1、线性方程组的应用举例【例 1】 （配平化学方程式） C.Lay化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。一个系统的方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解。下面我们利用此思路来配平如下化学反应方程式 1424324254624KMnOSHOMnKSOHxxx其中 均取正整数。,26【解】上述化学反应式中包含 5 种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢） ，于是在 中为每R5一种反应物和生成物构成如下向量：其中，每一:,:,:,:,:,:442224241000110KMn
2、OSHOMnKSOH0 11个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目。为了配平化学方程式，系数 必须满足方程组,x126123456002014 41xx求解该齐次线性方程组，得到通解 ,123456Rxcx由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取 即得配平后的化学方程式：1c。44224242KMnO3SHOMnKSHO【例 2】 （营养食谱问题） C.Lay一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素 C、钙和镁。其中用到 3 种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出表 1 营养食谱问题单位食谱所含的营养（毫克）
3、营养食物 1 食物 2 食物 3需要的营养总量（毫克）维生素 C 10 20 20 100钙 50 40 10 300镁 30 10 40 200针对这个问题写出一个向量方程。说明方程中的变量表示什么，然后求解这个方程。【解】设 分别表示这三种食物的量。对每一种食物考虑一个向量，其分量依次表,123x示每单位食物中营养成分维生素 C、钙和镁的含量：食物 1： ，食物 2： ，食物 3： ，需求： ；05304120141032则 分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程为,12x123xx解此方程组，得到 ，因此食谱中应该包含 个单位的食物 1，,505040123x 501个单位
4、的食物 2， 个单位的食物 3。50343【例 3】 （电路网络） C.Lay简单电网中的电流可以利用线性方程组来描述。当电流经过电阻（如灯泡或发电机等）时，会产生“电压降” 。根据欧姆定律， UIRA其中 为电阻两端的“电压降” ， 为流经电阻的电流强度， 为电阻值，单位分别为伏特、安培和欧姆。对于R电路网络，任何一个闭合回路的电流服从希尔霍夫电压定律：沿某个方向环绕回路一周的所有电压降 的代数U和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和。请利用上述两个定律，写出图中回路电流所满足的线性方程组，并求解。【解】在回路 1 中，电流 流经三个电阻，其电压降为：1I4 0 V3 0 V 2
5、0 V 1 0 V4 5 7 1 4 6 3 2 I 1 I 2I 3 I 4ABC DE11I74I2回路 2 中的电流 也流经回路 1 的一部分，即从 A 到 B 的分支，对应的电压降为 ；2I 24I同样，回路 3 中的电流 也流经回路 1 的一部分，即从 B 到 C 的分支，对应的电压降为3。然而，回路 1 中的电流在 段的方向与回路 2 中选定的方向相反，回路 1 中的电37IAB流在 段的方向与回路 3 中选定的方向相反，因此回路 1 所有电压降的代数和为BC。由于回路 1 中电源电压为 ，由希尔霍夫定律可得123I4I40V回路 1 的方程为。123I7I同理，回路 2 的电路方
6、程为 ；1244I35I0回路 3 的电路方程为 ；76回路 4 的电路方程为 ；234II于是，回路电流所满足的线性方程组为 123423I7I04516解得 安培， 安培， 安培， 安培，其中的电流方.1I43.2I58.I0.4I80向均如图所示。【例 4】 （经济系统的平衡） C.Lay 假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等） 、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分配见表 1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例，能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业，10%分配到机械行业，余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出，所以每一列
7、的小数加起来必须等于 1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用 表示。试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。123,p表 1-2 经济系统的平衡产出分配五金化工 能源 机械购买者0.2 0.8 0.4 五金化工0.3 0.1 0.4 能源0.5 0.1 0.2 机械列昂惕夫的“交换模型”：假设一个国家的经济分为很多行业，例如制造业、通讯业、娱乐 i业和服务行业等。我们知道每个部门一年的总产出，并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易” 。把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格（price）.列昂惕夫证明了如下结论：存在赋给各部门总产出的平衡价
8、格，使得每个部门的投入与产出都相等。【解】从表 1-2 可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第 1 行说明五金化工行业购买了 80%的能源产出、40%的机械产出以及 20%的本行业产出，由于三个行业的总产出价格分别是 ，因此五金化工行业必须分123,p别向三个行业支付 元。五金化工行业的总支出为1230.,8.4p。为了使五金化工行业的收入 等于它的支出，因此希望123084p 1。1123080.4pp采用类似的方法处理表 1-2 中第 2、3 行，同上式一起构成齐次线性方程组112323123.004.5pp该方程组的通解为 ，此即经济系统的平衡价
9、格向量，每个 的非负取.1234790p 3p值都确定一个平衡价格的取值。例如，我们取 为 1.000 亿元，则 亿元，3p.147亿元。即如果五金化工行业产出价格为 1.417 亿元，则能源行业产出价格为.20917p0.917 亿元，机械行业的产出价格为 1.000 亿元，那么每个行业的收入和支出相等。【例 5】 （交通网络）下图给出了某城市部分单行道的交通流量（每小时过车数） 。假设（1）流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。确定该交通网络未知部分的具体流量。3 0 03 0 03 0 06 0 05 0 01 0 02 0 06 0
10、 04 0 04 0 0 2 0 05 0 07 0 0ADB CE FH JGx1x2x3x4x5x6x7x9x1 0x8【解】首先写出表示流量的线性方程组，然后求出方程组的通解。图中各节点的流入量和流出量见下表：网络节点 流入量 流出量A 24xx130B 1026C 734D 35x5E x6206F 4078G 3x95H x9210J 10547整个系统 2x138根据假设（1）和（2） ，经过简单整理，可得到该网络流系统满足的线性方程组为xx124637456789101380交通流量模式（即方程组的通解）为 ，,xxx243850， 是自由变量。,xx54647891080046
11、【例 6】 （平板热传导问题）热传导研究中的一个重要问题是，已知金属薄片边界附近的温度，确定其稳态温度的分布。假设下图所示的金属薄片表示一根空心金属柱的横截面，并且忽略与盘片垂直方向上的热量传递。将薄片划分成一些正方形网格，位于四条边界上的点称为边界点，而其它的点叫做内点。测量表明，当加热或者冷却时，任一内点的温度约等于它相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均。我们希望边界点的温度（ oC）如图所示，这是可能的吗？如果可能，试问内点的温度分布惟一确定吗？【解】将六个内点编号为至（见图） ，并设对应的温度分别为 至 。由于任一内点t16的温度约等于相邻的四个网格点（内点或边界点）温度值的算术平均，因此可以得到内点温度分布满足的线性方程组为 tttttt124356142536430270此方程组系数矩阵的秩为 6，增广矩阵的秩也为 6，因此该方程组有唯一解，即内点的温度分布惟一确定。利用数学软件可以很快地求出该方程组的唯一解（近似值）为。.,.,.,.,.,.tttttt123456869478269130231041 2 34 5 61 01 0 4 04 03 0 3 0 3 02 0 2 0 2 0
