1、 三次函数的对称性二次函数是轴对称图形，如 的）对称轴方程式是)0()(2acbxxf。abx2三次函数 是奇函数，其图象关于 对称，三次函数cxf3)( ),(的图象关于点 对称，那么对于一般的三次函数dbxf3 ),0(d有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对2aa称中心是 。下面给出证明。)(,f证明 1：二次函数通过配方可以消去一次项。类似得，三次函数通过配方可以消去二次项。 cxbaxf23)( dcxabxa 32323 )()()()( dbxcabxa323 )()()( )3()(3)()()( 2323 abcaa而 )()()()3()()( 2323 bdbc
2、adab )(f的图象关于 对称。)0()(23xxf )(,af证明 2：设函数 的对称中心为（m，n）。)0()(23adcxbaf按向量 将函数的图象平移，则所得函数 是奇函数，所以,anm nxfy)(02)()(xfxf化简得：上式对 恒成立，故，得，。所以，函数 的对称中心是（ ）。可见，yf(x)图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点。)(xfy（）已知函数 ， 。3(x)=-f其 图 象 记 为 曲 线 C（i）求函数 的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数 ，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点1x1P(x,f)，曲线 C 与其在点 处的切线交于另
3、一点 ，线段22P(x,f)22P(,f)33(,fx)1123 12, ,S与 曲 线 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 分 别 记 为 则 为 定 值 ；（）对于一般的三次函数 （） （ii）的正32g(x)=a+bcxd(a0),请 给 出 类 似 于确命题，并予以证明。 （2010 福建理）记函数 的图象为曲线 ，类似（） （）的正确命题)0()(23adcxbaxg C为：若对对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为，则为定值证明如下，因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中平移至坐标原点因而不妨设，类似的计算可得， ， ，故41127xS016274xS16S2
