1、新 概 念 力 学 习 题 解第二章 动量守衡 质点动力学2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为 9.2210-16gcm/s 的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为 5.3310-16gcm/s 的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。解: 衰变过程是: ，由动量守衡得 evBA .0veBP大小： 2veBPP.scmgscmg/165.0/103.52.9 662 方向: ； , .1ttgev 38120392-2 质量为 M 的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为 m，速率为 v0 的子弹水平地入射到木块内(见本题图)并与它一起运动。求 (1)子弹相对于木
2、块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。解:(1)设木块的速率为 v, 由动量守衡: ；Mv)(0得 ， 木块的动量 ，子弹的动量 .0mv 0p木 02vmMp子(2)子弹施予木块的冲量为 .mPI木木2-3 如本题图，已知绳的最大强度 T0 = 1.00 kg，m = 500g, l = 30.0cm，开始时 m 静止。水平冲量 I 等于多大才能把绳子打断？解: 要求向心力 ，即要求 ，gevmF02 lTv0.lTvI0故 )( smkg/86.01.30)8.91508.915 233 2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木
3、块。木块的质量分别为 m1和 m2；设子弹透过两木块的时间间隔为 t1 和 t2，子弹在木块中所受阻力为恒力 f，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动.解: 当子弹穿出 m1 时, m 1 与 m2 一起运动, 故 ; 21tv.121)(mft当子弹穿出 m2 时, ，解得 .12vft2mffft2-5 质量 70kg 的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为 200kg若渔人在船上向船头走4.0m 后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？解: 设人向右走,对岸速度为 v 人 , 相对船的速度为 u 人 , 船向左行,对岸的速度为 v 船 ;则 v 人 = -v 船 +u 人 . 水平方向
4、动量守恒 : 船 v 船 - 人 (-v 船 + u 人 ) = ( 船 + 人 )v 船 - 人 u 人 = 0.新 概 念 力 学 习 题 解两边积分得: .下下下下下下下下 Smdtumtvtt )()(00由此可得 (对岸)SS4.127下下下(对岸).Stdtvttt 6.24.000 人 对 船船人船人人2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为 6.0m/s当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为 4.0m/s设甲船空载质量为 50kg，货物质量为 60kg，求乙船质量。解: 已知 m 甲 =500 kg , m 货 = 6
5、0 kg, v 甲 0= v 乙 0= v0 = 6.0 m/s , v 乙 = 4.0 m/s；待求：m 乙 。忽略水中阻力,两船作为一个系统,其 动量守衡. 即:(m 甲 + m 货 )v0 - m 乙 v0 = m 甲 v0 - ( m 乙 +m 货 ) v ；.kg3640下下2-7 三只质量均为 M 的小船鱼贯而行，速率均为 v由中间那只船上同时以水平速率 M(相对于船)把两质量均为 m 的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。解: 设 、 、 分别为前、中、后三船的待求速度. u 与 v 同向时为正, 反之为负. 由下v下下水平方向的动量守衡定律,有:前: ,下下 vu)(
6、)(中: ,下下下u (2后: ;下下v可推出: = , = , = .下mM下v下vumM 的正方向与 同向,三船的速率分别为: u, , .uv前 下 后2-8 一质量为 M 的有轨板车上有 n 个人，各人质量均为 m开始时板车静止。(1) 若所有人一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为 u，求跳离后车子的速度；(2) 若 n 个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为 u，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？解: (1) 人跳离后车子的速度为 v，由水平方向的动量守恒得:, 即 (1)0)(uNmvNM(2) 第一人跳:
7、 ，得 (2)0)(11umMuNmv1第二人跳: 12)()2(v得 (3)v )(12 最后一个人跳: ,由此可得1)()(nnvMu(4)umMmNmuMvn 21 这是车子最后速度的表达式.新 概 念 力 学 习 题 解(3) 比较 (1)式和(4)式, 显然有 . 即一个接一个地跳 (第二种情况)比集体跳,能使vn车子最后获得更大的动能.2-9 一炮弹以速率 v0 和仰角 0 发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块 (见本题图)，其中一块以速率 v1 铅垂下落，求另一块的速率 v2 及速度与水平方向的夹角 (忽略空气阻力)。解: 炮弹在最高点时 , .0cosxyv在爆炸瞬间,内
8、力重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡：.imvjivmxyx)(221即 ，或 .1220sin0coscovvx 0221cos4v 。2012101 cossincovtg2-10 求每分钟射出 240 发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为 10g，枪口速度为 900m/s。解: 设平均反冲力为 = 射击时所需的平均力 , 则机枪的动量变化为F子弹的动量变化 = 240 mv 0 = 240 mv ,t.Nmv3669124032-11 一起始质量为 M0 的火箭以恒定率 |dM/dt | = u 排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的速率为 v0(a) 计算火箭从发射台竖直向上起
9、动时的初始加速度；(b) 如果v0=2000m/s，则对于一个质量为 100 t 的这种火箭，要给以等于 0.5g 的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少 kg 的燃料？解: (1) 仿照书上 p.50 的推导 ,可得火箭经过 dt 时间后动量的改变为, 由此可得 .dtFvmdP00 Fdvtm0在发射台附近, M=M0 , , F = M0g , ; ,t 下0adtv下则有: , .vaM0a0(2) 由上述式子可见 .skgg/7358.9)15.(21)(30 2-12 一个三级火箭，各级质量如下表所示，不考虑重力，火箭的初速为 0级别 发射总质量 燃料质量 燃料外壳质量一级 60 t
10、 40 t 10 t二级 10 t 20/3 t 7/3 t三级 11 t 2/3 t(1)若燃料相对于火箭喷出速率为 u=2500m/s，每级燃料外壳在燃料用完时将脱离火箭主体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为 0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；新 概 念 力 学 习 题 解(2)若把 48t 燃料放在 12t 的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。解: (1) p.50 的 (2.10)式可写成 vmmcvdc00 00ln对第一级火箭: .3l2546ln25ln1c对第二级火箭: .ln03/1l012 v对第三级火箭: .sm/6.
11、8239l75/2ln523(2 ) .sv /6.403l4860ln252-13 一宇宙飞船以恒速 v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以 dm/dt 的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为 u，方向与 v 相反，在时刻 t 飞船的总质量为 M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？解: 由动量定理得: )()( dmtMvdmtP Fu) 两边求导得: .dtvt()要求飞船匀速, 即 , 的方向相反, 以 为正向, 则 ，0dtu下vdtmuvF)(即 为向前的推力（此式的 v、 u 为绝对值）.tmuvF)(2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处
12、，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率 v 运动着(见本题图) 。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是 dm dt ，试问：(1)要保持传送带以恒定速率 v 运动，水平总推力 F 多大？(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀 v 在平直光滑轨道上运动的货车里( 见本题图b)，以上问题的答案改变吗？解: (1) 在水平方向上 , 由动量定理得 :，Fdtvmdvm)(两边求导得 .tF新 概 念 力 学 习 题 解即要求传送带以匀速运动时,水平总推力为 (向前)dtmvF(2) 光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速 v前进.现在沙
13、子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重, 用力公式同上；即沙子持续进来,便要持续施力 ,问题的答案不改变 .dtmvF2-15 一质量为 m 的质点在 x-y 平面上运动，其位矢为 r = a cost i+b sint j，求质点受力的情况。解: , 轨迹为 的椭圆. 又tbytaxsin, co12byax，j tijdtiv sn.rj ti tata 222icos质点受力 ，恒指向原点.rmf22-16 如本题图所示，一质量为 mA 的木块 A 放在光滑的水平桌面上， A 上放置质量为 mB 的另一木块 B，A 与 B 之间的摩擦系数为 ，现施水平力推 A，问推力至少为多
14、大时才能使 A、 B 之间发生相对运动。解: 对 B: , ；得 .0gNNafBr gmaB对 A: ,得 .ArFfAF当 时, A,B 之间发生相对运动, 即要求 .Ba B)(2-17 如本题图所示，质量为 m2 的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为 m1 的立方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？解: 对 m1: , 对 m 2 : ; gNayx12cosin0cosin2212yxagN又由运动学关系:, , 解得 ;21xyxy21tn taxy)(21代入运算最后得 ;cosinN,sin1221 mggm新 概 念 力 学 习 题 解 c
15、tgmtmga ttgyx 2212121 22 )(sin)(coi0)(icos2 212yxa ttg2-18 在桌上有一质量 m1 的木板。板上放一质量为 m2 的物体。设板与桌面间的摩擦系数为1，物体与板面间的摩擦系数为 2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？解: ; .,1Nfg)(,Nfg又 , , 且要求 ;21afF21a由此得 .2-19 设斜面的倾角 是可以改变的，而底边不变。求(1)若摩擦系数为 ，写出物体自斜面顶端从静止滑到底端的时间，与倾角 的关系，(2) 若斜面倾角 1= 60与 2 = 45时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数 解: (1)摩擦力 ,由运
16、动方程 ,得 .cosmgNfmafgsin)cos(sing此外由 , 可得 .21atdS 21)co(codt(2) 又由 ,2121 )45ssin45)60s(sin60co gg可得 68.03214345coin22 2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为：m 1=3.0kg, m2=2.0kg, m3=1.0kg求 m1 下降的加速度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。解: 各悬挂物体的运动方程分别为：, , ;1211 amTg22aTg33ag运动学关系: , （其中 a为 m2 , m3 相对于滑轮的加违度）; a3由此可得: .23221 /58.0
17、14)(4)( s2-21 在本题图所示装置中，m 1 与 m2 及 m2 与斜面之间的摩擦系数都为 ，设 m1m2，斜面的倾角 可以变动。求 至少为多大时 m1、m 2 才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。解: m2、m 2 和斜面之间的摩擦力分别为 ,cos1gNf;cos)(21gNfm2、m 2 的运动方程为 , Ta11in.fTai 由此可解出 gm21221 )3(s)(新 概 念 力 学 习 题 解要求 m2、m 2 开始运动，相当于要求 ; 由上式可得 .0a213mtg2-22 如本题图所示装置，已知质量 m1、m 2 和 m3，设所有表面都是光滑的，略
18、去绳和滑轮质量和轴承摩擦。求施加多大水平力 F 才能使 m3 不升不降。解: 运动方程为 , , ;aF)(321T0Tg由此可得 .g321232-23 如本题图所示，将质量为 m 的小球用细线挂在倾角为 的光滑斜面上。求 (1) 若斜面以加速度 a 沿图示方向运动时，求细线的张力及小球对斜面的正压力；(2) 当加速度 a 取何值时，小球刚可以离开斜面？解: (1) 小球沿水平方向加速，表明作用于其上外力的垂直方向分量为零，即, 又小球水平方向的运动方程为 .gNTcossin maNTsinco联立解上述两方程得 , .)cossin(aT)(gm(2) 小球刚可以离开斜面，表明此时 N
19、= 0 ; 由上述第二式可得 .ta2-24 一辆汽车驶入曲率半径为 R 的弯道。弯道倾斜一角度 ，轮胎与路面之间的摩擦系数为 求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。解: 车子驶慢时, 就有侧向下滑的趋势，最小速率 vmin 应与向心力和最大摩擦力有关，相应的式子为: , , ;mgfNrsinco Rvmfr2incossinNfr由此解得 .tv1icomin车子驶快时,就有侧向往上滑的趋势，最大速率 vmax 应与向心力和最大摩擦力，相关的式子为: , , ;gfsico kfN2maxcossinf联立解得 .tgv1iconmax2-25 质量为 m 的环套在绳上，m 相对绳
20、以加速度 a下落。求环与绳间的摩擦力。图中M、m 为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。解: 按题意摩擦力与绳的张力相等，于是有 , ; )(afgrMfgTr由此解得 2g2-26 升降机中水平桌上有一质量为 m 的物体 A，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m 的物体 B 相连。当升降机以加速度 a = g/2 上升时，机内的人和地面上的人将观察到A、B 两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。)解: (1) 从机内看: , ; 由此解得 .aTTg2/ ga4/3(2)从地面上的人看: 对 A 有 , ; AxAy对 B 有 , . 0B新 概 念 力 学 习 题
21、 解总之, 有 , .gaByAx2/143gaByx4/102-27 如本题图所示，一根长 l 的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m 的质点固定于其上。(1) 试分析，在顶点 A 处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为 0? (2) 假定 m = 500 g, l = 50.0 cm，质点以均匀速度 v = 40 cm/s 运动，求它在B 点时棒对它的切向和法向的作用力。解: (1) 由运动方程 , 可知, 若要 ; 则必须 .lvTn2dtTt 0tnTglv(2) 由运动方程 , 可知, 切向力和法向力为0tgNt lvmNn2lvmnt 16.5)4(19.8502
22、322-28 一条均匀的绳子，质量为 m，长度为 l，将它拴在转轴上，以角速度 旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为 ，式中 r 为到转轴的距离。)(2)(2rlrT解: 在 r 处的张力 T 等于从 r 到 l 这一段绳子作圆周运动所需的向心力, 对 dr 这一段,所需向心力为: ;dd2积分之可得, 绳中的张力分布为 .)(2)(20rlmTr2-29 在顶角为 2 的光滑圆锥面的顶点上, 系一劲度系数为 k 的轻弹簧，下坠一质量为 m的物体，绕锥面的轴线旋转。试求出使物体离开锥面的角速度 和此时弹簧的伸长。解: 当物体对锥面的正压力 N = 0 时，物体离开桌面。此时物体的运动方程
23、和所受的力分别为 , , 和 .22sin)(sinlmrf lfgfcos由此可得 , .gklcos0cokg2-30 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为 y = ax2，a 为常数。小环套于弯管上。求 (1) 弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。(2) 若为圆形光滑弯管，情形如何？解: (1) 小环的受力和运动方程为, , mgNcos 2sinmxanaxytg(式中 为弯管对小环的正压力， 为弯管切线与 轴的夹角) ;由此解得 .2(2) 由上述运动方程可见，相对弯管静止的位置（平衡位置）应满足关系, 即 .gxcosinxgtan对于轨迹为
24、 的圆，有 ; 代入上式得22)(RyyRxt新 概 念 力 学 习 题 解. 由此可见，不存在与（或）无关的平衡点。yRg2-31 在加速系中分析 225 题。解: 以加速的考绳子作为参系，则 除受重力 Mg 和绳子的张力（等于和绳的摩察力）f r外，还受到惯性力-Ma 的作用，因相对静业，故其平衡方程为 ; 此外， 受到重力 mg、摩擦力 fr 和惯性力-ma 的作用，获得0)(Mafgr的相对加速度为 a，故其运动方程为 ; 由此可解得与 2-25 题)(mafmgr同样的结果： )/()2(gmfr 2-32 在加速系中分析 226 题。解: 从机内看，存在惯性力 ，故运动方程为： , ; )/(aTmaTg2/由此解得 .a4/32-33 在加速系中分析 230 题。解: 在转动系中，存在惯性离心力 ，小环相对静止，由合力为零即可求得同样的2mx结果。2-34 列车在北纬 30自南向北沿直线行驶，速率为 90 km/h，其中一车厢重 50 t。问哪一边铁轨将受到车轮的旁压力。该车厢作用于铁轨的旁压力等于多少？解: 由科里奥利力公式 , 知此力作用在铁轨的东边大小为vfc2 Nmvfc 91260246019503sin233
