1、1对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析 2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是：设 ，则 ，其中 被称为“对0ba212lnababa+-+lnb数平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.1 对数平均数不等式链的几何证明如图，先画反比例函数 的图象，再画其他的辅助线，其中 ，10fxAPBCTUKV轴， , .设函数 在点MNCDx,0Aa,P1,BbQ1,Tabfx处的切线分别与直线 交于点 ，则根据左图可知：2,abK,A,
2、EF因为 ，ABNMABQPABFESSS=矩 形曲 边 梯 形 梯 形所以 . ()12lnbadxaba=-+因为 ，1lnlbAUTPaSdx=-曲 边 梯 形 ()11ln22ABQPbaS=-=曲 边 梯 形，()12ATP ABCDaaSb=+-梯 形 梯 形2而根据右图可知： ，所以 . AUTPAUTPSS-2 对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如 2010 年湖北卷、2012 年天津、2013年新课标、2014 年陕西卷、2014 福建预赛、2014 年绵阳一、三诊、 2015 合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式
3、探究是十分必要的.为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 ，记为式；将2lnaba+-，记为式；将 ，记为式.lnbab-1lnbab-变式探究 1：取 ，则由知： .于是，可编制如下试题：已知12,ax121lnxx，求证： .210x 2121()lnx变式探究 2：取 ，则由知： .于是，可编制如下试题：已知12,axb2112lnxx，求证： .210x2121lnx变式探究 3：取 ，则由知： .于是，可编制如下试题：已12,axb212lnxx知 ，求证： .210x 21 121lnxx3变式探究 4：取 ，则由知： .于是，12,axb1221()()()(lnl)
4、xx可编制如下试题：对任意 ，且 ，求证： .12,(,)122112l()l()xx变式探究 5：取 ，则由知： .于是，可12,axb2112()lnl()编制如下试题：对任意 ，且 ，求证： .12,(,)12x211221l()ln()xx变式探究 6：取 ，则由知： .于12,axb212 12l()l()xx是，可编制如下试题：对任意 ，且 ，求证：12,(,)12x.212211ln()l()xxx变式探究 7：取 ，则由知： .于是，12,ab1221()()(lnl)xx可编制如下试题：对任意 ，且 ，求证： .12,(,)x122112l()l()xx变式探究 8：取 ，则
5、由知： .于是，可12,ab2112()ln()l()编制如下试题：对任意 ，且 ，求证： .12,(,)x12x211221l()ln()xx变式探究 9：取 ，则由知： .于12,ab212 121l()l()xx是，可编制如下试题：对任意 ，且 ，求证：12,(,)x12x.21221()(1lnl)x变式探究 10：取 ，则由知： .于是，可编制如下试题：对任意12,xxaeb1221xxee4，且 ，求证： .12,xR21x2121xe变式探究 11：取 ，则由知： .于是，可编制如下试题：对任意12,xxaeb2112xxe，且 ，求证： .12,x2112212xxe变式探究 12：取 ，则由知： .于是，可编制如下试题：12,xxaeb2112xx xee对任意 ，且 ，求证： .12,xR21x21121122xx xxee 总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.
