1、1圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标1使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律。教学重点和难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点。教学过程设计一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形。圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题。今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性。1动态演示，发现规律投影出示图 747，并动态显示：平行四
2、边形绕对角线交点 O旋转 180 后。问：（1）结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合。 （2）这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形。投影出示图 7-48，并动态显示： O 绕圆心 O 旋转 180 。由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。投影继续演示如图 749，让直径 AB 两个端点 A，B 绕圆心旋转 30 ，45 ，90 ，让学生观察发现什么结论？得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。进一步演示：让圆绕着圆心旋转任意角度 a，你发现什么？学生答：仍然与原来的图形重合。于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性。即圆绕圆心旋转任意一
3、个角度 a，都能够与原来的图形重合。2圆心角，弦心距的概念。我们在研究圆的旋转不变性时，O 绕圆心 O 旋转任意角度 a 后，出现一个角AOB ，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图 750。 （如有条件可电脑闪动显示图形。 ）在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上。在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书。O图 7-47OB A OB AA2B2A1B1图 7-48 图 7-49O AB图 7-502顶点在圆心的角叫做圆心角。再进一步观察， 是AOB 所对的弧，连结是 AB，弦 AB 既是AB圆心角AOB 也是 所对的弦，请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线
4、是什么？学生答：过圆心 O 作弦 AB 的垂线。在学生回答的基础上，教师指出：点 O 到 AB 的垂直线段 OM 的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距。如图 751。 （教师板书定义）最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系。 （引出课题）二、大胆猜想，发现定理在图 752 中，再画一圆心角A OB ，如果AOB A OB ， （变化显示两角相等）再作出它们所对的弦 AB，A B 和弦的弦心距 OM，OM ，请大家大胆猜想，其余三组量 与 ，弦 AB 与 A B ，弦心距 OM 与 OM 的大小关系如何？ 学生很容易猜出： ，ABA B ，OMOM 。
5、教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到 ，怎样证明弧相等呢？A让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧角等弧。请同学们想一想，你用什么方法让 和 重合呢？AB学生：旋转。下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明 。把AOB 连同 旋转，使 OA 与 O A 重合，电脑开始显示旋转过程。教师边演示AB边提问。我们发现射线 OB 与射线 OB 也会重合，为什么？学生：因为AOBA OB ，所以射线 OB 与射线 OB 重合。要证明 与 重合，关键在于点 A 与点 A ，点
6、 B 与点 B 是否分别重合。这两B 对点分别重合吗？学生：重合。你能说明理由吗？学生：因为 OAO A ，OBOB ， O ABM图 7-51OABMBAM图 7-523所以点 A 与点 A 重合，点 B 与点 B 重合。 当两段弧的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？学生：根据垂线的唯一性。于是有结论： ，ABA B ，OMOM 。B 以上证明运用了圆的旋转不变性，得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题。教师板书定理。定理：在同圆_中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。教师引导学生补全定理内容。投影显示如图 753，O 与 O
7、为等圆，AOBA OB ，OM 与 OM 分别为 AB 与 A B 的弦心距， 请学生回答 与 ，AB 与 A B ，OM 与 O MB 还相等吗？为什么？在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆。 （投影显示叠合过程）这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整。然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：条件 结论在同圆或等圆中 圆心角所对弧相等；圆心角所对的弦相等圆心角相等 圆心角所对弦的弦心距相等。定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等。请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换
8、位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法。最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论。请学生归纳，教师板书。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。三、巩固应用、变式练习例 1 判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图 754：因为AOBA OB ，所以 AB 。B（2）在O 和O 中，如果弦 ABA B ，那么 。 BA分析：（1） 、 （2）都是不对的。在图 754 中，因为和 不在同圆和等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等圆的条件。BA可让
9、学生举反例说明。OBAMOABM图 7-53O BABA图 7-544例 2 如图 755，点 P 在O 上，点 O 在EPF 的角平分线上，例 3 EPF 的两边交O 于点 A 和 B。求证：PA PB 。让学生先思考，再叙述思路，教师板书示范。证明：作 OMPA ，ONPB，垂足为 M，N 。APO BPOOMPA OM ON PA PB。ONPB把 P 点当做运动的点，将例 2 演变如下：变式 1 （投影打出）已知：如图 756，点 O 在 EPF 的平分线上，O 和EPF的两边分别交于点 A，B 和 C，D。求证：ABCD。师生共同分析之后，由学生口述证明过程。变式 2 （投影打出）已
10、知：如图 757，O 的弦 AB，CD 相交于点 P，APOCPO，求证：ABCD。由学生口述证题思路。说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，也可以利用其它方法来证，只不过前者较为简便。练习 1 已知：如图 758，ADBC。求证：ABCD。师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演。变式练习。已知：如图 758， ，求证：ABCD。ADBC四、师生共同小结教师提问：（1）这节课学习了哪些具体内容？（2）本节的定理和推论是用什么方法证明的？（3）应注意哪些问题？在学生回答的基础上，教师总结。（1）这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形。得到圆的特性圆的旋转不
11、变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论。这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据。（2）本节通过观察猜想论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想。（3）在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件。五、布置作业EFOBPANM图 7-55EFOP CDAB图 7-56OBADCP图 7-57ODCABE图 7-585课本 P99习题 72A 组1（1） ，2，3，4。思考题：已知 AB 和 CD 是O 的两条弦，OM 和 ON 分别是 AB 和 CD 的弦心距，如果 ABCD，那么 OM 和 ON 有什么关系？为什么？板书设计课堂教学设计说明这份教案为 1 课时。如果内容多，部分练习可在下节课中处理。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）一、圆的旋转不变性 例题一 变式练习二、定理： 三、推论：
