1、1,离散数学(Discrete Mathematics),2,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,1.4.1 真值表(Truth Table) 1.4.2 等价公式(Propositional Equivalences) 1.4.1 真值表前面在定义联结词时,曾经使用过真值表,下面给出 真值表的定义.定义1.4.1 (对公式的赋值或解释)设P1 , P2 ,Pn是出 现在公式A中的全部的命题变元, 给P1 , P2 ,Pn各指 定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A的真值为真(假), 称这组值为A的成真(假)赋值.,3,第一章
2、 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,比如:对公式(PQ)R,赋值FTT(即令P=F,Q=T,R=T) 为(PQ)R的成真赋值; 另一组赋值FTF为(PQ)R的成假赋值；还有FFF，FFT，TTT 考虑：含有n个命题变元的公式共有多少组不同的赋值？ 定义1.4.2(真值表)在命题公式A中, 对于命题变元的每一组赋值和由它们所确定的命题公式A的真值列成表，称做命题公式A 的真值表。,4,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,对公式A构造真值表的具体步骤为： （1）找出公式中所有命题变元P1 , P2 ,Pn ,
3、 列出全部的2n组赋值。 （2）按从小到大的顺序列出对命题变元P1 , P2 ,Pn ,的全部2n组赋值。 （3）对应各组赋值计算出公式A的真值，并将其列在对应赋值的后面。,5,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,例1. 给出(PQ)(PQ)的真值表：,6,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,例1. 给出(PQ)(PQ)的真值表：,7,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,例2：构造公式 (P Q) R的 真值表。,8,第一章 命题逻辑（Proposit
4、ional Logic） 1.4真值表与等价公式,例2：构造公式 (P Q) R的 真值表。,9,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。,10,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,练习1：构造公式 (PQ)( Q P真值表。,11,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,练习2：构造公式 (P Q Q 真值表。,12,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,练习2：构造公
5、式 (P Q Q 真值表。,13,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,1.4.2 等价公式 给定n个 命题变元, 按合式公式的形成规则可以形成无数多个命题公式, 但这些无穷尽的命题公式中，有些具有相同的真值表。考虑：由n个命题变元能生成? 种真值(表)不同的命题公式？,14,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,1.4.2 等价公式 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,Pn为出现于A和B中的所有原子变元,若给P1 , P2 ,Pn任一组真值指派, A和B的真值都相同,则称A和
6、B是等价的或逻辑相等.记作A B 注: (1) “ ”不是逻辑联结词. (2)命题公式之间的逻辑相等关系具有：自反性：A A ；对称性：若A B，则B A；传递性：若A B且B C，则A C。,15,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,证明公式等价的方法： 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表法 例1. (PQ) (PQ) 见真值表例题1. 例2. 证明: PQ (PQ)(QP),16,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,证明公式等价的方法： 1. 真值表法 2. 等值演算法 1. 真值表
7、法 例1. (PQ) (PQ) 见真值表例题1. 例2. 证明: PQ (PQ)(QP),17,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,例3：判断公式 P(QR)、(PQ)R是否等价。,18,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,由真值表可知，两个公式为等价式。 2、等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8) 重要的等价式(补充):11. 蕴涵等值式: PQ PQ 12. 等价等值式: PQ (PQ)(QP)13. 假言易位: PQ Q P14. 等价否定等值式:
8、PQ PQ 15. 归谬论: (PQ ) ( P Q) P,19,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,其中P, Q, R等代表任意命题公式. 这样上面的每一个公式都是一个模式, 它可以代表无数多个同类型的命题公式. 例如, PPT 中, 用(PQ)置换P,则得 (PQ)(PQ)T ,用P置换P,则得 (P)(P)T 。 等值演算中使用的一条重要规则：置换规则。定义1.4.4(子公式)：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff，则称X是A的子公式。例如, P(PQ)为Q (P(PQ)的子公式。,20,第一章 命题逻辑（Propositiona
9、l Logic） 1.4真值表与等价公式,定理1.4.1(置换定理Axiom of replacement)设X是wff A的子wff，若XY，则若将A中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派,X与Y真值相同，所以Y取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真值也相同,所以AB。 注: 满足定理1.4.1的条件的置换称为等价置换(或等价代换). 定义1.4.5(等值演算)：根据已知的等价公式,推演出另外一些等价公式的过程称为等值演算.,21,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,例1： 证明 Q（P（PQ）QP证: Q
10、（P（PQ）QPP(吸收律) 例2： 证明 PQQ PQ证： (PQ)Q(PQ)(QQ)(PQ)TPQ例3：证明（PQ）（Q R ） PQR 证：（PQ）（Q R ） （PQ）（QR） （PQ）（QR）（PQ）（QR）（PQR）（QQR） PQR,22,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,例4：验证P(QR) (P Q) R 证: 右 (P Q) R P Q R P ( Q R) P (Q R) P (Q R) 练：1.(P Q) (P R) P (Q R) 2.(P Q) ( P Q) (P Q) (P Q),23,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值表与等价公式,等值演算在计算机硬件设计中,在开关理论和电子元器件中都占有重要地位. 小结: 本节介绍了真值表、公式等价、等值演算和等价置换等概念，给出了常用的重要等价公式（24个）。重点掌握用真值表法验证公式的等价性和等值演算法推演两个公式等价。 作业：P17 1 c,e, 4 a,c, 7d,e, 8. 预习: 1.5, 1.6 思考题：9,
