1、- 1 -因式分解的应用与探究【温馨提示】分解因式一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数） 。具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数） 。3、通过乘法公式：（ab） （ab）a 2b 2， （ab） 2a 22abb 2 的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。在中考中，除了考
2、查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意。 范例精讲例 1【构造求值型】 【山西 04】已知 xy1，那么 的值为 221xy；分析：通过已知条件，不能分别求出 x、y 的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出 xy 的整体形式，即 （x 22xy y 2） （x y） 2 .在221x111此过程中，我们先提取公因式 ，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生 xy 的整体形式，最后将 xy 1 代入求出最终结果 .例 2【构造求值型】已知 x22xy 26y100，求 xy 的值答：xy3例 3【构造求值型】已
3、知：a10000，b9999，求 a2b 22ab6a6b9 的值。解：a 2b 22ab6a6b9（ab） 22（ab）33 2（ab3） 24- 2 -例 4【构造求值型】 【广西桂林 04】计算： 2019832；分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来” ，即原式 22318920 )(19 238 )2(1 2382 22426此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来。此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。设 M ，则2019832M )2()1( 19821982
4、，即 ，解得 M6.6-42019M6-例 5【探索规律型】观察下列各式：12（12） 22 293 2，2 2（23） 23 2497 2，3 2（34）24 216913 2，你发现了什么规律？请用含有 n（n 为正整数）的等式表示出来，并说明其中的道理。例 6【探索规律型】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1xx（1x ）x（1x） 2（1x） 1x x（1x） （1x） 2（1x ）（1x） 3- 3 -上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；若分解 1xx （1x ） x（1x） 2x（1x ） 2004，则需应用上述方法 次，结果是 ；分解因式：1xx （1x）x（1x）
5、2x（1 x） n（n 为正整数）.例 7【开放创新型】 【四川 03】多项式 9x21 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 （填上一个你认为正确的即可） ；分析：根据完全平方公式 a22abb 2（ab） 2 的特点，若 9x21 表示了 a2b 2的话，则有 a3x ，b1，所以，缺少的一项为2ab23x16x，此时，9x216x（3x 1） 2；如果认为 9x21 表示了 2ab b2 的话，则有 a4.5x 2，b1，所以，缺少的一项为 a2（4.5x） 220.25x 4，此时，20.25x 49x 21（4.5x 21） 2.从另外一个角度考虑，
6、 “一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到 9x2（3x） 2，11 2，所以，保留二项式 9x21 中的任何一项，都是“一个整式的完全平方” ，故所加单项式还可以是1 或者9x 2，此时有9x2119x 2（3x ） 2，或者 9x219x 21 2.综上分析，可知所加上的单项式可以是6x、20.25x 4、1 或者9x 2.例 8【开放创新型】 【福建南平 03】请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如：2m（
7、mn） 22m（m 22mn n 2）2m 34m 2n2mn 2；3a（2x5y） 23a（4x 220 xy25y 2）12ax 260axy 75ay2，等等.于是编写的三项式可以是 2m34m 2n2mn 2，分解因式的结果是 2m（mn） 2；或者编写的三项式可以是 12ax260axy75ay 2，分解因式的结果是 3a（2x5y） 2，等等.例 9【数形结合型】 【陕西 02，桥西0203】如图，在边长为 a 的正方形中挖掉一abab- 4 -个边长为 b 的小正方形（ab） ，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ A ）
8、（A） （B ）)(2b 22)(baba（C） （D）2)(aba 例 10【数形结合型】【福建福州 05】如图，在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形（ab） ，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 a2b 2（ab） （ab） ；例 11【数形结合型】【济南 02】请你观察右下方图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 （xy） （xy ）x 2y 2或 x2y 2（x y ） （xy ）或（ xy） 2x 22xyy 2 ；例 12【数形结合型】 【山西 03】有若干张如图所示的正方形和长方
9、形卡片，则表中所列四种方案能拼成边长为（ab）的正方形的是（ A ） （A） 1 1 2（ B） 1 1 1（ C） 1 2 1（D） 2 1 1分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是（ab） 2.因为 a22abb 2（ab） 2，对照如图所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面ba a ab bxxyyxyxyaabbba卡 片数量（张）方案- 5 -积分别为 a2、b 2 和 ab，它们分别需要 1 张、1 张、2 张，由此可选出正确答案为（A）.例 13【数形结合型】 【山西太原 03】如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、
10、b 的恒等式 （ab） 24ab（ab） 2 ；分析：外框围成的大正方形面积为（ab） 2，4 个矩形的面积之和为 4ab，中间的空白部分的面积为（ab） 2.于是，可以列出等式（ab）24ab（ab） 2.对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明：（ab） 24aba 22abb 24aba 22abb 2（ab） 2.例 14【数形结合型】给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于 a25ab4b 2，并根据你拼成的图形分解多项式a25ab4b 2解：由 a25ab4b 2 知，可用 1 张大正方形，5张长方形，4
11、 张小正方形，拼成的矩形如下图所示，根据图形的面积可得a25ab4b 2（ab） （a4b）a babb abaaba baba b b b b- 6 -优化训练一、选择题：1 计算 结果为（ ）1010)2()(（A）2 100 （B）2 （C）0 （D）2 1002 已知 是一个关于 x 的完全平方式，则 m 的值为（ ）mx4（A）4 （B）4 （C） （D ）16163 已知 是一个关于 x 的完全平方式，则 m 的值为（ ）x12（A）4 （B）4 （C）16 （D）44 设 m200220012002 20012002 220012002 2000，n2002 2001，则正确的关
12、系是（ ）（A）mn2001 （B）m n （C）m n2002 （D ）mn2002二、填空题：5 已知 x、y 为正整数，且 x2y 237，则 x ；6 方程 x2y 229 的整数解为 ；7 有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图 1） ；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图 2） ，则这种小球最少有 个；三、解答题： 图 1 图 28 计算： ；203203- 7 -9 求 x24xy5y 22y 2004 的最小值10观察：123415 2，2345111 2，3456119 2，请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；根据
13、，计算 20002001200220031 的结果（用一个最简式子表示） 11一个自然数 a 恰等于另一个自然数 b 的平方，则称自然数 a 为完全平方数，如648 2， 64 就是一个完全平方数若 a2002 22002 2200322003 2，求证：a 是一个完全平方数，并写出 a 的平方根- 8 -12公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是 195”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是 195。 ”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是 195。 ”现在请你想一想，这三对人的年龄各
14、是多少？其实符合年龄平方差为 195的应有 4 对，如果你有余兴，不妨把第 4 对人的年龄也找出来。- 9 -答案:一、选择题：1 【桥西 0102】计算 结果为（ D ）1010)2()(（A）2 100 （B）2 （C）0 （D）2 1002 已知 是一个关于 x 的完全平方式，则 m 的值为（ C ）mx4（A）4 （B）4 （C） （D ）16163 已知 是一个关于 x 的完全平方式，则 m 的值为（ D ）x12（A）4 （B）4 （C）16 （D）44 【重庆 02 竞赛】设 m 20022001200220012002 220012002 2000，n 20022001，则正确
15、的关系是（ B ）（A）mn2001 （B）m n （C）m n2002 （D ）mn2002二、填空题：5 【桥西 0203】已知 x、y 为正整数，且 x2y 237，则 x 19 ；6 方程 x2y 229 的整数解为 ， ；1457 有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图 1） ；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图 2） ，则这种小球最少有 36 个；图 1 图 2- 10 -三、解答题：8 计算： ；203203解：原式 23 20302 0)12(09 求 x24xy5y 22y 2004 的最小值解：原式（x2y ） 2
16、（y 1） 22003，当 x2，y1 时，原式取得最小值 200310【黄冈 02 竞赛，桥东 0304】观察：123415 2，2345111 2，3456119 2，请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；根据，计算 20002001200220031 的结果（用一个最简式子表示） 解：结论：n（n1） （n2） （n3）1（n 23n1） 2，证明：n（n1） （n2） （n3）1（n 23n） （n 23n2）1（n 23n） 22（n 23n）1（n 23n1） 2；20002001200220031（2000 2320001） 24006001 2；11 一个自然数 a 恰等于另
17、一个自然数 b 的平方，则称自然数 a 为完全平方数，如648 2， 64 就是一个完全平方数若 a2002 22002 2200322003 2，求证：a 是一个完全平方数，并写出 a 的平方根解：先从较小的数字探索：a11 21 2222 23 2（121） 2，- 11 -a22 22 2323 27 2（231） 2，a33 23 2424 213 2（341） 2，a44 24 2525 221 2（451） 2，于是猜想：a2002 22002 2200322003 2（200220031） 2（4010007） 2，证明采用配方法（略） 推广到一般，若 n 是正整数，则an 2n
18、 2（n1） 2（n1） 2 是一个完全平方数n（n1）1 2解题策略：猜想是数学中重要的思想和方法之一。较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题” 。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝招” 。12 公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是 195”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是 195。 ”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是 195。 ”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为 195 的应有 4 对，如果你有余兴，不妨把第 4 对人的年龄也找出来。解：由 x2y 21953513，可得， ， ， ，x y 195x y 1) x y 65x y 3) x y 39x y 5) x y 15x y 13)解得， ， ， ，x 98y 97) x 34y 31) x 22y 17) x 14y 1)
