1、2011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案第七章：矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述是复出频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。采用矩阵分式描述（MFD）和多项式矩阵理论可使线性时不变系统的频域分析和综合的理论和方法简便和实用。主要介绍：1、矩阵分式描述的形式和构成2、矩阵分式描述的真性和严真性3、矩阵分式描述的不可简约性7-1 矩阵分式描述的基本概念矩阵分式描述（MFD）的实质： 就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之比。MFD 形式上是对标量有理分式形式传递函数 g(s)相应表示的一种推广右 MFD ： 对 p 输入，q 输出线性时不变系
2、统。有理分式矩阵 G(s)，存在多项式矩阵 和多项式矩阵 使下式成立： sN)( psD)(称 为 G(s)的一个右 MFD。ppqsD)()(1左 MFD ： pqLqLqsNG)()(1称 为 G(s)的一个左 MFD。pLLsN)()(1例：8.1 构造 G(s)的一个右 MFD， )(sG21021s方法：先确定各列的最小公分母， )(1dc2s)(3c 122 )(10)(210)(1)( sssssGpqpqs)(12011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案可见： ，10)(2)(sN 2)()ssDG(s)的一个左 MFD 的构造，先确定各行的最小公分母。 1dr2sr可类似求
3、得。MFD 的特性：1、MFD 的实质类似于标量形式： )()(1sdnsg分式化表示： pqLqLppqpq sNDNsG)()( 11称 为 的分母阵，一般Lp、Ds)(s)( q2、MFD 的次数规定 MFD 的次数 =分母矩阵行列式的次数。3、MFD 的非唯一性一个 ，MFD 表达不唯一且次数也不唯一。pqsG)(所有 的 MFD 中次数最小的 MFD 称为最小阶 MFD。最小阶 MFD 也不唯一。通常称最小阶 MFD 为不可简约 MFD，不可简约 MFD 的判据、属性见本章 7.44、MFD 的基本特性对 的 MFD，不管是右 MFD，还是左 MFD。表征其结构特性pqsG)(的两个
4、基本特性为真性严真性和不可简约性。2011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案7-2 真性和严真性pqsG)(真性严真性是表征其物理可实现性的一个基本特性，或者说只有真性或严真性 MFD 所表征的系统才是用实际物理元件可以构造的。1、真性和严真性)()(.)()()(111sdnsdnsdnsdnsGqpqp真性定义：对所有的 元pji,.1,.1pqsG)(满足 deg)(esnijij严真性定义：对所有的 元qi,.,. pqs)(满足 )(e)(sijij另一种定义： 真性： （非零常阵）lim0G 严真性 )( s2、MFD 真性严真性MFD 严真的充分必要条件：传递函数阵 为 严真。
5、pqs)(MFD 真的充分必要条件：传递函数阵 为真。G3、真性及严真性判定以 MFD 形式给出时，基于定义判定真性及严真性十分不便。pqsG)(MFD 的分母矩阵为既约和非既约时，给出判定方法。分母矩阵为既约阵情形：列既约右 MFD 为列既约，ppqpqsDNsG)()()(1ps)(为真的充分必要条件：pqDsN)(1（ 表示列数）)()(scjcjj,.1cj严真的充分必要条件：)()(cjcjpj,.2011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案行既约左 MFD 为行既约，pqLqLpqsNDsG)()()(1 qLsD)(为真充要条件：LLND1（ ）)()(ssririi,.1为严真
6、充要条件：pqLqL1（ ）)()(sDsNririqi,.分母矩阵为非既约阵情形：（见 448）7-3 从非真矩阵分式导出严真矩阵分式基本结论右 MFD 除法定理：对非真右 MFD ppqpqsDNsG)()()(1存在唯一 、 使 )(sQR1RQ且 是严真右 MFD。1D进一步有： 列既约时，则 和 在列次上有如下关系：)(s)(sDR)(cjcjpj,.1左 MFD 除法定理：（见 450）确定严真 MFD 算法：（见 451，例 6）7-4 不可简约矩阵分式描述最简结构也称最小阶 MFD，对系统分析与综合多以此为基础。不可简约 MFD 定义和属性：不可简约 MFD 矩阵不可简约 MFD 定义：称 的一个pqsG)( pqsG)(2011 级自动化硕士研究生线性系统理论教案右 MFD 为不可简约或右不可简约，ppqsDN)()(1当且仅当 ， 右互质。pqsN)(的右互质、左互质统称不可简约 MFDpqsG)(不可简约 MFD 性质1、不可简约 MFD 不唯一2、3、见例 8
