1、变式教学与高三数学复习洪秀满【原文出处】中学数学（江苏）， 1995.10.（1012）【作者简介】 洪秀满，浙江省仙居中学（ 317000）我们知道，在高三数学复习课中，例题教学是一个重要环节，要使学生在解题中，广开思路，掌握规律，还要培养学生的多维性思维、分析问题和解决问题的能力，若仅仅满足一题一得往往是不够的。因此，能否充分发挥例题教学的作用，将直接影响复习课的效果。如何充分发挥例题教学的作用呢？笔者在长期的教学实践中体会到，运用变式教学是普遍有效而易行的重要途径。所谓变式，就是不断变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置实际应用的各种环境，而概念或问题
2、的本质不变。简言之，就是在变化中求不变，万变不离其宗，使得学生从中获得再认识，并提高识别、应变、概括等能力，培养学生的思维品质。下面谈谈如何运用变式进行高三复习课中的例题教学。一、运用“一题多解” ，培养思维的发散性一题多解的实质是解题或证明公式、定理的变式。因为它们是以不同的论正方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系。运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源材料可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案。课本中有许多题目，由于当时所学知识和教学进度的局限性，不可能都用多种方法去研讨其解法。因此，在高三复习时，回过头来做这些题目，往往有多种做法，有的甚至比以前解法来得更加简捷明快
3、。凡课本的例、习题能做到一题多解的尽量给学生以尝试的机会 。例如解几P111 第 8 题：过抛物线 的焦点的一条直线和这抛物线相交，pxy2两交点的纵坐标分别为 、 ，求证： 。1y21分析：设过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于两点 、px)0,(Fl ),(1yxA，下面引导学生从不同角度进行证明：),(2yxB思路一： （）当 与 轴不垂直，设 的方程为： ，代入 ，lxl )2(pxkypxy2消去 得： ，即有： ；x022kpyk 21py（）若 轴时，显然有 ， ， xl12 21y思路二： （）若 与 轴不垂直，由 、 、 三点共线，即可推得：lxAFB21py（）若 轴（同
4、法一）xl思路三：如图，自 分别作准线 的垂线 ， 分别是垂足；由抛物BA,mBA,线定义可知： ，将 、|F|、 的坐标代入，并化简整理得： BF21py思路四： 设 、 ， 分 的比为),2(1ypA),(2BAB，则 ，消去 得： 0121yp21py思路五： 如图 4，由抛物线定义 ， 故有 ，|AF |B12，又 ， ，而 ， ，则43BA/652536，即 在 中，有22FBRt,2| N即 ，而 与 必异号， 21|py1y2 21py由于教学进度的局限性，此题当时只能用上述这五种方法解之，其中有几种方法还需要讨论直线 与 轴的关系，而学生lx却往往忽视这一点。如果复习阶段再回过
5、头来解答此题，学生自然会运用直线的参数方程、极坐标等知识解之。思路六： 设过焦点 的直线 参数方程为 （ 为参数） ，)0,2(pFlsinco2typxt代入： ，化简得： 。xy2 0cossin2ptt设此方程的两个根为 、 ，则有 ，再由方程可知： ，1t2221int sin1ty； 。sin2ty2121sin)(ty2siip2p思路七：以 为极点， 为极轴，建立极坐标系，则抛物线 的极坐标方FXpxy2程为 。cos1p设弦的一个端点坐标为 ，则另一个端点的坐标为 ；),(1),(2 。sinco1ssinsi(2121 py 2p这样一来，既复习了直线参数方程、极坐标等知识，
6、同时，又能提高学生的解题能力，促进知识间的联系。二、运用“一题多变” ，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，指变换题目条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同的角度、不同的方位指向题目的实质。用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。例如在解几中复习最值，教学时可选用课本 P126 第 22 题作为原命题，加以变换、拓广。原题：求抛物线 上到直线 的距离最小的点的坐标，并求出这个距2yx24yx离复习时，在引导学生作出多种解答的基础上，常可作如下的分析、变换：变换一：若将原题中的抛物线方程“
7、”换为其它二次曲线，就得到如下一类问2yx题：求二次曲线上的动点到定直线的距离的最值譬如：已知直线 ： ，点 在椭圆 上运动，求l032xB4)(2y点到 的距离 的最大值，并求此时的 点坐标。Bld再如：如果将原题中的抛物线方程“ ”换为“ ”，就得到 87 年的全国2yx2x高考数学理科试题二（5） 。变换二：若将“变换一”中定直线换为定圆（包括点圆） ，可得另一类最值问题：求分别在二次曲线和定圆（包括点圆） ，上两点间的距离的最值例如：点 在椭圆 上移动，点 在以点 为圆心， 为半径的P1625yxQ)0,1(M324圆上移动，当点 位于 ，点 位于 时， 、 两点距离最近，记最近距离为
8、 ，求Pd及点 、 的坐标。 （92 年浙江省高中证书会考试题）dQ变换三：若将“变换二”中的条件与结论对调，又可得如下一类问题：设 点在直线或圆（包括点圆）上运动， （待定）在一个含有某未知因素的二次曲线上运动，且已N知 的最大值或最小值，求 点的坐标及此二次曲线的方程|MN例如，设椭圆中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 ，已知点 ） ，到23e23,0(P这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 的距离等于7的点的坐标 （90 年全国高考数学试题（文、理） ）7象这样将题目演变、拓广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这无疑能提高学生举一反三，触类旁
9、通的能力。使之达到熟一类、通一类，甚至通几类。三、运用“一式变用” ，培养思维的深刻性一式变用是指对一个公式的变式应用。数学中时常会遇到一些重要公式，而对它们的推导以及引导学生进行应用，这些工作教学时都会做到。但如何变换公式的形式或结论，挖掘潜在的意义进行应用，这就未必都能做到。因此，在高三复习时，教师要有意识地引导学生对一些重要公式进行变用，挖掘潜在的几何意义，使之不迷恋于表面现象，而是透表求里，从而培养思维的深刻性。例如：在解几中， 表示点20|bacyx到直线 ： 的距离公式。高三复),(0yxMl习时，笔者常作以下三种变用，使对于求解一类不等式和变量取值范围，常能收到形象直观、驭繁为简
10、的效果。 变用一： （）20|bacyx20yx其几何意义：是过原点的直线 外的任一点到该直线l的距离不大于这点到原点的距离。如图将关系式（）两边平方，即得柯西不等式： )()( 20220yxbabyax这是一道应用广泛且重要的著名不等式柯西不等式。例 1设 、 是两个实数， ，abnnyxA,|),( B,|),(mxy， ，是平面 内的点的集合，讨论是532 14|),(2yxCxoy否存在 和 ，使得（1） ；（2 同时成立？（85 年高考数学试题）abBACba),(解：如果存在实数 和 使得（1）和（2）同时成立，则方程 应ab bax1532有整数解。考察点 到直线 的距离关系及
11、 ，有)1,(x0yx42ba， 又121| 22xba 01532x ，化简得： ，即 ；53xx 09624)( ，这与 为整数相矛盾。故不存在实数 和 使得（1）和（2）同时成立。ab变用二： （）0|cyx2020)()(yx其几何意义：不过原点的直线 外的任一点到该l直线 上各点的斜线和垂线中，以垂线最短。如图l根据图形直观，不难看出，和点 不在直线 同一侧的点及直线 上点 的坐标MllP都满足不等式（） 。),(yx例 2. 若 ，求函数 的最小值。02y yxz422解：由所给的函数关系可得： )()1(5显然，点 在直线 的下方，而坐标满足),1(yx的点 都在直线 上及上方0
12、2yx),( 02yx区域，由公式（） ，有 ，2)5(1|41|于是 ，即 ， ；549)()1(22yx 9z52z故函数 的最小值为 。yxz4变用三：若 是一个正的常数，则 小于 、等于 、大于 分别表R20|bacyxRR示直线 与定圆 相交、相切、相离的位置关系。0cbyax 020)()(例 3.求证：方程 0cossinba)2.（）当 时，有两个相异实根；22（）当 时，有唯一实根；c（）当 时，无实根。22ba分析：令 ， ，则方程 在 内有sinxcosy 0cossinba)2.根的情况等价于直线 和圆 有无公共点的情况，所以当原点012yx到直线 和圆 有无公共点的情
13、况，所以当原点 到)0,(Ocbyax2 )0,(O直线 的距离依次小于、等于、大于 1 时，该方程分别有两相异实根、有唯一实根和无实根，即当 时，也就是当 时，cossin|0| 2222 babac 22cba原方程有两相异实根。当 时，即当 时，原1cossin|0| 2222babac 22cba方程有唯一实根。当 时，即当 时，原1cossin|0| 2222 babac 22cba方程无实根。教学实践表明：在高三数学复习课例题教学中，实施变式教学，对调动学生学习的积极性，激发他们求知欲望，活跃课堂气氛，培养能力都具有良好的作用。原载中学数学 （江苏） ，1995.10.（1012）
