1、一、条件概率,二、全概率公式与贝叶斯公式,三、小结,1.4 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式,1. 定义1.8,一、条件概率,2. 性质,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,3. 乘法定理,例2 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 P(B|A).,解,由条件概率的公式得,例3 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活
2、到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少?,设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有,解,例4 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同?,解,则有,抓阄是否与次序有关?,依此类推,故抓阄与次序无关.,1. 样本空间的划分,二、全概率公式与贝叶斯公式,2. 全概率公式,全概率公式,图示,证明,化整为零 各个击破,说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算
3、问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,称此为贝叶斯公式.,3. 贝叶斯公式,贝叶斯资料,证明,证毕,例2,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由贝叶斯公式得,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.
4、,先验概率与后验概率,解,例3,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,三、小结,乘法定理,贝叶斯资料,Thomas Bayes,Born: 1702 in London, England Died: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England,例1 设袋中有4只白球, 2只红球 , (1) 无放回随机地抽取两次, 每次取一球, 求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取 3次, 每次抽取一球, 求 (a) 第一次是白球的情况下, 第二次
5、与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率?,备份题,解,则有,例2 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率.,解,设事件A 为“ 两颗点数之和为 7 ”, 事件 B 为 “ 一颗点数为1 ”.,故所求概率为,掷骰子试验,两颗点数之和为 7 的种数为 3,其中有一颗为 1 点的种数为 1,例3 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱, 三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10 箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品, 求取得的正品概率.,设 A 为事件“取得的产品为正品”,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知,解,故,解,例4,由贝叶斯公式得所求概率为,
