定理知， . 连接 ，由于 ，因此 ， 2MBB、 、 四点共圆， . 连接 BC，则 ，因此，BAB. 2 2BFEA所以 . ACM（3）延长 至点 ，使得 . 连接 ，由（2）中 知， . RCRCMRC声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 所以 . 22MCDRMA14.（1） 因为 ，所以 22(1)3(1)3(21)， ，. 232iix， ，设

17、和式 S 中有 a 个 ，b 个 ，c 个 1，则 a，b，c 是非负整数，且22. 105abc，10521(3)(32)iiiSxabcbc若 ，则 ，此时201Sab6(105)4105Sa是一个奇数. 所以 不可能等于 2010. （2）由（1）可知，若 是整数，则 ， . 由于 ，abS2105bca，所以，S 可以取到 503 个不同的整数值. 05a15.（1）由 a、b、c 为正数知， ， ， ， . 11c13ac由平均不等式得，. ()()(911ababc所以 ， 03abc. 93()(1)2cabc（2）由（1）以及平均不等式得R PFCD MEOBA声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 11(2)()(2)911abcabc1()()abc9116abc. 923