1、目 录第一部分 压轴题强化训练题专题训练一 等腰三角形的存在性问题专题训练二 相似三角形的存在性问题专题训练三 直角三角形的存在性问题专题训练四 平行四边形的存在性问题专题训练五 梯形的存在性问题专题训练六 面积的存在性问题专题训练七 相切的存在性问题专题训练八 线段和差最值的存在性问题专题训练九 由比例线段产生的函数关系问题专题训练十 由面积产生的函数关系问题专题训练十一 代数计算及通过代数计算进行说理问题专题训练十二 几何证明及通过几何计算进行说理问题第二部分 填空题选择题中的动态图形训练题一、图形的平移二、图形的翻折三、图形的旋转四、三角形五、四边形六、圆七、函数的图象及性质参考答案挑战
2、中考数学压轴题强化训练篇马学斌 编这是一本训练题。这本训练题是挑战中考数学压轴题系列的第三本，是供冲刺数学高分和满分的同学在最后一个阶段训练用的。中考数学压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。中考数学压轴题的共同特点是题目的情景都是动态的，不同的是在图形运动变化的过程中，探究的内容不同，这些内容分为三大类。第一类为函数图象中点的存在性问题，探究在函数的图象上是否存在符合条件的点。第二类为图形运动中的函数关系问题，这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况探求函数的定义域。第三类为图形运动中的计算说理问题，这部分压轴题
3、的主要特征是先给出一个图形进行研究，然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化，进而进行证明。解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变关系，通过计算进行说理。我们把这三大类的动态题目分为 12 个专题训练，每个专题训练由六个板块组成， 【五年扫描】把这个专题训练近五年的 50 份样卷涉及到的地区介绍一下；【专题攻略】简单介绍这个专题的一般解题步骤和策略；【针对训练】三道题目是根据历年的中考压轴题改编的；【三年真题】选择三道近三年的中考题供同学们训练；【两年模拟】选择两道近两年的中考模拟题供同学们训练；【自编原创】是我们参考近十年的中考题，编制的一道训练题。在选择题和填空题中
4、，也有一些动态图形的题目，我们把这些题目分为 7个专题，提供给同学们训练。压轴题肯定是有难度的，因此我们在书的后半部分提供了详尽的解答过程，个别题目还提供了多种解法。这个解答过程，保持了挑战中考数学压轴题系列的优势和特点，用尽可能多的图形帮助同学们理解题意。专题训练一 等腰三角形的存在性问题典藏回顾我们收集、解读近 5 年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题的常见类型。等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五
5、年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点专题攻略如果ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC ，BABC ，CACB 三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验针对训练1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 D 在坐标为(3，4) ，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，如果DOP 是等腰三角形，求点 P 的坐标 （ 09 上
6、海 24）2如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，动点 P 以 2 个单位/秒的速度从点 A 出发，沿 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 个单位/ 秒的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 移动，当P、 Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动在 P、 Q 两点移动过程中，当PQC 为等腰三角形时，求 t 的值 （08 南汇 25）3如图，直线 y2x 2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，直线 PQ 与直线 AB 垂直，交 y 轴于点 Q，如果APQ 是等腰三角形，求点 P 的坐标三年真题4 （12 临沂 26）如图，点 A 在
7、 x 轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由5 （11 湖州 24）如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点P(0,m )是线段 OC 上一动点（C 点除外） ，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（2）当APD 是等腰三角形时，求 m
8、 的值；（3）设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2） 当点 P 从 O 向 C 运动时，点 H 也随之运动 请直接写出点 H 所经过的路长（不必写解答过程） 图 1 图 26 （10 南通 27）如图，在矩形 ABCD 中，ABm （m 是大于 0 的常数） ，BC 8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、C 重合） 连结 DE，作 EFDE，EF 与射线 BA 交于点 F，设CE=x，BFy（1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）若 m8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若 ，要使DEF 为
9、等腰三角形，m 的值应为多少？2y两年模拟7 （2012 年福州市初中毕业班质量检查第 21 题）如图，在ABC 中，AB AC 10，BC 16，DE 4动线段 DE（端点 D 从点 B 开始）沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当端点 E 到达点 C 时运动停止过点 E作 EF/AC 交 AB 于点 F（当点 E 与点 C 重合时，EF 与 CA 重合） ，联结 DF，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）直接写出用含 t 的代数式表示线段 BE、EF 的长；（2）在这个运动过程中，DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由；（3）设 M、N 分
10、别是 DF、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积8 （宁波七中 2012 届保送生推荐考试第 26 题）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且AB3，BC ，直线 y 经过点 C，交 y 轴于点 G3232x（1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ） ，D（ ） ；（2）求顶点在直线 y 上且经过点 C、D 的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线 y 平移，平移后的抛32x物线交 y 轴于点 F，顶点为点 E（顶点在 y 轴右侧） 平移后是否存在这样的抛物线，使EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说
11、明理由 自编原创9如图，已知ABC 中，ABAC 6，BC 8，点 D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC边上，ADEB 设 BD 的长为 x，CE 的长为 y（1）当 D 为 BC 的中点时，求 CE 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）如果ADE 为等腰三角形，求 x 的值备用图 备用图参考答案:1因为 D（3，4） ，所以 OD5， 3cos5DOP如图 1，当 PDPO 时，作 PEOD 于 E在 Rt OPE 中， ， ，所以 cosP2256此时点 P 的坐标为 25(,0)6如图 2，当 OPOD5 时，点 P 的坐标为(5 ，0)如
12、图 3，当 DODP 时，点 D 在 OP 的垂直平分线上，此时点 P 的坐标为(6 ，0)第 1 题图 1 第 1 题图 2 第 1 题图 32在 RtABC 中， .因此 .108622BCA4cos5ACB在PQC 中，CQt，CP102t.第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3如图 1，当 时， ，解得 (秒).CPQ10tt103t如图 2，当 时，过点 Q 作 QMAC 于 M，则 CM .15PCt在 Rt QMC 中， ，解得 (秒).45cosCtM29t如图 3，当 时，过点 P 作 PNBC 于 N，则 CN .P 1Qt在 Rt PNC 中， ，解得 (秒
13、).142cos50tCN802t综上所述，当 t 为 时，PQC 为等腰三角形.秒秒 、秒 、 8923103由 y2x2 得，A(1，0)，B(0 ，2)所以 OA1，OB2如图，由AOBQOP 得，OPOQOB OA21设点 Q 的坐标为(0，m)，那么点 P 的坐标为(2m ，0)因此 AP2(2 m1) 2，AQ 2 m21，PQ 2m 2(2m )25m 2当 APAQ 时，AP 2AQ 2，解方程(2 m1) 2m 21，得 或 所以符合条043件的点 P 不存在当 PAPQ 时，PA 2PQ 2，解方程(2 m1) 25m 2，得 所5以 (45,0)当 QAQP 时，QA 2
14、QP 2，解方程 m215m 2，得 所以 1(,0)P第 3 题图4 （12 临沂 26）（1）如图，过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C在 Rt OBC 中， BOC30 ，OB4，所以 BC2， 3O所以点 B 的坐标为 (2,3)（2）因为抛物线与 x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为 yax( x4)，代入点 B ， 解得 (,)(6)a36a所以抛物线的解析式为 234yxx（3）抛物线的对称轴是直线 x2，设点 P 的坐标为(2, y)当 OPOB 4 时，OP 216所以 4+y216解得 3当 P 在 时，B、O、P 三点共线(2,)当 BPBO 4 时，BP
15、216所以 解得 224()16y123y当 PBPO 时，PB 2PO 2所以 解得 3综合、，点 P 的坐标为 (,)第 4 题图5 （11 湖州 24） （1）因为 PC/DB，所以 因此1CPMBDPMDM，CPBD2m所以 AD4m 于是得到点 D 的坐标为(2，4m)（2）在APD 中， ， ， 22()AD2A222()P当 APAD 时， 解得 （如图 1） 43当 PAPD 时， 22()解得 （如图 2）或 （不合题意，舍去） 3m当 DADP 时， 2(4)m2()解得 （如图 3）或 （不合题意，舍去） 2综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为 ， 或 324第
16、 5 题图 1 第 5 题图 2 第 5 题图 3另解第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图 1，当 APAD 时，AM 垂直平分 PD，那么PCMMBA所以 因此 ， 2PCMBA12PC3m如图 2，当 PAPD 时，P 在 AD 的垂直平分线上所以 DA2PO因此 解得 443（3）点 H 所经过的路径长为 思路是这样的：5如图 4，在 Rt OHM 中，斜边 OM 为定值，因此以 OM 为直径的G 经过点 H，也就是说点 H 在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图 5，P 与 O 重合时，是点 H 运动的起点，COH45，CGH90第 5 题图 4
17、第 5 题图6 （10 南通 27）(1)因为EDC 与FEB 都是 DEC 的余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以 DCEEBF因此 ，即 DEF8mxy整理，得 y 关于 x 的函数关系为 218yxm(2)如图 1，当 m8 时， 22(4)8因此当 x4 时，y 取得最大值为 2(3) 若 ，那么 整理，得 21x2810x解得 x2 或 x6要使DEF 为等腰三角形，只存在 EDEF 的情况因为DCEEBF，所以 CEBF ，即 xy将 xy 2 代入 ，得 m6（如图 2） ；12y将 xy 6 代入 ，得 m2（如图 3） 第 6 题图 1 第 6 题图 2 第 6 题图
18、37 （1） ， 4BEt5(4)8Ft（2）DEF 中，DEF C 是确定的如图 1，当 DEDF 时， ，即 解得 DEAB5(4)8106t1562t如图 2，当 EDEF 时， 解得 54()8t125t如图 3，当 FDFE 时， ，即 解得 ，即 D 与 B 重合FEACDB(4)016tt第 7 题图 1 第 7 题图 2 第 7 题图 3（3）MN 是FDE 的中位线，MN/DE，MN2，MN 扫过的形状是平行四边形如图 4，运动结束，N 在 AC 的中点，N 到 BC 的距离为 3；如图 5，运动开始，D 与 B 重合，M 到 BC 的距离为 4所以平行四边形的高为 ，面积为
19、 39492第 7 题图 4 第 7 题图 58 （1） ， (,23)C(1,)D（2）顶点 E 在 AB 的垂直平分线上，横坐标为 ，代入直线 y ，5232x得 y设抛物线的解析式为 ，代入点 ，可得 253()yax(4,3)C3a所以物线的解析式为 （3）由顶点 E 在直线 y 上， 可知点 G 的坐标为 ，直线与 y 轴正半32x(0,2)轴的夹角为 30， 即EGF30设点 E 的坐标为 ，那么 EG2m ，平移后的抛物线为(,3)m所以点 F 的坐标为 23()yx23(0,3)m如图 1，当 GEGF 时，y Fy GGE2m，所以 解得 m0 或 m0 时顶点 E 在 y
20、轴上，不符合题意32此时抛物线的解析式为 22373()yx如图 2，当 EFEG 时，FG ，所以 解得 m0 或 E23m32此时抛物线的解析式为 23()yx当顶点 E 在 y 轴右侧时，FEG 为钝角，因此不存在 FEFG 的情况第 8 题图 1 第 8 题图 29 （1）当 D 为 BC 的中点时，ADBC，DEAC，CE 83（2）如图 1，由于ADCADE1，ADCB2，ADEB，所以12又因为 ABAC ，所以CB所以DCEABD因此 ，即 CEAD86xy整理，得 x 的取值范围是 0x821463y（3）如图 1，当 DADE 时，DCEABD因此 DCAB，8x6解得 x
21、2如图 2，当 ADAE 时，D 与 B 重合，E 与 C 重合，此时 x0如图 3，当 EAED 时，DAEADEBC，所以DACABC因此解得 86x7x第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3专题训练四 平行四边形的存在性问题典藏回顾平行四边形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、山西、河南、江西和以市为单位统一考试的江苏、浙江、山东、湖北、福建、四川等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以
22、使计算又好又快如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有 3 个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个交点如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便针对训练1如图，已知抛物线 yx 22x 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 P若以 A、C、P、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标(11 金山 24)2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y x2+2x3 与 x 轴交于 A、B
23、两点，点 M 在这条抛物线上，点 P 在 y 轴上，如果以点 P、M、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标 （11 普陀 24）3将抛物线 c1： 沿 x 轴翻折，得到抛物线 c2，如图所示23y现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为 D、E在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由(11 江西 24)三年真题4（11
24、上海 24）已知平面直角坐标系 xOy（如图） ，一次函数 的图像与 y 轴交34yx于点 A，点 M 在正比例函数 的图像上，且32yxMOMA二次函数 yx 2 bxc 的图像经过点 A、M（1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图像上，点 D 在一次函数 的图像上，34yx且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标5 （12 福州 21）如图 1，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿
25、边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PD/BC，交 AB 于点 D，联结 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（t0） （1）直接用含 t 的代数式分别表示： QB_，PD_；（2）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；（3）如图 2，在整个运动过程中，求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长图 1 图 26 （11 成都 28）如图，在
26、平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的 A、B 两个顶点在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴的负半轴上 已知|OA|OB|15，|OB|OC|，ABC 的面积 SABC 15，抛物线 yax 2bx c(a0)经过 A、B、C 三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩形 EFGH则在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M
27、，使MBC 中 BC 边上的高为 ？若存在，72求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 两年模拟7 （2012 年从化市初三综合测试）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx 3a 经过 A(1,0)、B(0,3)两点，与 x 轴交于另一点 C，顶点为 D（1）求该抛物线的解析式及点 C、D 的坐标；（2）经过点 B、D 两点的直线与 x 轴交于点 E，若点 F 是抛物线上一点，以 A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点 F 的坐标；（3）如图 2，P（2，3）是抛物线上的点，Q 是直线 AP 上方的抛物 线上一动点，求APQ 的最大面积和此时 Q 点的坐标图 1 图 2
28、8 （2012 年高安市九年级模拟考试）已知抛物线 的顶点为 A，与 x 轴的交点为 B，C（点 B 在点 C 的左2()yaxb(0)a侧） （1)直接写出抛物线对称轴方程；（2）若抛物线经过原点，且ABC 为直角三角形，求 a， b 的值；（3）若 D 为抛物线对称轴上一点，则以 A、B、C、D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出 a，b 满足的关系式；若不能，说明理由 自编原创9如图，已知双曲线 与直线 AB 交于 A、B 两点，与直线 CD 交于 C、D 两点6yx（1）求证四边形 ACBD 是平行四边形；（2）四边形 ACBD 可能是矩形吗？可能是正方形吗？（3）如果点 A 的
29、横坐标为 3，点 C 的横坐标为 m(m0)，四边形 ACBD 的面积为 S，求 S与 m 的之间的关系式参考答案:1由 yx 22x 3( x3)( x1) (x1) 24，得 A（3，0） ，B（1，0） ，C （0，3） ，P（1，4） 如图，过PAC 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点 M因为 AM1/PC，AM 1PC，那么沿 PC 方向平移点 A 可以得到点 M1因为点 P(1， 4)先向下平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位可以与点 C(0，3)重合，所以点 A(3，0) 先向下平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位就得到点 M1(2，1
30、) 因为 AM2/CP，AM 2CP，那么沿 CP 方向平移点 A 可以得到点 M2因为点 C(0，3)先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位可以与点 P(1，4)重合，所以点 A(3，0)先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位就得到点 M2(4，1) 因为 PM3/AC，PM 3AC，那么沿 AC 方向平移点 P 可以得到点 M3因为点 A(3， 0)先向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位可以与点 C(0，3)重合，所以点 P(1，4)先向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位就得到点 M3(2，7) 第 1 题图2 由 y x2+2x3(x1)(x3)，得 A(
31、1，0) ，B(3，0) 如图 1，当 AB 是平行四边形的对角线时，PM 与 AB 互相平分，因此点 M 与点 P 关于 AB 的中点（1，0）对称，所以点 M 的横坐标为 2当 x2 时，y = x2+2x 33此时点 M 的坐标为(2，3)如图 2，图 3，当 AB 是平行四边形的边时，PM/AB，PMAB4所以点 M 的横坐标为 4 或4如图 2，当 x4 时，y = x2+2x3 5此时点 M 的坐标为(4， 5)如图 3，当 x4 时，y = x2+2x3 21此时点 M 的坐标为(4，21)第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 33 抛物线 c1： 与 x 轴的两个交
32、点为(1，0)、(1 ，0)，顶点为 3y (0,)抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度后，顶点 M 的坐标为 ，与 x 轴的两个交点(,)m为 、 ，AB2(,0)A(,)B抛物线 c2 在平移的过程中，与抛物线 c1 关于原点对称所以四边形 AMEN 是平行四边形如果以点四边形 AMEN 是矩形，那么 AEMN所以 OAOM而 OM2m 23，所以(1 m) 2m 23解得 m1（如图） 第 3 题图另解 探求矩形 ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形 ABM 中，因为 AB2，AB 边上的高为 ，所以ABM 是等边三角形3同理DEN 是等边三角形当四边形 ANEM 是矩形时，
33、B、D 两点重合因为起始位置时 BD2，所以平移的距离 m14 （1）当 x0 时， ，所以点 A 的坐标为(0，3)，OA 334yx如图 1，因为 MOMA，所以点 M 在 OA 的垂直平分线上，点 M 的纵坐标为 32将 代入 ，得 x1所以点 M 的坐标为 因此 32y (1,)21A（2）因为抛物线 yx 2bx c 经过 A(0，3) 、M ，所以3,3.2cb解得 ， 所以二次函数的解析式为 5b325yx（3）如图 2，设四边形 ABCD 为菱形，过点 A 作 AECD，垂足为 E在 RtADE 中，设 AE4m，DE3m ，那么 AD5m因此点 C 的坐标可以表示为 (4m，
34、32m )将点 C(4m，32m)代入 ，得 5yx21603解得 或者 m0（舍去） 1因此点 C 的坐标为（2， 2） 第 4 题图 1 第 4 题图 25 （1）QB82t，PD 43t（2）当点 Q 的速度为每秒 2 个单位长度时，四边形 PDBQ 不可能为菱形说理如下：在 Rt ABC 中，AC6，BC8，所以 AB10已知 PD/BC，当 PQ/AB 时，四边形 PDBQ 为平行四边形 所以 ，即 解得 CPBA6t125t此时在 Rt CPQ 中， ， 4456sinCQP所以 ， 285QBD因此 BQBD所以四边形 PDBQ 不是菱形如图 1，作ABC 的平分线交 CA 于
35、P，过点 P 作 PQ/AB 交 BC 于 Q，那么四边形PDBQ 是菱形过点 P 作 PEAB，垂足为 E，那么 BEBC8在 RtAPE 中， ，所以 23cos5At10t当 PQ/AB 时， ，即 解得 CQPB68329CQ所以点 Q 的运动速度为 第 5 题图 1321095（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 2，当 t0 时，PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3，0)如图 3，当 t4 时，PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1，4) 直线 EF 的解析式是 y2x 6如图 4，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（ ，t ） 经验证，点 M（ ，t ）在直6262线 EF
36、上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长， EF 5第 5 题图 2 第 5 题图 3 第 5 题图 4另解 第（3）题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时，PQ 的中点为(2， 2)设点 M 的运动路径的解析式为 yax 2bxc ，代入 E(3，0)、F(1 ，4)和(2，2) ，得 解得 a0，b2，c 69,42.abc所以点 M 的运动路径的解析式为 y2x66 （1）设 OA 的长为 m，那么 OBOC5m由ABC 的面积 SABC 15，得 m5所以点 A、B、C 的坐标分别为 (1，0)、(5 ，0)、(0，5)设抛物线的解析式为
37、ya(x1) ( x5) ，代入点 C(0，5)，得 a1所以抛物线的解析式为 y(x1) ( x5) x 24 x 5（2）抛物线的对称轴为直线 x2，设点 E 在对称轴右侧，坐标为(x ，x 24 x5)如图 1，当 E 在 x 轴上方时，EF 2( x2)，EH x24 x 5解方程 2(x2)x 24 x5，得 或 （舍去） 310此时正方形的边长为 如图 2，当 E 在 x 轴下方时，EF 2( x2)，EH ( x24 x5)解方程 2(x2)(x 24 x 5) ，得 或 （舍去） 10此时正方形的边长为 10第 6 题图 1 第 6 题图 2 第 6 题图 3（3）如图 3，因
38、为点 B、C 的坐标分别为 (5，0)、(0 ， 5)，所以 BC 与 x 轴正半轴的夹角为 45过点 B 作 BM BC，且使得 BM 7过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，那么BMN 是等腰直角三角形在 Rt BMN 中，斜边 BM ，所以 BNMN772因此点 M 的坐标为(2，7) 或(12 ，7)经检验，点(2，7)在抛物线 y(x1) (x5) 上；点(12， 7)不在这条抛物线上所以点 M 的坐标是(2，7) 另解第（3）题也可以这样思考：设抛物线上存在点 M，设点 M 的坐标为(x，x 24 x 5) 由于BMN 是等腰直角三角形，BNMN，所以 5xx 24 x5解得 x
39、2 或 x5（与点 B 重合，舍去） 所以点 M 的坐标是(2，7) 这种解法不需要分情况讨论点 M 的位置，这是因为：当 M 在点 B 的右侧时，方程为 x5(x 24 x5) ，这个方程和点 M 在点 B 的左侧时的方程是同一个方程7 （1）抛物线的解析式为 yx 22x 3，C(3,0)，顶点 D(1,4)（2）如图 1，直线 BD 为 yx3，E(3,0) 过ABE 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点 F 点 E(3,0)向左平移 2 个单位得到点 A(1,0)，那么点 B(0,3) 向左平移 2 个单位得到点 F1(2,3)经验证，F 1(2,3)在抛物线上
40、 F2 不在抛物线上由 B(0,3)先向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位得到点 E(3,0)，那么点A( 1,0) 先向下平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位得到点 F3(4,3) 经验证，F3( 4,3) 不在抛物线上（3）如图 2，直线 AP 的解析式为 yx 1过点 Q 作 y 轴的平行线交 AP 于 H设 Q(x, x 22x3)，那么 H(x, x1)因此 SAPQ S AQH S PQH 2)()32PAx217()8x所以当 时，APQ 的最大面积为 此时 Q 12x87415,第 7 题图 1 第 7 题图 28 （1）抛物线对称轴是直线 x2（2）点 B(0,0
41、)关于对称轴 x2 对称的点 C 为(4,0)，设抛物线的解析式为 yax(x4) 当ABC 为直角三角形时， ABC 为等腰直角三角形，ABAC，BAC90所以点 A 的坐标为(2,2)或(2, 2)将 A(2,2)代入 yax (x4) ，得 于是 因12a211(4)2yx此 2b当 A(2,2) 代入 yax(x 4)，得 于是 因此 12a21(4)2yxx2b（3）如果四边形 ABDC 是正方形，那么 A、D 关于 BC（x 轴）对称且ABC 为等腰直角三角形由 A(2,b)，得 B(2b,0)、C(2b,0)于是可得抛物线的解析式为 ya(x2b)(x2b)代入 A(2,b)，得
42、 bab 2所以 19 （1）因为 A、B 关于原点 O 对称，C、D 关于原点 O 对称，所以 OAOB，OCOD所以四边形 ACBD 是平行四边形（2）如图 1，当直线 AB 与直线 CD 关于直线 yx 对称时，OA OBOCOD ，所以四边形 ACBD 可以成为矩形因为 x0，y0，所以点 A、 B、C、D 不可能落在坐标轴上，因此直线 AB 与 CD 不可能垂直，即平行四边形 ACBD 的对角线不可能互相垂直，所以四边形 ACBD 不可能成为正方形（3）如图 2，作 AEx 轴于 E，CFx 轴于 F，那么 SAOE S COF 如图 2，当点 C 在点 A 上方时，设 OA 与 CF 交于点 M，那么 S 四边形 AEFMS COM 因此 SAOC S 梯形 AEFC 169(2)3m所以 SS 平行四边形 ACBD4S AOC 4如图 3，当点 C 在点 A 下方时， SAOC S 梯形 AEFC 169(2)3m所以 SS 平行四边形 ACBD4S AOC 36m第 9 题图 1 第 9 题图 2 第 9 题图 3
