1、齿轮渐开线方程渐开线的形成原理：渐开线就像一个有破断点的圆形展开成一条直线的过程中，圆上的破断点运动的轨迹，如图所示，从破断点 A 展平到 K 点，运动轨迹 AK 就是渐开线的一段，继续展平可至 B 点或更远。随着 不断增大，渐开线曲率会越来越小，渐开线会越来越平直，如图所示。渐开线方程的推理过程：如图所示，圆 O 为渐开线 AB 的基圆，半径为 Rb,K 为渐开线 AB 上的任一点；展平段 KN 为渐开线 AB 的发生线。根据渐开线形成的原理可知，NONK，NK= NA, ONK 构成一个直角三角形。以下过程将滚动角 （rad）作为已知变量进行推导：根据渐开线的形成原理可得 NA = NK，
2、圆心角 所对应的弧长：NA =Rb* * PI /180, R=Rb/COS() 。先计算出 OK 与 OX 的夹角 ，根据渐开线函数公式 =TAN()-。因为 TAN()是 NA 与 Rb 之比，相当于弧度值，所以此时 应换算为弧度值。用 PRO/E 绘制方程曲线时，应将其转换为十进制角度。即：=TAN()*180/PI-，在 PRO/E 极坐标表示的方程中， 用 THETA 表示。A. 设 为压力角参数，将 用个人习惯的字母符号代替，如 FAI。设定一个参数值，如 45，即可写成：1. 压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程：FAI=T*45Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THET
3、A=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0以上方程式是以压力角 作为变量参数。若想使渐开线的长度控制在齿轮外径 DW 以内，就必须使渐开线 K 点与齿轮外径 DW 的边缘共线约束，可用 来控制。因为齿轮的外径等于 2*R=DW，基圆直径等于 2*Rd=DB，渐开线 K 点与 R 的端点重合。所以 应等于 DB/DW 的反余弦函数，即：=ACOS(DB/DW)，此角就可使渐开线 K 点落在齿顶圆边缘的位置。将其作为变量代入方程，即可写成：2. 齿顶圆压力角为参数控制的 “极坐标”表示的渐开线方程 A：以ACOS(DB/DW)作为已知变量进行推导，方程如下：FAI=T*ACOS(DB/DW)
4、Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0如果方程式是以滚角 作为变量参数。若想使渐开线的长度控制在齿轮外径 DW 以内，就必须使渐开线 K 点与齿轮外径 DW 的边缘共线约束，可用 来控制。因为齿轮的外径等于 2*R=DW，基圆直径等于 2*Rd=DB，渐开线 K 点与 R 的端点重合，所以 应等于 DB/DW 的反余弦函数，即：=ACOS(DB/DW)， 的正切值再乘以 180/PI 就是渐开线 K 点在齿顶圆边缘的位置，即：=TAN(ACOS(2*Rb/DW)*180/PI。将其作为变量代入方程，即可写成：3. 齿顶圆压力角为参数控制
5、的“极坐标”表示的渐开线方程 B：FAI=T*TAN(ACOS(DB/DW)*180/PIRb=DB/2R=Rb/COS(ATAN(FAI*PI/180)THETA=FAI-ATAN(FAI*PI/180)Z=0B.设 为滚角参数，设定一个参数值，如 45，将 用个人习惯的字母符号代替，如 FAI。根据“勾股定理” ，极轴 R 的长度 R=( Rb2+NK2)0.5。因式中 NK= Rb*FAI*PI/180，将其代入。即可写成：4. 滚角为参数的“极坐标”表示的渐开线方程：FAI=T*45Rb=DB/2R=(Rb2+(Rb*FAI*PI/180)2)0.5THETA=FAI-ATAN(FAI
6、*PI/180)Z=0如果设发生线长度NK等于基圆半径RB 的倍率作为已知变量进行推导，渐开线的长度就以发生线长度与齿轮基圆半径的倍率来控制，改变倍率即可改变渐开线长度。如设0.7作为倍率值，可写成：5. 发生线长度 NK 等于 RB 的正切函数为参数的“极坐标”表示的渐开线方程：Rb=DB/2NK=T*Rb*TAN(35)R=(Rb2+NK2)0.5THETA=NK/Rb*180/PI-ATAN(NK/Rb)Z=0总结：A. 上述所有渐开线方程都是在“极坐标”方程表达式下建立的。曲线的生成，离不开渐开线函数，渐开线函数 =tan()- ，知道滚角或压力角其中之一，就能推算出另一个角度，从而推
7、算出渐开线展角。式中的 为弧度。例压力角 =60，则：tan(60)=1.7321，将其换算成弧度：60*pi/180=1.0472，于是渐开线函数：=1.7321-1.0472=0.6849 （弧度） 。在 PRO/E 方程表达式中，应将弧度转换为十进制角度。B. 在 PRO/E 方程表达式中，如果参数 在方程中代表滚角，应将 转换成压力角，即：ATAN(*PI/180)，再用 - ATAN(*PI/180)，此角即是渐开线的展角。如果参数 在方程中代表压力角，应将 转换成弧度即： TAN()*180/PI，再用 TAN()*180/PI-，此角即是渐开线的展角。所以在转换过程中要根据 的性
8、质确定。C. 在所有的“极坐标”渐开线方程表达式中，式1是最直接最简单的表达方法，公式简单，容易理解或记忆。而直角渐开线方程式表达式比较繁琐，不容易理解或记忆，如以下两种方程式的比较： 压力角为参数“极坐标”表示的渐开线方程 1：FAI=T*45Rb=DB/2R=Rb/COS(FAI)THETA=TAN(FAI)*180/PI-FAIZ=0滚角为参数“笛卡尔”坐标表示的渐开线：A=T*45X=DB/2*COS(A)+DB/2*SIN(A)* A*PI/180Y=DB/2*SIN(A)-DB/2*COS(A)* A*PI/180Z=0所以创建齿轮模型时，如果对渐开线方程不熟悉，尽可能采用“极坐标
9、”方程表达式：式1。控制渐开线长度的方法：PRO/E 渐开线方程都是以滚角或压力角作为变量作为参数来驱动。渐开线的长度是由滚角或压力角的大小决定的，若想使渐开线的长度控制在设定的范围之内，就要控制渐开线的展开角度，调整滚角或压力角的角度值，使之控制在设定的范围之内，就需根据齿轮参数计算，比如：使渐开线的长度控制在齿轮外径DW 以内，就必须使渐开线 K 点与齿轮外径 DW 的边缘共线约束，可通过齿轮关系式推理，以下是两种变量参数的推理结果，将其作为参数变量即可。 如果方程是以压力角作为变量作为参数来驱动，就要计算出压力角的大小。因为齿轮的外径等于2*R=DW，基圆直径等于 2*Rd=DB，渐开线
10、 K 点与 R 的端点重合。根据渐开线的形成原理，渐开线 K 点的压力角应等于 DB/DW 的反余弦函数。即：压力角=ACOS(DB/DW) 如果方程是以滚角作为变量作为参数来驱动，就要计算出滚角的大小。因为齿轮的外径等于2*R=DW，基圆直径等于 2*Rd=DB，渐开线 K 点与 R 的端点重合。根据渐开线的形成原理，渐开线 K 点压力角的反余弦函数“ACOS(DB/DW)”的正切值再乘以 180/PI 就是渐开线的滚角。即：滚角=TAN(ACOS(2*Rb/DW)*180/PI参数化球面渐开线圆锥齿轮的实体建模参数：m=2.5,z=24,z1=45,a=20,b=20,bax=1,cx=0
11、.2,x=0基准曲线的建立：大端球面渐开线：以默认的笛卡尔坐标为基准，用从方程功能建立基准曲线，有推导的渐开线方程在记事本中输入如下关系式：fia=t*70psai=fai*cos(alpha)*sin(delta)x=rx*(sin(fai)*sin(psai)+cos(fai)*cos(psai)*sin(theta)y=rx*(-cos(fai)*sin(psai)+sin(fai)*cos(psai)*sin(theta)z=rx*cos(psai)*sin(theta)小端球面渐开线：建立方法同大端，但球面半径rx变为rx-bc大端齿根圆：以默认的笛卡尔坐标为基准，用从方程功能建立基
12、准曲线，方程关系式如下：x=bb1*cos(t*360)y=bb1*sin(t*360)z=ob1小端齿根圆：建立方法同大端，但半径bb1变为b2b3,x方向尺寸ob1变为ob3。齿根过度曲线：用经过点建立过度曲线，分别有球面渐开线切平面与齿根圆相交得到的基准点与渐开线的端点相连，即可建立大小端基圆与齿根圆的过度曲线。圆锥齿轮齿廓曲面的生成：1.单侧齿廓曲面的生成：用变截面扫描功能，以大端渐开线为原始轨迹，小端渐开线为辅助轨迹，大小端渐开线端点的连线为扫描曲线，即可建立理论的球面渐开线齿廓。用边界混合工具，用过度曲线生成过度曲面，然后将建立的两曲面合并。2.单个轮齿的齿廓生成：以大端分度圆所在
13、平面1（建立时输入控制关系：距离=rx*cos(delta)）与大端渐开线的交点建立基准点，过基准点和中心轴线建立基准平面2，然后再以此基准平面2过中心轴线旋转360/4*z就能得到齿廓的镜像平面3，将建立的齿廓曲面通过镜像后合并曲面，选择合并的方向就可得到单个轮齿齿廓曲面。3.轮齿曲面的复制与阵列：建立的轮齿齿廓曲面，不能直接阵列，所以需要先将建立的轮齿曲面旋转复制，（建立时输入控制关系，旋转角度=360/z）；再圆周阵列，（建立时输入控制关系，旋转角度=360/z，阵列个数z-1），得到全部齿廓曲面。然后又大、小端齿根曲线与得到的全部吃廓曲面合并。齿轮完成建模：由齿顶曲线和大、小端球面线做基准曲线绕中心轴旋转得到曲面。得到的曲面与上步的齿廓曲面选择合并，即可得到完整的齿轮齿轮外形曲面。然后将合并的曲面实体化就完成了齿轮模型的建立。其它特征的参数设计：根据设计标准和强度计算，确定轴孔和键槽的尺寸参数。参数化的球面渐开线圆锥齿轮的实体模型如图 4 所示：
