1、数学分析论文课题 ：定积分及其简单应用漫笔学生姓名：欧 习 昌 学 号： 110701010039 系 部：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学 年 级：2011 数本 1 班 指导教师： 目录摘要 1关键字 1引言 1第一部分 定积分的基础知识1 定积分的概念 1.1 定积分的定义1.2 定积分的几何意义2 定积分存在的条件2.1 定积分存在的必要条件2.2 定积分存在的充要条件2.3 可积函数类3 定积分的性质3.1 基本性质3.2 积分中值定理4 定积分的计算方法4.1 定积分计算的基本公式4.2 定积分的换元公式4.3 定积分的部分积分公式4.4 杂例积分第二部分 定积分的简单应
2、用1 定积分在平面几何的应用1.1 微元法1.2 用定积分求平面图形的面积1.3 极坐标下平面图形的面积2 应用定积分求旋转体的体积2.1 平行截面积已知的立体体积.2.1.1 旋转体体积3 定积分在物理上的应用3.1 质心3.2 变力做功3.3 电学上的应用4.定积分在经济中的应用总结参考文献定积分及其简单应用漫笔摘要：该篇论文着重讨论积分学的另一个重要的基本问题定积分。先从定积分的基础知识：积分的概念，积分的充要条件，积分性质，积分计算方法讨论；再来讨论定积分的简单应用。关键词：定积分 积分中值 积分换元 几何物理应用引言 定积分是人们在解决实际问题过程中产生，逐渐发展完善起来的，不论在理
3、论还是在实际应用上，都起到十分重要的意义，并且揭示定积分与不定积分之间的关系。同时，定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用。第一部分 定积分的基础知识1 定积分的概念1.1 定积分的定义定义 设函数 在区间 上有定义，任取分点)(xf,ba bxxan1210把区间 任意分割成 个小区间 ，第 个小区间的长度为 ，,ban1iix ),(ii记 .在每个小区间 上任取一点 作和式 ，inix1m,1ii ),21(niiniixf1当 时，若极限 存在，则称函数 在 上可积，并称这个极0iniixf)(l10 )(xf,ba限为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即)(xf,babadf.
4、adxf)(iniixf)(lm10其中， “ ”称为被积函数， “ ”称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积)(xf f a分下限， 称为积分上限， 称为积分区间.b,ba1、2 定积分的几何意义1设 是 上的连续函数，由曲线 及直线 所围成的)(xfba, )(xfy0,ybxa曲边梯形的面积记为 .由定积分的定义，知A（1）当 时，0)(xf Adxfba)(（2）当 时，（3）如果 在 上有时取正值，有时取负值时，那么以 为底边，以曲线)(xfb, ba,为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于 轴的上方或下方.这)(fy x时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代
5、数和，如图 5.3 所示，有321)(Adxfba其中 分别是图 5.3 中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.321,A2 定积分存在的条件2、1 定积分的必要条件定理 1 若函数 在区间 上可积，则 在 上有界。fx,abfx,ab2、2 定积分充要条件设函数 在 有界，在 插入分点fx,2bxxan1210把 分成 个小区间 ，记,bn,ii,2.n11sup,ifi iiiiMxmx作和式1niiSMx1niiSmx分别成为对于分割的达布上和与达布下和，它们具有以下性质。性质 1 如果在原有的分点上加入新的分点，则上和不增，下和不减。性质 2 对于一切分法，上和集合S有下界 m(b-a
6、), 下和集合S有上界 M(b-a).性质 3 任一个下和 S 总不超过任一个上和 S,即使是对应于不同分法的上和与下和。定理 2（定积分存在的第一充要条件）函数 在 上可积的充分必要条件是 或)(xf,ba0limli0li定义 记 ，称之为 在 上的幅度，则有iiimM)(xfi1niSx定理 3 （定积分存在的第二充要条件）函数 在 上可积的充分必要条件是对任意的两个正数 及 ，可找到)(f,ba 0，使当任一分法满足 时，对应于幅度 的那些区间的长度0maxii之和 。ixiix2、3 定积分函数类3（1） 若函数 为 上的连续函数，则 在 上可积。)(xf,ba)(xf,ba（2）
7、若 是区间 上只有有限个第一类不连续点的有界函数，则 在)(xf上可积。,ba（3） 若 是区间 上的单调函数，则 在 上可积。)(xf,ba)(xf,ba以黎曼函数为例1,xfx为 有 理 数 ， 为 无 理 数在 不可积，但 。， f可 积3 定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，为了计算的方便，可以推出定积分具有下述性质，以下所涉及函数讨论的区间上都是可积的.性质 1 babadxfkdxf)()(性质 2 .badxgg)(注：可以推广到任意有限多个函数代数和的情形.性质 3（积分的可加性） .bccaba ffdxf )()()(注 ：由于 的不确定性，知不论
8、是在 之内，还是 在 之外，这一性质均c,a成立.性质 4 .badx)(性质 5（积分的保序性） .babadxgxf)(性质 6（积分估值定理）如果函数 在区间 上有最大值 和最小值 ,则,Mm).()()(bxfbmba4性质 7 (积分中值定理) 如果函数 在区间 上连续,则在 内至少有一点 ,)(xfba),(ba使得.bafdxf)()(),(性质 8 (对称区间上奇偶函数的积分性质) 设 在对称区间 上连续,则有xfa如果 为奇函数,则 ；xfaxf0)(如果 为偶函数,则 .)( aadxfd0)(23 定积分值求解法定积分是特定形式的极限，如果直接利用定义计算定积分是非常繁杂
9、的，有时甚至无法计算.以下将介绍定积分计算的有力的几种方法工具。3、1 变上限定积分定义 设函数 在区间 上连续，对于任意 ， 在区间 上)(xf,ba,bax)(xf,xa也连续，所以函数 在 上也可积.因此 是定义在 上的函数.记为xadtf)(， .xadtf)()(,称 叫做变上限定积分,又称为变上限积分函数.)(x函数 具有如下重要性质.性质 1 如果函数 在区间 上连续，则 在 上可导，)(xf,baxadtf)()(,b且 .)(fdtfxa 由性质 1 知，如果函数 在区间 上连续，则函数 就是)(xf,baxadtf)()()(xf5在区间 上的一个原函数.,ba性质 2 （
10、原函数存在定理） 如果 在区间 上连续，则它的原函数一定存)(xf,ba在，且其中的一个原函数为： .adtx)(这为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例 5.2.1 计算 .tedxtsin0解 = = .txtsi0dt xesin3.2 微积分的基本公式定理 1 如果函数 在区间 上连续，且 是 的任意一个原函数，)(xf,ba)(xFf那么.baFdf)()(为方便，通常把 简记为 或者 ，所以公式可改写为baxbax)()()()(xfbaba上述公式称为牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式.定理 1 揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它
11、把求定积分的问题转化为求原函数的问题.例 5.2.7 求 .dx312解 根据定积分性质，得=dx312 21322132 )()(| dxx= = = .321)(xx95例 5.2.6 求 .dex16解 = =dxe11)(xe1)ln(xe= = .l)ln(13.3 定积分的换元积分法定理 5.4 设函数 在区间 上连续，并且满足下列条件：)(xf,ba（1） ，且 ， ；tx)(（2） 在区间 上单调且有连续的导数 ；)(,)(t（3）当 从 变到 时， 从 单调地变到 .t)(tab则有 ba dttfdxf)()(上述公式称为定积分的换元积分公式.例 5.3.2 求 .sinc
12、o203解法一设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ，于是xtsxdtsi01t2x0t= = = = .inco203 )(013tdt10304解法二= = = .xdsic203 xcos203 204s1x解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变.2.分部积分法定理 5 设函数 和 在区间 上有连续的导数，则有)(xu)(v,ba7.)()()( xduvxuxdvbaba 上述公式称为定积分的分部积分公式.选取 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.例 5.3.6 求 .21lnxd解 = =21lx212)(l )(ln21lnxdx= = = .21l
13、nd14l43l4、 杂例积分例 5.2.8 求极限 .)32(lim43nn解 根据定积分定义,得 .41)(1li)321(lim010343 xdinnn第二部分 定积分简单的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.1、1 定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积 A 的方法和步骤：(1)将区间 分成 个小区间，相应得到 个小曲边,bann梯形，小曲边梯形的面积记为 ；iA),21(2)计算 的近似值，即 （其中iAiixf） ；,11iiii xx(3)求和得 的近似值，即 ；inif1)(4)对和取极限得 .
14、baii dxfxlm0 )(xfy)(xgyya o b xd图 5.881.2 定积分求平面几何的面积1.直角坐标系下求面积(1)由曲线 和直线 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经)(xfy0,ybxa介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线 ， 及直线 所围成平面)(),(gyf )(xgfbxa,的面积 （如图 5.8 所示）.A例 5.4.2 求曲线 与 所围图形的面积. x24解 画出所围的图形（如图 5.11）.由方程组 得两条曲线的交点坐标为 ，取 为积分变量，42xy )4,8(2,BAy.将两曲线方程分别改写为 得所求面积为,1yx及dyA422)(.4236182.极坐标系
15、下求面积设极角 为积分变量，它的变化区间是 ，相应的小曲边扇形的面积近似等于半,径为 ，中心角为 的圆扇形的面积，从而得面积微元为)(d ddA2)(19于是，所求曲边扇形的面积为 .dA2)(1例 5.4.4 计算心形线 所围图形的面积（如图 5.14）.)0(cos1(a解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积 是极轴上方部分图形面积 的两倍.A1A对于极轴上方部分图形，取 为积分变量，由上述公式得：,0daA2021 )cos1(2a0(2 )2cs3.0in41si23a3求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连
16、续曲线 和直线 及 轴所围成的曲边梯)0()xfy bxa,形绕 轴旋转一周而成（如图 5.15）.x取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，相应,ba, ,dx薄片的体积近似于以 为底面圆半径， 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素)(xfdx为，于是，所求旋转体体积为dfdV2)(baxO 2a x1A)cos(a图 5.14d)(xo图 5.1310类似地，由曲线 和直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一)(yxdyc, y周而成（如图 5.16） ，所得旋转体的体积为 .Vdcy2)(例 5.4.5 求由椭圆 绕 轴及 轴旋转而成的椭球体的体积.12baxxy解 (
17、1)绕 轴旋转的椭球体如图 5.17 所示,它可看作上半椭圆 与 轴2y围成的平面图形绕 轴旋转而成.取 为积分变xx量, ,由公式所求椭球体的体积为axdxbVax 2022)(axab032.34当 时,上述结果为 ,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.Rb34RVo a x x+dx b xy )(f图 5.15o x)(yydy+dyyy图 5.16c11(2)已知平行截面面积求体积如（图 5.19）所示，取 为积分变量，它的变化区间为 ，在微小区间x,ba上 近似不变，即把 上的立体薄片近似看作,dx)(A,dx为底， 为高的柱片，从而得)(到体积元素 .dxV)(于是该物体的体积为：
18、 badxA)(例 5.4.6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.（如图 5.20）解 取这平面与圆柱体的底面交线为 轴建立如图 5.20 的直角坐标系，则底面圆的方程为 .立体中过点 且垂直于22Ryxx轴的截面是一个直角三角形.它的直角边分别为 ，即 .tan, tan,22因而截面面积为.tan)(21)2xRxA故所求立体体积为.tan321ta21t)( 22 RxRdVR 3、定积分在物理学上的应用(1)变力作功由物理学知道,物体在常力 的作用下,沿力的方向作直线运动 ,当物体发生了位移F时,力 对物体所作的功是 .SFS
19、W即功的微元为，dx)(因此,从 到 这一段位移上变力 所作的功为abFo a x x+dx b x图 5.19-R o x R xyA (x)图 5.2012.badxFW)(例 5.4.7 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即 ( 为比,kxF例系数).已知弹簧拉长 时,需力 ,要使弹簧伸长 ,计算外力所做的功.m01.N0m05解 由题设, 时, .代入 ,得 .从而变力为xFkxN1,由上述公式所求的功为F10.05.1xdW05.2)(J(2)液体静压力在液面下深度为 处的压强为 ,其中 是液体的密度 , 是重力加速度.如果hghpg有一面积为 的薄板水平地置于深度为
20、 处,那么薄板一侧所受的液体压力A.AF即所求的压力微元为: dxghfd)(于是，整个平板一侧所受压力为.bafF)(例 5.4.8 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长 6m 和4m，高为 6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.解 根据题设条件.建立如图 5.23 所示的坐标系， 的方程为 .取 为AB361xy积分变量, ,在 上任一小区0x,间 的压力微元为d，gxyF2dxx)361(08.93从而所求的压力为)1(08.92631360239108. xN513.83.3 电学上的应用在电学我们知道电流在单位时间所做的功称为电流的功率 ，即 ，即功微元PWt在一个周
21、期 内消耗的功为 因此交流电的平均功率的计2()dWRitt 20()TWRitd算公式是： 201()TPRid4.定积分在经济学中应用(1)已知边际成本 ，求总成本 .)(QMC)(有 ，其中 是固定成本，一般不为零.0)(0dxC(2)已知边际收益 ，求总成本 .)(R)(R有 .其中 被称为自然条件，意指QQdxx00)( 0)(当销售量为 0 时，自然收益为 0.例 某工厂生产某产品 （百台）的边际成本为 =2（万元/百台）设固定成)(MC本为 0，边际收益为 (万元/百台).求：MR27)(（1）生产量为多少时，总利润 L 最大？最大总利润是多少？（2）在利润最大的生产量的基础上又
22、生产了 50 台，总利润减少多少？解 （1）因 ，QdxCdxQC2)0()()(0 072RQ所以利润函数 ，则 ，5)()(LL5)(令 ，得唯一驻点 ，且有 .0)(QL5.2Q05)(L14故 ，即产量为 2.5 百台时，有最大利润，最大利润为5.2万元.256).(52).(L（2）在 2.5 百台的基础上又生产了 50 台，即生产 3 百台，此时利润为万元.3)(2即利润减少了 0.25 万元.总结我已经参阅了定积分的基础知识与若干应用；主要介绍了把定积分这个工具怎样应用实际问题的方法，也就是求出复杂图形的面积，种种立体的体积， ，交流电流所做的功，求物体重心；虽然该论文未全面地叙述定积分的应用但是基本上能为读者提供了定积分应用的优越性。参考文献1 数学分析教程/ 上 高孝忠 著 2 高应用等数学 吴纯 谭莉 主编 机械工业出版社3 数学分析名师导学. 上册/大学数学名师导学丛书编写组编；北京：中国水利水电出版社。4 微积分郭运瑞 主编 高等教育出版社 15
