1、1例谈变式在数学教学中的应用泉州七中 吴大勤 在教学一线的大部分教师可以说工作勤勤恳恳，把自己的知识毫无保留的传授给学生，但学生掌握知识的效果却给我们以极大的反差：许多我们认为学生已掌握的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的许多学生就无所适从。许多实例也表明：在讲解时教师直接把自己的解题思路灌输给学生，就题论题。 对一些学生薄弱的地方没有进行深入的思考，处理方法单一，缺乏演变，再加上学生参与不够，这样的课堂就变得枯燥无味，而大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌” ，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣。要改
2、变上面所提到的现状，提高学生的学习兴趣，取得更佳的效果，关键 是我们的数学课堂教法上要有所改变-变式教学是有效的、重要的教学手段，下面我结合教学实例，谈谈我的几点体会： 一变式教学对新概念教学的促进作用: 概念，在数学课中的比例较大。能否正确理解概念，是学生学好数学的关键。概念通常比较抽象，学生感觉枯燥，学习起来索然无味，对抽象概念的理解就显困难。通 过变式等手段，不仅能有效的解决这一难题，使学生渡过难关，而且 还可加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解。如在讲分式的意义时，一个分式的值为零，是指分式的分子为零而分母不为零，因此对于分式 的值为零时，在得到答案 x=-3 时。实321X2际上
3、学生对“分子为零而分母不 为零” 这个条件 还不是很清晰，难以辨析出学生是否考虑了“分母不为零” 这个条件，此 时可以做如下变形：X31X_ X32-12变 式 ： 当 时 ， 分 式 的 值 为 零 （ 此 时 ）变 式 ： 当 时 ， 分 式 的 值 为 零 （ 此 时 ）所以说，运用变式教学，不仅能加深学生对新知识的理解、解决难点，还能对概念内涵和外延的更深层次的理解，增加课堂思维量，提高课堂教学有效性。二变式教学有利于培养学生良好的思维品质。如变式教学中常用到的“一 题多解，一题多变”的教学方法。其中，一题多解有利于启迪思维，开 阔视野，全方位思考问题，分析问题；有利于培养学生的发散思
4、维能力和解题技巧。而采用一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触 类旁通，提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。两者都有利于将知识、能力和思想方法在更多的新情景、更高的层次中，不断地反复地渗透，从而达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果通过“一题多变、一题多解”的训练，能激发学生的兴趣和求知欲不过，所有的变式都要鼓励学生从多角度去分析，选最优的方法去解决甚至将研究延伸到课下，就象我们听评书的“ 且听下回分解”一样，每节课给 学生留下回味的余地，给学生提供继续研究的舞台如题目：已知：如图，AECD，求 A+B+C=?3A EBD解一:过点 B 向右引 AE 的平行线 BF，利用平行线的性质求
5、解解二：过点 B 向左作 HBAE，构造出一个周角解三：延长 AB 交 CD 的延长线于点 F，后用三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，从而求解。解四：连接 AC，利用三角形内角和等于 180解五：连接 DE，构成五边形，后用五边形内角和 进行解答解六：反向延长 AE，CD，从而构成两个平角 。等等又如，勾股定理的应用。题目：图 1 中，在 ABC 中， C=90在 ABC 外，分别以AB、BC、CA 为边作正方形，这三个正方形的面 积分别记为 ，1,23s 探索 之间的关系。1,23s 图 1 图 2 图 3变式 1：如图 2，在 ABC 中， C=90在 ABC 外，分别以AB、BC、
6、CA 为边作正三角形，这三个正三角形的面积分别记为C4，请探索 之间的关系。1,23s 1,23s 变式 2：如图 3，在 ABC 中， C=90在 ABC 外，分别以AB、BC、CA 为直径作半圆，这三个半圆的面积分别记为 请1,23s 探索 之间的关系。1,23s 变式 3：你认为所作的图形具备什么特征时， 均有这样的关系。1,23s 上面通过变式，转换图形，使学生对勾股定理有深刻的理解， 使学生意识到： 只要向外作以 AB、BC、CA 为对应边的相似图形即可。从而提高思维的灵活性，深刻性，广阔性。三运用变式教学，可以确保学生参与教学活动的持续的热情。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与
7、情况， 这就首先要加强学生在课堂教学中的参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人，这也是现代数学教学的趋势。而变式教学就注意到了教材前后知识的衔接，题目 设计由易到难，形成一定的层次，循序渐进，通过对各题的分析，概括出各题中共同的、本质的东西，以达到由一题向另一题的迁移、对一般原理的进一步认识的目的，让我们的数学活动有层次的推进。 给人以新 鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情 如：对于不等式的性质不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变; 而不等式两边同 时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。初学者一时很难掌握下来，故可以
8、可通过以下变5式训练来分散难点： 变式 1：求下列不等式的解(1)2X3 （2）-4X52,4_;_;,45X 2kx-1中 ， 应 满 足 .变 式 ： 解 不 等 式 ： （ +)5 变 式 ： 若 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为 求 的 取 值 范 围若 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为 ,求 的 取 值 范 围通过以上变式练习，由浅入深，层层递进，既巩固了不等式的性质这一新知识，又将知识引向深入，有效解决了难点又让所有学生参与进来。四利用变式教学有利于提高毕业班的复习效率。在单元复习或期中，期末复习课中，由于学生对某一阶段的知识已经了解，并已掌握了一般练习题的解法，这就具
9、备了可提出综合性的或有一定难度的变式题的条件，以训练学生灵活运用知识的能力。下面通过对几何图形的形状、位置、大小等各种非本质属性的变化，使学生能透过外部表象认清几何图形的本质特征同时又可将全等三角形和勾股定理等重要的知识串起来。如题 1：如图（1）A 是 CD 上一点， ABC 、 ADE 都是正三角形，求证 CE=BD6题 2：如图 2， ABD、 ACE 都是正三角形，求 证 CD=BE题 3：如图 3，分别以 ABC 的边 AB、AC 为一边画正方形 AEDB和正方形 ACFG，连接 CE、BG，求 证 BG=CE问题 1：你能从（1），（2），（3）三题中选择一个进行证明吗？问题 2：
10、三个命题的证明方式为什么是一样的？用到了哪些知识点？问题 3：这些命题在证明过程中哪些条件起到解决问题的决定性作用？通过问题 1，2，3，师生共同探究在 这儿的条件“ 正多边形”的作用是：(1)找到 边相等 (2) 找到角相等从而为三角形全等创造条件。利用此题，让同学们明白引例中的条件“正多边形” 是作为命题的背景，只是设置给他们的障碍，在平时的学习中要学会抓住每个条件所起的作用，要透过表象，看到问题的本质。紧接着，给出以下变式题组，把学生的思维进一步调动起来。变式 2：如图 4，有公共顶点的两个正方形 ABCD、BEFG，连接AG、EC，求证 AG=EC 对吗？变式 3：在图 4 中，若将正
11、方形 BEFG 绕点 B 旋转任意角度，AG=EC 还成立吗？变式 4：如图 5，P 是正方形 ABCD 内一点，ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与 CBP重合，若 PB=3，求 PP7通过变式 2 到变式 4，发现图形不但有稍许改变，而且，结论也不一样了。同时又将全等三角形，勾股定理，旋 转等知识串起来，达到举一反三的目的。 五利用变式教学可培养学生变式研究的能力，从而顺利突破中考题。可以毫不夸张地说，历年全国各地的中考试题中出现的一些新颖的题，大都是由一些常见的典型题加以变式而来，若能认识庐山真面目，不难发现，他们实际上只不过是一道传统题而已。如： 题目：（2008 陕西）如图，梯形 A
12、BCD 中， ABDC，ADC+BCD=90，且DC=2AB，分 别以 DA，AB，BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则 S1，S2，S3 之间的关系是 - 提示：过点 A 作 AEBC 交 CD 于点 E。本 题的关键 在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，而后可证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边，也就是上面提及的勾股定理的模型。再以 08 年义乌中考第 23 题进行说明。如图 1，四 边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合)，以 CG 为一边在正方形 ABCD8外作正方形 CEFG，连
13、结 BG，DE我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如 图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断 中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图 46），且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1) 题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由（3）在第(2)题图 5 中，连结 DG、BE，且 a=3，b=2，k=12，求 2BEDG的值这题它将正方形的特殊性质，勾股定理，全等三角形的判定，及相似三角形的知识揉和为一体，但不难发现此题便是上面提及的第四大点中的例题的引申。以上两道中考题，可以说得分率极低，但若平时的教学有注意变式的话，便可助于提高学生的解题速度和准确率9综上所述，通过以上变式教学不仅能使学生全方位、多层次的的认识问题的本质，而且能使学生亲自参与的实践中去，提高学习兴趣，从而 获得问题更深层次的理解，拓展学生的思 维能力， 为促进学生智力和能力的提高，获得高效课堂的教学效果做好铺垫。
