1、 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 Ux AxCAU,x CA x A.U2.德摩根公式 () ;()UUUUUCAB CACBCAB CACB=IU UI. I)I11()f xNMN. 8.方程 在 上有且只有一个实根,与0)( =xf ),(21kk 0)()(210时， 若 qpabx ,2=qpabx ,2= ， max max() ( ), ()f xfpfq fmin min() ( ), ()xfpfq= . = ，(2) 当 a； （2）方程 0)( =xf 在区间 (, 内有根的充要条件为)mn ()() 0fmfn () 0() 0fnaf m=（3）方
2、程 在区间 内有根的充要条件为0)( =xf (,n ) () 0fm+= cbxaxxf000abc2040abacx x fx fx baxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数； 12 1 2()()()0xxfx fx xf ，则 为增函数；如果，则 为减函数. )(xf0)( . (4)幂函数 ()f xx= ,() ()(),(1)fxy fxfy f = = . (5)余弦函数 () cosf x= x,正弦函数 () singx x= ， ( ) () () ()()f xy fxfy gxgy =+， 0()(0) 1,lim 1xgxfx=. 29.几个函数方程
3、的周期(约定 a0) （1） ，则 的周期T=a； )()( axfxf += )(xf（2） ， 0)()( =+= axfxf或 )0)()(1)( =+ xfxfaxf ， 或1()()fx af x+= () 0)fx , 或21() () ( ),( () 0,1)2fx f x fx a fx+=+ ,则 的周期T=2a； )(xf(3) )0)()(11)( += xfaxfxf ，则 的周期T=3a； )(xf(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf+=+ 且12 12() 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2)f afxfx xxa= ，且 ）. 1n
4、(2)1mnmnaa= （ 0, ,amnN，且 ）. 1n31根式的性质 （1） ()nnaa= . （2）当 为奇数时，nn na=a； 当 为偶数时，n,0|,0nnaaaaaa= )(2) () . ( 0, )rs rsaaarsQ=(3) . () ( 0, 0, )rrrab a b a b r Q=注： 若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 logbaNb a N= = (0,1, 0aaN.34.对数的换底公式 logloglogmamNNa= ( ,且0a 1a , ,且0m 1m
5、, 0N ). 推论 log logmnaanbbm= 0a 0( ,且 ,1a ,mn ,且 1m , 1n , 0N ). 35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则 (1)log ( ) log logaaaMNMN= + ; (2) log log logaaMaM NN=; (3)log log ( )naaM nMnR=. 36.设函数 ,记 .若 的定义域为)0)(log)(2+= acbxaxxfmacb 42= )(xfR ,则 ，且0a 0a 0 .对于 的情形,需要单独检验. 0=a37. 对数换底不等式及其推广 若 , , ,0a 0b 0x1xa ,则函数
6、 log ( )axy bx= (1)当 时,在ab1(0, )a和1(, )a+ 上 log ( )axy bx= 为增函数. ， (2)当 时,在ab 0p 0a 1a，则 （1 ） log ( ) logmp mnp n+ + + . sin (| | 1) (2 arcsin , 2 arcsin ),x aa x k ak ak Z + . cos (| | 1) (2 arccos , 2 2 arccos ),x aa x k ak ak Z + + . tan ( ) ( , arctan ),2x aa R x k k a k Z （4）柯西不等式 222 2 2()()(
7、),abcd acbdabcdR+ . （5） bababa + . 72.极值定理 已知 yx, 都是正数，则有 （1）若积 xy是定值 ，则当 p yx = 时和 yx+ 有最小值 p2 ； （2）若和 yx+ 是定值 ，则当 s yx = 时积 xy有最大值241s . 推广 已知 Ryx , ，则有 xyyxyx 2)()(22+=+（1）若积 xy是定值,则当 最大时,| yx | yx+ 最大； 当 最小时, 最小. | yx | yx+（2）若和 是定值,则当| yx+ | yx 最大时, 最小； | xy当 最小时, 最大. | yx | xy73.一元二次不等式20( 0)a
8、x bx c+ ，如果 与同号，则其解集在两根之外；如果 与a2ax bx c+ a2ax bx c+ + 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 12 121()()0(2)x xx xxxx x x 0 时，有 22x axa ax a或 x a. （2）2() 0() 0() () () 0() 0() ()fxfxfx gx gxgxfx gx 或 . （3）2() 0() () () 0() ()fxfx gx gxf xgx() ()() ()fx gxaa fxgx; () 0log ( ) log ( ) ( ) 0() ()aafxfx gx gxf
9、xgx. (2)当 01时, a0或 0 0 0或 所表示的平面区域上下两部分； 11 12 2 2()(Ax By C Ax By C+ +点 在圆外; dr 点 在圆上;P = P dr 相离rd ; 0= 相切rd ; 0 rrd ; 条公切线外切 321+= rrd ; 条公切线相交 22121+的参数方程是cossinxayb=. 93.椭圆22221( 0)xyabab+=焦半径公式 )(21caxePF += ， )(22xcaePF = . 94椭圆的的内外部 （1）点 在椭圆00(, )Px y22221( 0)xyabab+=的内部2200221xyab +的外部22002
10、21xyab +. 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221( 0)xyabab+=上一点 处的切线方程是00(, )Px y00221xx yyab+=. （2）过椭圆22221( 0)xyabab+ =外一点 所引两条切线的切点弦方程是 00(, )Px y00221xx yyab+=. （3）椭圆22221( 0)xyabab+=与直线 0Ax By C+ +=相切的条件是22 22 2A aBbc+=. 96.双曲线22221( 0, 0)xyabab =的焦半径公式 21|( )|aPF e xc=+ ，22|( )|aPF e xc=. 97.双曲线的内外部 (1)点 在双曲线
11、00(, )Px y22221( 0, 0)xyabab=的内部2200221xyab . (2)点 在双曲线00(, )Px y22221( 0, 0)xyabab=的外部2200221xyab 0上一点 处的切线方程是00(, )Px y00221xx yyab=. （2）过双曲线22221( 0, 0)xyabab=外一点 所引两条切线的切点弦方程是 00(, )Px y00221xx yyab=. （3）双曲线22221( 0, 0)xyabab=与直线 0Ax By C+ +=相切的条件是22 22 2A aBbc=. 100. 抛物线 的焦半径公式 pxy 22=抛物线 焦半径22
12、( 0)ypxp=02pCF x= + . 过焦点弦长 pxxpxpxCD +=+=212122. 101.抛物线 上的动点可设为 Ppxy 22= ),2(2ooypy或 P(,或)2,2(2ptptP )x yoo，其中 22yp=oox. 102.二次函数2224()24bacbyax bxcaxaa=+=+ + )(0a 的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,24bacbaa )； （2）焦点的坐标为241(,24bacbaa) + ； （3）准线方程是2414ac bya= . 103.抛物线的内外部 (1)点 在抛物线 的内部00(, )Px y22( 0)ypxp=22( 0
13、)ypxp 22( 0)ypxp . (2)点 在抛物线 的内部00(, )Px y22( 0)ypxp= 22( 0)ypxp . 点 在抛物线 的外部00(, )Px y22( 0)ypxp= 22( 0)ypxp . (3)点 在抛物线 的内部00(, )Px y22( 0)xpyp=22( 0)xpyp 22( 0)xpyp . (4) 点 在抛物线00(, )Px y22( 0)xpyp= 的内部22( 0)xpyp 22( 0)xpyp . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 上一点 处的切线方程是pxy 22=00(, )Px y00()y ypxx= + . （2） 过抛
14、物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是pxy 22=00(, )Px y00()y ypxx=+. （3）抛物线22( 0)ypxp= 与直线 0Ax By C+ +=相切的条件是22pBA= C. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 ,1(, ) 0fxy=2(, ) 0fxy= 的交点的曲线系方程是 12(, ) (, ) 0fxy fxy+=(为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk+ =,其中 .当时,表示椭圆; 当 时,表示双曲线. 22max , ka22 22min , max , ab k ab 为直线 AB 的倾斜角， 为直线的斜率）. k
15、107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 . (, ) 0Fxy=00(, )Px y00(2 - ,2 ) 0Fxxy y=（2）曲线 关于直线(, ) 0Fxy= 0Ax By C+ +=成轴对称的曲线是 22 222( ) 2( )(,AAxByC BAxByCFx yA BAB+ +=. 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 ，用220Ax Bxy Cy Dx Ey F+=0x x 代2x ，用0y y代2y ，用002x yxy+代 xy，用02x x+代 x，用02yy+代 即得方程 y00 0 000022xy xy x x y yAx x B
16、 Cy y D E F+ + + + +=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 109证明直线与直线的平行的思考途径 （1 ）转化为判定共面二直线无交点； （2 ）转化为二直线同与第三条直线平行； （3 ）转化为线面平行； （4 ）转化为线面垂直； （5 ）转化为面面平行. 110证明直线与平面的平行的思考途径 （1 ）转化为直线与平面无公共点； （2 ）转化为线线平行； （3 ）转化为面面平行. 111证明平面与平面平行的思考途径 （1 ）转化为判定二平面无公共点； （2 ）转化为线面平行； （3 ）转化为线面垂直. 112证明直线与直线的垂直的思考途径 （1 ）转化为相
17、交垂直； （2 ）转化为线面垂直； （3 ）转化为线与另一线的射影垂直； （4 ）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径 （1 ）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2 ）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3 ）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4 ）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5 ）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114证明平面与平面的垂直的思考途径 （1 ）转化为判断二面角是直二面角； （2 ）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a b=ba (2)加法结合律：( a b) c=a( b
18、 c) (3)数乘分配律：( a b)= a b 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、 b(b0 )，a b 存在实数使 a=b PAB、 三点共线 |APAB APtAB=uuururu (1 )OP t OA tOB= +uuuruur uuur. |ABCD ABuuur、 CD共线且 不共线uuurAB CD、 ABtCD=uuuruur且 不共线. AB CD、118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量
19、 a、 b 共面的 存在实数对 ,x y,使 paxby= + 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,xy,使 MPxMAyMB=+uuur uuur uuur， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ,x y，使 OP OM xMA yMB=+uuur uuuur uuur uuur. 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足 OP xOA yOB zOC=+uuuruuruur uuur（ x yzk+=） ，则当 时，对于空间任一点 ，总有 P、A、B、C 四点共面；当时，若 O 平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若1k = O 1k O平
20、面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面 C AB、D 四点共面 ADuuur与 ABuuur、 ACuuur共面 ADxAByAC=+uuur uuuruur (1 )OD x y OA xOB yOC= + +uuur uuuruuruur（ O平面ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、 b、 c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 px ay bz c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使 . OP xOA yOB zOC=+uuuruur uuur uuur121
21、.射影公式 已知向量 ABuuur=a 和轴 ，e 是 l上与 l同方向的单位向量. 作A点在 l上的射影 ，作 B点在 l上的射影lAB ，则 |coAB AB=uuurs) a， e= ae 122.向量的直角坐标运算 设 a ，b 则 123(, , )aaa123(, , )bbb(1)a b112 233(, ,ababab+ +； (2)a b112 233(, ,ababab) ； (3) a123(, ,aaa) (R)； (4)a b11 2 2 3 3ab ab ab+ + ； 123.设A111(, ,)x yz，B222(, ,)x yz，则 ABOBOA=uuuruu
22、ruur= 212121(, ,)x xy yz z. 124空间的线线平行或垂直 设111(, ,)axyz=r，222(, ,)bxyz=r，则 abrrP (0)abb=rrrr121212x xyyzz=； abrr 0ab=rr12 12 120xx yy zz+=. 125.夹角公式 设 a ，b ，则 123(, , )aaa123(, , )bbbcos a， b=11 2 2 33222222123123ab ab abaaabbb+ +. 推论 ，此即三维柯西不等式. 2 22222211 2 2 33 1 2 3 1 2 3()()(ababab aaabbb+ + +)
23、126. 四面体的对棱所成的角 四面体 中, 与ABCD AC BD所成的角为 ,则 22 22|( ) ( )|cos2AB CD BC DAAC BD+=. 127异面直线所成角 cos | cos , |ab =rr=12 12 12222 2 2111 2 22|xx yy zzabab2x yz xyz+= + +rrrr （其中 （ ）为异面直线 a 所成角，09 mn 1+mn 时，有nmnnnmCAA11+= 种排法. （4 ）两组相同元素的排列：两组元素有 m个和 n个，各组元素分别相同的排列数为 . nnmC+158分配问题 （1 ） (平均分组有归属问题 )将相异的 、
24、个物件等分给 个人，各得 件，其分配方法数共有m n m nmnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN)!()!(22=L . （ 2） (平均分组无归属问题) 将相异的 个物体等分为无记号或无顺序的 堆，其分配方法数共有 m n mmnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN)!(!)!(!.22=. （3 ）( 非平均分组有归属问题) 将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，分别得到 ， ， 件，且 ， ， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数共有)L12 mP(P=n +n + +n m1n2nmn1n2nmn m!.!.21211mnnnnpnpnnnmpmCCCN
25、mm=. （4 ）( 非完全平均分组有归属问题) 将相异的 个物体分给 个人，物件必须被分完，分别得到 ， ， 件，且 ， ， 这 m个数中分别有 a、b、c 、个相等，则其分配方法数有)L12 mP(P=n +n + +n m1n2nmn1n2nmn!.!.211cbamCCCNmmnnnnpnp=12!.n! !( ! ! !.)mpmn n abc= . （5） (非平均分组无归属问题) 将相异的 个物体分为任意的 ， 件无记号的 堆，且 ， ， 这 个数彼此不相等，则其分配方法数有)L12 mP(P=n +n + +n1n2nmn m1n2nmn m!.!21 mnnnpN = . （
26、6 ） (非完全平均分组无归属问题) 将相异的 个物体分为任意的 ， 件无记号的 堆，且 ， ， 这 个数中分别有 a、 b、 c、个相等，则其分配方法数有)L12 mP(P=n +n + +n1n2nmn m1n2nmn m!.)!(!.!21cbannnpNm= . （7 ） (限定分组有归属问题) 将相异的 p（2 mp nn n= L1+）个物体分给甲、乙、丙， 等 个人，物体必须被分完，如果指定甲得 件，乙得 件，丙得 件，时，则无论 ， 等 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 m1n2n3n1n2nmn m!.!.21211mnnnnpnpnnnpCCCNmm=. 159“错
27、位问题”及其推广 贝努利装错笺问题: 信 封信与 个信封全部错位的组合数为 n n111 1() ! (1) 2! 3! 4! !nfn nn=+L . 推广: 个元素与 个位置, 其中至少有 个元素错位的不同组合总数为 n n m12 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)!( 1) ( )! ( 1) ( )!mm m mpp mmmmfnm nCn Cn Cn CnCnp Cnm= + + + + LL12341224!1 ( 1) ( 1) pmmmmm m mnnnn n nCCCC C CnAAAA A A=+ +LL . 160不定方程2 nx xx=
28、L1+ + m的解的个数 (1)方程2 nx xxm=L1+ + ,nm N（ ）的正整数解有11mnC个. (2) 方程2 nx xxm=L1+ + ,nm N（ ）的非负整数解有 11nmnC+ 个. (3) 方程2 nx xxm=L1+ + ,nm N（ ）满足条件ix k ( kN , )的非负整数解有21in11(2)(1)mnnkC+ 个. (4) 方程2 nx xxm=L1+ + ,nm N（ ）满足条件ix k ( kN , )的正整数解有 个. 21in12 2223 21(111 21 221(1)nm n mnk n mn k n m n knn nCCC CC CC+
29、+ + + +L2)161.二项式定理 ; nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba +=+LL222110)(二项展开式的通项公式 rrnrnrbaCT+=1)210( nr ， L= . 162.等可能性事件的概率 ()mPAn= . 163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B) 164.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) 165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)
30、 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 () (1 ) .kk nknnPk CP P= 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） ; 0( 1, 2, )iPi=L（2） . 121PP+=L169.数学期望 11 2 2 nnExPxP xP =+LL 170.数学期望的性质 （1） ()()E abaE b += +. （2）若 (, )B np,则 E np = . (3) 若 服从几何分布,且 ，则1()(,)kPkgkpq= = p1Ep = . 171.方差 ()() ()22 2112 2nnDxEpxEp xEp = + + +LL 172.标准差
31、 = D . 173.方差的性质 (1) ()2D abaD += ； (2）若 (, )B np，则 (1 )Dnpp =. (3) 若 服从几何分布,且 ，则1()(,)kPkgkpq= = p2qDp = . 174.方差与期望的关系 ()22DE E = . 175.正态分布密度函数 ()()(22261,26xfx e x=)+，式中的实数， （ 0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 () ()221,26xfx e x= + . 177.对于2(, )N ，取值小于 x的概率 ()xFx=. ()()( )12201xxPxxPxxxP LL不存
32、在 . （3）( )111lim11nnaqaSqq=（ 无穷等比数列S11naq(|1q xf 0)( xf ，则 是极小值. )(0xf197.复数的相等 ,abicdi acbd+=+= =.（ ,abcd R ） 198.复数 z abi=+的模（或绝对值） |z =|=abi+22ab+ . 199.复数的四则运算法则 (1)() ; ()()(abi cdi ac bdi+=+)(2) ; ()()()(abi cdi ac bdi+=+(3) ; ()()( )(a bi c di ac bd bc ad i+=+(4)22 22()() (ac bd bc ada bi c d
33、i i c dicd cd+= + +0)3. 200.复数的乘法的运算律 对于任何 ，有 123,zzz C交换律: . 12 21zz zz=结合律: . 12 3 1 23() (zz z z zz=分配律: . 12 3 121()zzz zzzz+=+201.复平面上的两点间的距离公式 2212 21 21|()(dzz xx yy= + ) i（111zxy= + ，222zxyi= + ）. 202.向量的垂直 非零复数 ， 对应的向量分别是1zab=+i i2zcd=+1OZuuuur，2OZuuuur，则12OZ OZuuuur uuuur12z z 的实部为零 21zz为纯虚数 2212 1 2|zz z z+= +|12 1 2|zz z z= + zz zz22|12 12|= 0ac bd+ = 1zi+2z= (为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ， 20ax bx c+=若 ,则240bac= 21,242bb acxa = ; 若 ,则240bac= =122bxxa=; 若 ，它在实数集24bac= 0 R 内没有实数根；在复数集 内有且仅有两个共轭复数根C22(4)(4 02bbacixba =)ac.
