1、1空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式摘 要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式-Frenet 公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet 公式Spatial curvature,torsion and Frenet formulasAbstract: This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the
2、curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas前言空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式在空间曲线的基本
3、理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如: 时为直线,0k时为平面曲线.0本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述 Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1 准备知识空间曲线的伏雷内标架给出 类空间曲线 和 上一点 .设曲线 的自然参数表示是2c()cp()c2(),rs其中 是自然参
4、数，得s dsA是一单位向量. 称为曲线 上 点的单位切向量.()cp由于 ，则1， A即.rA在 上取单位向量A， (1)rA称为曲线 上 点的主法向量.()cp再作单位向量，称为曲线 上 点的副法向量.()cp我们把两两正交的单位向量 称为曲线上 点的伏雷内(Frenet)标架.,p1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动
5、时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段 的平均弯曲程度可取为曲线在 间切向量关于弧长的平均旋转PQP、 Q角.设空间中 类曲线 的方程为3c()3().rs曲线 上一点 ，其自然参数为 ，另一邻近点 ，其自然参数为 .在()cps1ps、 两点各作曲线 的单位切向量 和 .两个切向量的夹角是p1()c()s，也就是把点 的切向量 平移到点 后，两个向量 和1(s()s的夹角为 .()s我们把空间曲线在 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点 的曲p p率.定义 空间曲线 在 点的曲率为1()c，0()limsk其中 为 点及其邻近点 间的弧长， 为曲线在点 和 的切向量的夹
6、角.sp1pp1再利用命题“一个单位变向量 （即 ）的微商的模 的几何意()tr()1t ,()rt义是 对于 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线 的切向量 上去，则有()tr )c.()ksA由于 ，所以曲率也可表示为rA.()ksrA由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面） ，所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量挠率.1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）
7、位置随着改变（如图一） ，所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线 上一点 的自然参数为 ，另一邻近点 的参数为 ，()cps1ps4在 、 两点各作曲线 的副法向量 和 .此两个副法向量的夹角p1()c()s)s是 (如图一).（图一）()s()s()s再利用命题“一个单位变向量 （即 ）的微商的模 的几何意()tr()1t,()rt义是 对于 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线 的副法向量向量 上去，()tr ()c得到，0limsA此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程
8、度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大） ，副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有，()ksrAA即5. (2) ()ksA对 求微商，有，()()ksAAAA因而.A又因为 是单位向量，所以.A由以上两个关系可以推出. (3)/A现在我们给出挠率的定义如下：定义 曲线 在 点的挠率为：1()cp().sA， 当 和 异 向 ， 当 和 同 向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示
9、式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导根据（3）及挠率的定义有（4）A（ s)另外，对 求微商，并利用（4）和（2） ，可以推导出（5）()()skskAAA公式（2） ， （5） ， （4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet）公式，即6，()()kssAA这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量 、 、 关于弧长 的s微商可以用 、 、 的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵0()0ks2.2 曲率的一般参数表示式的推导若给出 类的空间曲线3c()c，().rs则有，,drrstA，22,2,dsrdsdsr rts
10、ttttAAAAAA所以，23,dsdssrrrttttAAA由上式得.3, sindrrtA注意上式中，,1,dsrrtAA因而有.3,rkr7由此得到曲率的一般参数表示式.,3,rk2.3 挠率的一般参数表示式的推导再由伏雷内公式的（4）式，A（ s)两边点乘 得，rA因而 26,2, 111, kkkkrAAAAAAAAA再把 ,dsrtA2,ttAA323,dssdrtttAA代入 中得,r，66, ,dsrrtAA8所以得到.,2,r这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线 上一点 的主法线()c ()c(
11、)Ps的正侧取线段 ，使 的长为 ，以 为圆心，以 为半径在密切平面上确PC1kC1k定一个圆，这个圆称为曲线 在 点的密切圆（曲率圆） ，曲率圆的中心称()cPs为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）. PC1k（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1 求圆柱螺线 的曲率和挠率.cos,in,abr解 由圆柱螺线方程 ，先计算,si,co,ar, in09,sin,cos,0ar于是有 ,2.b, 2sincossin,cos,i0aaa13eer,24.br代入曲率和挠率的公式得 ,2332, ,aakbr,2242, .abr由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例
12、 2 证明曲率恒等于零的曲线是直线.1证明 已知 因而0,krA ,r0A由此得到 （常向量）.a再积分即得 ,sb其中 也是常向量.这是一条直线的参数方程.b例 3 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.1证明 若 则 是固定向量，但是我们已知0,0,A因而有 ,rA积分后得（常数） ，a10所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和 Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：1 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）M. 北京：高等教育出版社， 2008.
