1、- 1 -系统建模方法2.1 系统抽象与数学描述2.1.1 实际系统的抽象本质上讲，系统数学模型是从系统概念出发的关于现实世界的一小部分或几个方面的抽象的“映像” 。为此，系统数学模型的建立需要建立如下抽象：输入、输出、状态变量及其间的函数关系。这种抽象过程称为模型构造。抽象中，必须联系真实系统与建模目标，其中描述变量起着很重要的作用，它可观测，或不可观测。从外部对系统施加影响或干扰的可观测变量称为输入变量。系统对输入变量的响应结果称为输出变量。输入、输出变量对的集合，表征着真实系统的“输入-输出”性状（关系） 。综上述，真实系统可视为产生一定性状数据的信息源，而模型则是产生与真实系统相同性状
2、数据的一些规则、指令的集合，抽象在其中则起着媒介作用。系统数学建模就是将真实系统抽象成相应的数学表达式（一些规则、指令的集合） 。- 2 -观测屏障（可观测）输出变量真实系统（可观测）输入变量真实系统黑箱灰箱白箱数学描述抽象（t） （t）（t） 、（t） -输入输出变量对真实系统建模的抽象过程- 3 -2.1.2 系统模型的一般描述及描述级（水平）2.1.2.1 系统模型的一般描述：一个系统的数学模型可以用如下七元组集合来描述：2.1.2.2 系统模型描述级（水平）：按照系统论的观点，实际系统可在某种级（水平）上被分解，因此系统的数学模型可以有不同的描述级（水平）： 性状描述级性状描述级或称为
3、行为描述级（行为水平） 。在此级上描述系统是将系统堪称黑箱，并施加输入信号，同时测得输出响应，结果是得出一个输入- 输出对：( ，) 及其关系 Rs=(， )：， 。,YQXTS 其 中 ： :时 间 基 ， 描 述 系 统 变 化 的 时 间 坐 标 ， T为 整 数 则 称 为 离 散 时 间 系统 ， 为 实 数 则 称 为 连 续 时 间 系 统 ； :X输 入 集 ， 代 表 外 部 环 境 对 系 统 的 作 用 。 输 入 段 集 ， 描 述 某 个 时 间 间 隔 内 的 输 入 模 式 ， 是 TX,的 一 个子 集 。 :Q内 部 状 态 集 ， 描 述 系 统 内 部 状
4、 态 量 ， 是 系 统 内 部 结 构 建 模 的 核 心 。 状 态 转 移 函 数 ， 定 义 系 统 内 部 状 态 是 如 何 变 化 的 ， 是 一 个 映 射 。 :Y输 出 集 ， 系 统 通 过 它 作 用 于 环 境 。 输 出 函 数 ， 是 一 个 映 射 ， 给 出 了 一 个 输 出 段 集 。 - 4 -因此，系统的性状级描述只给出输入-输出观测结果。其模型为五元组集合结构：S=（T，X ，Y， R）当 ， 满足 =f（）函数关系时，其集合结构变为：S=（T，X ，Y， F）黑箱 状态描述级在状态结构级（状态结构水平）上，系统模型不仅能反映输入-输出关系，而且应能
5、反映出系统内部状态，以及状态与输入、输出间的关系。即不仅定义了系统的输入与输出，而且定义了系统内部的状态集及状态转移函数系统的数学模型对于动态结构可用七元组集合来描述：S=（T，X ，Q，Y， ）对于静态结构有：S=（X，Q， Y，）白箱 复合结构级系统一般由若干个分系统组成，对每个分系统都给出行为级描述，被视为系统的一个“部件” 。这些部件有其本身的输入、输出变量，以及部件间的连接关系和接口。于是，可以建立起系统在复合结构级（分解结构级）上的数学模型。这种复合结构级描述是复杂系统和大系统建模的基础。应该强调： 系统分解为复合结构是无止境的，即每个分系统还会有自己的复合结构； 一个有意义的复合
6、结构描述只能给出唯一的状态结构描述，- 5 -而一个有意义的状态结构描述本身只有唯一的性状（行为）描述； 系统上述概念必须允许分解停止，又允许进一步分解，既包含递归可分解性。灰箱- 6 -2.2 相似概念简介2.2.1 相似概念及含义仿真的理论依据：相似论。自然界中广泛存在着“相似”概念，最普遍的是：几何相似：最简单、最直观，如多变形、三角形相似；现象相似：几何相似的拓展，如物理量之间存在的比例关系。采用相似技术来建立实际系统的相似模型，这是相似理论在系统仿真中基础作用的根本体现。2.2.2 相似分类绝对相似：两个系统（如系统原型与模型）全部几何尺寸和其他相应参数在时空域上产生的全部变化（或全
7、部过程）都是相似的；完全相似：两个系统在某一相应方面的过程上相似，如发电机的电流电压问题，模型与原型在电磁现象方面是完全相似即可，而无需考虑热工和机械方面的相似；不完全相似（局部相似）：仅保证研究部分的系统相似，而非研究和不要求部分的过程可能被歪曲，为研究目的所允许；近似相似：某些简化假设下的现象相似，数学建模要保证有效性。不同领域中的相似有各自的特点，对领域的认识水平也不一样：环境相似（几何相似、参量比例相似等）：结构尺寸按比例缩小得到的模型- 缩比模型，如风洞、水洞实验所用的模型。离散相似：差分法、离散相似法把连续时间系统离散化为等价的离散时间系统。- 7 -性能相似（等效、动力学相似、控
8、制响应相似等）：数学描述相同或者频率特性相同，用于构造各类仿真的相似原则。感觉相似（运动感觉、视觉、音响感觉等）：耳、眼、鼻、舌、身等感官和经验，MIL 仿真把感觉相似转化为感觉信息源相似，培训仿真器、VR 均是利用这种相似原则。思维相似：逻辑思维相似和形象思维相似（比较、综合、归纳等） ，专家系统、人工神经元网络。系统具有内部结构和外部行为，因此系统的相似有两个基本水平：结构水平和行为水平。同构必具有行为等价的特性，但行为等价的两个系统并不一定具有同构关系。因此，系统相似无论具有什么水平，基本特征都归结为行为等价。- 8 -2.3 系统建模原则、一般途径和模型型谱2.3.1 建模的基本原则清
9、晰性：系统模型是由许多分系统、子系统模型构成的，在模型与模型间，除了研究目的需要的信息外，相互耦合要尽量少，使结构尽可能清晰；切题性：模型只应包括与研究目的有关的那些信息，而不是一切方面；精确性：在建模时，应考虑所收集到的用以建立模型的信息的精确程度，要根据所研究问题的性质和所要解决的问题来确定对精确程度的要求；对于不同的工程，精度要求是不一样的，即使对于同一工程，由于研究的问题不同，精度要求也是不一样的；集合性：指把一些个别的实体能组成更大实体的程度，对于一个系统实体的分割，在可能时应尽量合并为大的实体。2.3.2 建模的一般途径对于内部结构和特性清楚的系统，即所谓的白箱（多数的工程系统都是
10、） ，可以利用已知的一些基本规律，经过分析和演绎导出系统模型 ；对那些内部结构和特性不清楚或不很清楚的系统，即所谓的灰箱和黑箱，如果允许直接进行实验性观测，则可假设模型并通过实验验证和修正；对于那些属于黑箱但又不允许直接实验观测的系统（非工程系统多属于这一类） ，则采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。2.3.3 模型型谱对于不同领域，可以给出一个数学模型型谱：- 9 -白箱经济学、生理学、空气污染 过程控制、动力学黑箱社会学、生态学、水文学 空间、航空、电子电路图 2-1 不同领域的数学模型型谱- 10 -2.4 系统模型的有效性与数学建模过程框架2.4.1 基本模型与模型集总基本模型（基
11、础模型 Base model）：提供了对实际系统行为的完全解释，包含有实际系统应有尽有的分量和相互关系，在各种试验模式下该模型对于真实系统的“全部”输入-输出性状都是有效的。由于模型包含过多的分量及相互关系，一般是十分复杂而庞大。通常是难以得到的，更何况并不实用。一般是根据具体建模目标、在一定试验规模下构造出一个比较简单而满足精度要求的模型：排除基本模型中那些与建模目标甚远或涉及不到的分量，并对相关描述分量的相互关系加以简化。模型集总：排除基本模型次要分量并简化其现存分量相互关系的过程。集总模型（Lumped model）：集总后的模型。模型研究中使用的模型一般为集总模型。2.4.2 模型的有
12、效性数学建模中最重要、最困难的问题之一模型有效性的问题十分复杂，只介绍一般概念。所谓模型的有效性：就是在对模型所作的预测精度为基准下，反映实际系统数据与模型数据之间的一致性。理论上讲，即实际系统与模型的输入-输出一致。可用下式象征性地描述：实际系统数据？=？模型产生数据模型的有效性水平可以根据获取的困难程度有强度轻重之分，一般分为三级：- 11 -复制有效：模型产生的数据与实际系统所取得的数据相匹配，属于模型有效性的最松水平；预测有效：从实际系统取得数据之前就能够至少看出匹配数据，属于有效性稍强水平；结构有效：不仅能够复制实际系统行为，而且能够真实反映实际系统产生此行为的操作，属于更强的有效性
13、水平，可看出实际系统的内部工作情况。2.4.3 系统数学建模过程框架考虑模型的有效性水平，要在建模和模型使用时重点考虑一下几个方面：先验的知识可信性：建模前提的正确性，数学描述的有效性取决于先验知识的可信性；实验数据的可信性：所选择的数据段是否能反映系统行为特征，模型数据与实际系统数据的偏离程度；模型应用的可信性：从实际出发，考虑模型运行能否达到预期目标。因此，在建模方法与步骤上要有所考虑：- 12 -模型框架定义先验知识演绎分析结构特性确定模型有效性分析参数估计后验模型目的目标协调试验设计数据数学建模过程框架- 13 -2.5 常用数学建模方法2.5.1 常见数学建模方法及分类基本上分两大类
14、： 机理分析建模方法（白箱）：依据基本的物理、化学等定律，进行机理分析，确定模型结构、参数；使用该方法的前提是对系统的运行机理完全清楚。 实验统计建模方法：基于实验数据的建模方法（白箱、灰箱、黑箱） 辨识建模：线性、非线性，动态、静态 统计回归：一般是静态的线性模型 神经网络：理论上可以对任何数据建模，但学习算法是关键 模糊方法：实验统计建模方法使用的前提是必须有足够正确的数据，所建的模型也只能保证在这个范围内有效；足够的数据不仅仅指数据量多，而且数据的内容要丰富（频带要宽） ，能够充分激励要建模系统的特性；（白噪声、最优输入信号设计、数据的质量）要清楚每种方法的局限性，掌握适用范围；在实际应
15、用中往往组合采用、互补。2.5.2 机理分析建模方法2.5.2.1 机理分析法建模原理又称为直接分析法或解析法，应用最广泛的一种建模方法。一般是在若干简化假设条件下，以各学科专业知识为基础，通过分析系统变量之间的关系和规律，而获得解析型数学模型。- 14 -其实质是应用自然科学和社会科学中被证明是正确的理论、原理和定律或推论，对被研究系统的有关要素（变量）进行理论分析、演绎归纳，从而构造出该系统的数学模型。2.5.2.2 机理分析法建模步骤建模步骤如下：1) 分析系统功能、原理，对系统作出与建模目标相关的描述；2) 找出系统的输入变量和输出变量；3) 按照系统（部件、元件）遵循的物化（或生态、
16、经济）规律列写出各部分的微分方程或传递函数等；4) 消除中间变量，得到初步数学模型；5) 进行模型标准化；6) 进行验模（必要时需要修改模型） 。2.5.3 表格插值建模方法2.5.3.1 表格插值建模原理由于这种方法不允许直接实现动态方程，称之为静态建模技术。但表格插值功能常用于建立系统动态方程。一般用于如下形式： ),()(321xfky可以是仿真中的任意变量，如时间、状态变量,321x或常数等，输入个数可以使任意的，但实际应用中一般小于5，输入量的增加，求解计算时间会增加。一个有 N 个输入的插值函数可以用 N 维查找表来计算，每一个变量的跨度为一个一维查找表。插值点的跨度可以是等间距的
17、，也可以是任意的间隔。- 15 -x1， y， x20.00 0.20 0.40 0.80 1.000.00 1.20 1.40 1.80 2.10 2.600.10 1.30 1.45 1.90 2.22 2.650.20 1.50 1.60 2.15 2.30 2.690.30 1.70 1.80 2.01 2.34 2.730.40 1.98 2.23 2.28 2.46 2.86插值计算有多种方法，不同的方法再插值计算复杂度和插值函数平滑方面有所不同，一般由两种方法可以满足大多数情况下的需要：线性插值法三次样条插值法2.5.3.2 线性插值法建模可以在图上直线连接相邻插值点来进行一维线
18、性插值，如下图。插值函数是连续的，但其插值点上的微分是不连续的。- 16 -y0y1 y2y3 y4y5y7y6x0 x1 x3 x4 x5 x6 x7x2LLLL xyy11注：要先确定插值点 L、 L+1。常采用二分法，可以大大节省搜索时间。如果输入值 x 在计算范围内小范围内变化，可以先检查输入值是否再上一次计算的插值间隔内，这样就可以简化步骤，省去二分法；也可以检查前一个插值点间隔、其相邻的插值点间隔（如果必要） ，有时可省去使用二分法，但第一个插值点的计算除外；该方法的有效性依赖于输入变量的缓变性，这样两次函数计算之间不会发生快速跳变。条件不成立时，由于附加检查先于二分法，计算过程变
19、慢。2.5.3.3 三次样条插值法建模可以得到平滑的插值函数。三次样条插值是运用三阶多项式估计两个插值点间的函数。这- 17 -样，在两个插值点上几两个插值点间，插值函数及其一阶和二阶导数均是连续的。从某种角度上讲，三次样条可以在插值点间获得可能的最平滑的插值。y0y1 y2y3 y4y5y7y6x0 x1 x3 x4 x5 x6 x7x2与线性插值比代价要大，计算时间增加，内存需求也有所增加；算法复杂。2.5.3.4 多维表格插值法建模针对对输入变量。2.5.4 系统辨识建模方法2.5.3.1 系统辨识建模原理1962 年，Zadeh 给出系统辨识的定义：就是在输入和输出数据的基础上，从一组
20、给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。明确了辨识的三要素： 输入输出数据：辨识的基础；- 18 - 模型类：寻找模型的范围； 等价准则：辨识的优化目标。噪声辨识技术被辨识的系统M系统模型M输入 输出扰动噪声 测量仪器可测量的输出系统辨识原理图2.5.3.2 系统辨识建模一般步骤一般步骤：1) 明确建模目的和验前知识：目的不同，对模型的精度和形式要求不同；事先对系统的了解程度。2) 实验设计：变量的选择，输入信号的形式、大小，正常运行信号还是附加试验信号，数据采样速率，辨识允许的时间及确定量测仪器等。3) 确定模型结构：选择一种适当的模型结构。4) 参数估计：在模型结构已知的情况下，用实
21、验方法确定对系统特性用影响的参数数值。5) 模型校验：验证模型的有效性。- 19 -辨识的目的和验前知识确定模型结构阶、参数估计最终模型模型校验实验设计系统的输入输出数据不满意满意系统辨识步骤2.5.3.3 最小二乘法 输入-输出数据精确已知时确定模型参数的方法数据精确已知是指测得的系统输入-输出数据是精确的，没有被“噪声”污染。 )()2()1()()2()1()( nkubkubknkakyaky 令： 可得 个方程式：3,n )1()1()0(1()1()0()( nubbunyayany nn 221nn ) )23()2()1()3()()1(3( 1 nubnubnunyayayy
22、nn - 20 -Y)13()(nyny )23(),12(),(, )(,)(,110)23(,)12(),()(,)(,10 nununuunynyyny 1111bbaannY 最小二乘法估计模型参数的方法考虑测量不精确或者环境对过程的随机干扰，实际量测到的输出为： )()2( )1()21knubkub kubnayay 其中： -由量测噪声引起的随机变量满足如下统计特性： 零均值- 21 - 对输入、输出信号是独立的 是一个不相关的随机变量,3210),(k设模型结构已定： )()2()1()()()()(21 nkubkubnkakyaky 是模型的估计参数，待定。iba,参数估计
23、的任务：通过输入、输出数据确定参数设： )()2()1()()2()1()( nkubkubnkakyakyyM 描述模型精度，引入模型残差： )()(eM, N-为观测次数NY定义准则函数： ekeJT)(2确定 ，使 最小。YTNTN1)(从统计和概率角度考虑，观测得次数 N 远远大于贷估计参数的个数 2n2.5.5 神经网络建模方法 2.5.3.1 神经网络建模原理与系统辨识的思路相同，都是从数据来建立模型，但他们使用不同的数学方法。神经网络是基于生物神经元的模型，神经元是大脑基本的认知单元。可以用于非线性系统和未知物理模型的系统建模。复杂非线性系统建模时，可以考虑神经网络方法。- 22
24、 -但需要大量有效的输入输出样本来训练网络。2.5.3.2 前馈型 BP 网络误差逆传播神经网络，能实现映射变换，最常用、研究最多、认识最清楚。LA LB LC输入层 隐蔽层 输出层三层前馈型 BP 网络是一个典型前馈型层次网络，分为输入层 LA、隐蔽层 LB、输出层 LC。同层间无关联，异层神经元间前相连接。LA 层： m 个节点，对应于可感知的 m 个输入；LB 层： u 个节点，可根据需要设置；LC 层： n 个节点，与 n 中输出相应相对应。LA 层节点 ai 到 LB 层节点 br 之间的联接权为 Wir；LB 层节点 br 到 LC 层节点 cj 之间的联接权为 Vrj；Tr 为
25、LB 层节点的阈值， j 为 LC 层节点的阈值；LB 层节点的输出函数为： ),2,1(),(1 urTaWfbmiirr LC 层节点的输出函数为：- 23 -),2,1(),(1 njbVfcurjrjj 为 s 型函数，即)(f 1)()xexf2.5.5 统计分析建模方法线性回归xy已知： baxy确定： ；根据实验得到的数据,- 24 -2.5.6 举例例：机械平移系统弹簧-物体-阻尼器组成的机械系统- 25 -FKsfmyyfsdttyyKtfFtmydtfFtydamyFKBKB22221)(, 正 比弹 性 力 ， 与 物 体 位 移 成 的 速 度 成 正 比摩 擦 阻 力 ， 与 物 体 移 动牛 顿 定 律 ：输 出 、 位 移输 入 量 、 力 FKy f- 26 -例：电的四端网络R LC u2u1- 27 -)2(2)1(21)(10)(2 122 122 1222121)1(,1 kkkk uauauausCRsLussCdtCRdtuLidtiutiCiLiRu可 得 ：消 去 变 量克 希 荷 夫 定 律 ：的 关 系与给 出
