1、邯郸学院本科毕业论文题 目 全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨学 生 柴云飞指导教师 闫峰 教授年 级 2009 级专 业 数学与应用数学二级学院 数学系（系、部）邯郸学院数学系学院（系、部）2013 年 5 月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师 闫峰 的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）：年 月 日I全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘 要请单击此处，然后输入中文摘要内容关键词：数学建模竞赛 初等方法 建模方法 微
2、分方程 图论 线性规划IICommonly used modeling method of the National Mathematical Contest in ModelingChai yunfei Directed by Professor YanfengABSTRACT在此处输入英文摘要内容 KEY WORDS：mathematical contest elementary method modeling method differential equations graph theory linear programming1目 录全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨 .I前 言
3、 .11 初等数 学建模方法 .21.1 走 路问题 .21.2 银行复利问题 .32 微分方程建 模方法 .52.1 微分方程建模原理和方法 .52.2 人才 分配问题模型 .73 差分和代数建模方法 .83.1 Malthus 人口模型 .83.2 线性差分方程的解法 .94 数据差值与拟合方法 .104.1 拉格 朗日插值法 .114.2 最小二乘法 .125 线性规划建模方法 .145.1 线性规划的一般理论 .145.2 合理 下料问题 .166 图论建模方法 .176.1 图论的基 本概念和简单的图论模型 .176.2 最短轨道问题 .186.3 求最小生成树 .186.4 模拟退
4、火法原理 .196.5 应用举例 .19参考文献 .21附 录 .22致 谢 .231前 言全国大学生数学建模竞赛创办于 1992 年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文。赛题一般涉及面宽-有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，
5、现代科学中出现的新问题等。一般都有一个比较确切的现实问题。本文将主要介绍一些常用的数学建模方法，包括初等数学建模方法、微分方程建模方法、差分和代数建模方法、数据差值与拟合方法、线性规划建模方法、图论建模方法等。21 初等数学建模方法在数学建模竞赛中，常会涉及到初等数学建模方法。对于一些机理简单的问题，常常应用静态、线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等数学方法或简单的微积分知识即可求解，此类模型称之为初等数学模型。初等数学建模方法很多，有比例关系、状态转移、量纲分析、类比建模等。本章主要列举了走路问题与银行复利问题，问题中涉及到了一些方法，通过这些知识方法的巧妙应用，可以开拓思路，提高分析解决
6、实际问题的能力。1.1 走路问题人在匀速行走时，步行多大最省劲？把人行走时做的功看作是人体重心的势能和两脚运动的动能之和。试在此基础上，建立数学模型并对所得结果进行评价。设人体重 M，腿重为 ,腿长为 ,步长为 ，速度为 ，单位时间内步数为 n. 则mlxvnxv由已知，人行走时所作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。计算人体重心升高的势能将人的行走简化，设重心升高为 h,则llhcos2sin1l241lx当 较小时，取泰勒公式展开式前两项，得lx21(lh28x)l于是单位时间内重心升高所需势能为 E势 nMghlx82v计算腿运动的动能如果将行走视为腿（均为直径）绕腰部的转
7、动，则单位时间的动能为E = I n动 213其中 I 为转动惯量，I= = = l = l102rdm102r3m2为角速度， = ，ml .所以vE = l = mv =动 2n326n2xv3于是单位时间行人行走所作的功为P= E + E = +势 动 lMgxv8m63这是一个数学模型，问题转化为欲求：x 为多大时，P 最小。在中，求 P 的驻点，令 =0，解得 x=v 。由 nx=v,得dxpMgml34n= Mgml34若取 M:m=4:1,代入且近似取 l=1(米)，可得 n5,即每秒 5 步，显然太快了，模型修改：是腿重集中在脚上，人行走所需动能为脚的直线运动的动能，则有= m
8、v n= ,E动 能 21xv3其中 = + ,PlMg8xv2m3同上解得 = 3.这比较符合实际。n341.2 银行复利问题一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存 100 元，银行的年利率 2，且可以任意分段按复利计算。试问此人 5 年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？试建立数学模型并求解。按月存款和利息时，每月的利息为 =1206记 x 为第 k 月末时的养老金数，则由题意得kx =10014x =100+100（1+ ）2601x =100+100（1+ ）+100（1+ ）3 6012 x 100+100（1+ ）+100（
9、1+ ）n6011n五年末养老金为x =100 =60000 -1 元6629.9 元60)601(60)1(当复利和存款按日计算时，记 y 为第 k 天的养老金数，则每天的存款额为 a=k,每天的利率为 r= .第 k+1 天的养老金数量与第 k 天的养老金数量的关系为36512036502y = + y (1+r)= + y (1+ )1kk1k36502从第一天开始递推为y =a1y =a+a(1+r)2y = a+a(1+r) +a(1+r)3 2 y = a+a(1+r) +a(1+r) + a(1+r) =a = -1n 21nnr)(anr)1(在 5 年末时的养老金数为： （5 年=5365=1825）y = -1 = -1 6614.68 元182ra182)(365021825)360(当存款和复利连续计算时，将 1 年分成 m 个相等的时间区间，则在每个时间区间中，存款为 ，每个区间的利息为 ,记第 k 个区间养老金的数目为 z ,类似与前m00 k面分析，5 年后养老金为z = = m5120m5)102(1)021(5m
