1、Mathtriones 同方教育 Teacher Xia1第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1若 为是连续函数，fx且 ，0,10则 ( )limsinxfxA -1 B0 C1 D 不存在解： 原式 1sin1limsnlxxf f连 续，选 B10f2 要使 在点 处ln1mxfxk0连续，应给 补充定义的数值是( )A B kmC D lnkme解： 00lili(1)xxxf0limnlxkkme选 Af3若 ，则下列正确的是 li()xa（ ）A limxafAB C lixafD ()A解：选limlimxaxauffA连 续B4设
2、 ,0fFxx且 在 处可导，f ,f,则 是 的 ( )0xA 可去间断点 B 跳跃间断点C 无穷间断点 D 连续点 解： 00limli0,xxfFf，ff0limxfF故 是 的第一类可去间断点。选 Ax5 在 处 ( )1sin,0fxA 极限不存在 B极限存在但不连续C 连续但不可导 D可导但不连续解： ，且001limlisnxxffMathtriones 同方教育 Teacher Xia2在 连续，又fx00f不存在， 在01sinlmxfx不可导 选 C6设 在 可导，21,xfab1则 为 （ ）,bA B 2,0,2bC D 0a1a解：（1） 在 连续，fx211lim,
3、lixxb故 ab（2） 21li,1xf f 11limlixxaab，代入 得 ，选 C20二、 填空题（每小题 4 分，共 24 分）7设 为连续奇函数，则 = ()fxf解：（1） 为奇函数，ffx（2） 00limlixxff又 在 连续fx0故f8若 为可导的偶函数，则 fx0f解：（1） 为偶函数，fxf(2) 可导， 故fxf0ff即09设 是曲线 的6yxk2361yx一条切线，则 解： （1）,2yxx（2）故63421,13,kk110 若 满足：()yfx()0fxfx，且0limx则 = f解： 0lixfff0lim1xMathtriones 同方教育 Teache
4、r Xia311 设 在 连续，且 =4，()fx2(2)f则 2214limxf解： 原式= 2()lixf214li4x12 的间断点个数为5sin()fx解： 令 20,10xx为间断点，,故 有三个间断点fx三 、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13 已知2sin1,0(),0axefx在 上连续，求 的值 ,a解： 在 连续 fx200sin1limlaxxxef200silliaxx且 ,f故 2a14 讨论 在1,0()ln,1xef连续性0,1x解：（1）在 处，x10lim,xe0limx且 f在 处连续x（2）在 处，11li0,x10nlnimli1xxtt 在 不
5、连续f15 设 有连续的导函数，且()fx若0,ffb在 连续，求常sin,0,xaFAx数 A。解： 00sinlimlixxfax00ililxxfffaMathtriones 同方教育 Teacher Xia4且 ， 答0FAabAab16 设 在 可导，()fx1,0xekx求 的值。,kb解：（1） 在 连续，fx00limxe故有li()xkb1（2） 在 可导f0x01limxef20011lili2xxeelim,xkf，答121b17设 在 可ln(),0(),axfx导，求 与 a0f解：（1） 在 连续，x00ln1limixx af0limxa且 ，故有01f1a（2）
6、 在 可导x00ln()imxf2001ln1ili2x x0limx答： 1,2af18 讨论 在 是否()xaxa可导，其中 在 连续。解：（1） 0limxaxflixalixaa连 续（2） 0limxaxflilixaxaa 连 续答： 当 时， 在 连续，0f当 时， 在 不连续xMathtriones 同方教育 Teacher Xia519 求 的间断点，并指出间断1()lnfx点类型 解：（1） 间断点： 0,1,x（2） 在 处：x0limnx是 的第一类间断点。0f（3） 在 处：1x1linx为 的第二类无穷间断点。f20 设 指出1,0()lnxef x的间断点，并判断
7、间断点的类型。()fx解：（1） 为间断点， 可能是间10x断点。（2）在 处：11lim,lixxee是 的第二类无穷间断点f（3）在 处：0x1li,lin10xe是 的第一类跳跃间断点f四、 综合题（每小题 10 分，共 20 分）21 求 的间断点，并判别1()xf间断点的类型。解： （1）间断点： 01,xx，（2）在 处：x()f x001limlixxf是 的第一类可去间断点（3）在 处：11lili0xxf是 的第一类可去间断点（4）在 处： 1limx是 的第二类无穷间断点1xf22已知 ，232,0(),1,1faxbcdx在 可导，求 之值,解：（1） 在 连续，fx03
8、20limxabcd2,f故 1d（2） 在 可导fx020lim1,xfMathtriones 同方教育 Teacher Xia6320limxabcxf故有 1c（3） 在 连续，fx321li 1xabf即 0f3（4） 在 可导：fx21limxf321lixabxf210lim3xab故有 04由（3） （4）解得 2,3ab答： ,1cd五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23 证明 在区间 内420x2,至少有两个实根。证：（1） 在 连续，()f,且 04,2160f由零点定理知，=0 在 上至少有一个实根。()fx2,0（2） 在 连续,且f416480ff由零点定理知
9、，=0 在 上至少有一个实根()fx0,2（3）综上所述， =0 在 上至少()fx2,有两个实根 ， ， ，24 设 ，证明1sin,0,ufxx（1）当 时 在 连续，当0uf时， 在 可导 x解：（1） 001limsnux时0sin,liux当 时， 在 连续f(2) 100sinlmlsin0uuxx时10si,liux当 时， 在 可导1uf总之，当 时， 在 连续x0Mathtriones 同方教育 Teacher Xia7当 时， 在 可导1ufx0选做题设对于任意的 ，函数满足 1fx且 证明afx0,fbab证：（1）令 ， ，即0ffff(2) 01limxff0li 0xaffafb
