1、1求函数值域的方法求函数值域的方法有图象法，函数单调性法，配方法，平方法，换元法，反函数法（逆求法） ，判别式法，复合函数法，三角代换法，基本不等式法等。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 1、 求 的值域13xy解法一：（图象法）可化为 如图， 3,412,xy观察得值域 4y解法二：画数轴 利用 可得。在 数 轴 上 的 距 离表 示 实 数 baba,解法三：（利用绝对值不等式）所以同样可得值域4114)(13)(3xxxx2、 求函数 的值域5,0,2y解： 对称轴 x20,45,1maxin值 域 为时时y3、 求函数 的值域1解：（换元法）设 ，则tx)0(12tty4,1,
2、0max值 域 为 ，时当 且 开 口 向 下，对 称 轴 yt4、 求函数 的值域)1,0(239x解：（换元法）设 ，则 原函数可化为t3t-1 0 3-1 0 1 34-4xyx28,28,3;112, maxmin2值 域 为 时时 对 称 轴ytyty5、 求函数 的值域x5解：（平方法）函数定义域为： ,3x2,4,21,05853)(222原 函 数 值 域 为得由yx6、 求函数 的值域)0(x解：（图象法）如图，值域为 1,7、 求函数 的值域xy231解：（复合函数法）令 ，则1)(22xxt )1(3ty由指数函数的单调性知，原函数的值域为 ,38、 求函数 的值域21x
3、y解法一：（反函数法） 112, yyx原 函 数 值 域 为观 察 得解 出解法二：（利用部分分式法）由 ，可得值域123x小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要)0(cdxbay求）内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来求值域。)(bcadcxbay10 xy39、 求函数 的值域13xy解法一：（反函数法） 10yyx1原 函 数 的 值 域 为小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。解法二：（复合函数法）设 ，tx3则 1131tyxx 00ytt原 函 数 的 值 域 为10、
4、求函数 的值域21xy解：（三角代换法） 设1,0cosx2,2,1)4sin(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结：（1）若题目中含有 ，则可设1a（2）若题目中含有)0,cos(2,sin a或 设 12ba则可设 ，其中sin,cob（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中21xcosx0（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中tan2（5）若题目中含有 ，则可设),0(ryxry 2sin,cosryrx其中 2,00 11t1t411、 求函数 的值域12xy解法一：（逆求法） 10yy1原 函 数 的 值 域 为解法二：（复合函数法）设 ，tx2则 )(12txy,10原
5、函 数 值 域 为 ytt解法三：（判别式法）原函数可化为 010)(2yx1） 时 不成立y2） 时，)1(40yy1y综合 1） 、2）值域 |解法四：（三角代换法） 设 ，则Rx2,tanx1,cos,2costan12 y原函数的值域为1|y12、 求函数 的值域3425xy解法一：（判别式法）化为 0)5(2yy1） 时，不成立0y2） 时， 得50)53(8)4( yy20 1tt51 tt0550y综合 1） 、2）值域 50|y解法二：（复合函数法）令 ，则tx342ty5)(2xt50y所以，值域 |y13、函数 的值域1x解法一：（判别式法）原式可化为 01)(2xy,31
6、,04)(02原 函 数 值 域 为 或y解法二：（基本不等式法）1）当 时，x321yx2） 时，0x)(x综合 1）2）知，原函数值域为 ,31,14、求函数 的值域)(122xxy解法一：（判别式法）原式可化为 02)(2yx ,210)(4)(02原 函 数 值 域 为 舍 去 或yx yy解法二：（基本不等式法）原函数可化为 )1(211)(2 xxxy当且仅当 时取等号，故值域为0,15、求函数 的值域)2(12xxy6解：令 ，则原函数可化为tx1 )31(tty利用函数 在 上是减函数，在 上是增函数，得ty1,0,原函数值域为 3,2小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判)0(22dafexdcbay别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函)(二 次 式一 次 式或一 次 式二 次 式yy数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数 的)0(xay单调性去解。
