1、用心 爱心 专心 1利用几何画板探索轨迹的教学研究性学习一得研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。教师：求曲线的方程、通
2、过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子：如图 1，过椭圆 ( )的左焦点 F1作弦 AB。现在来研究焦点弦 AB 有关12byax0a的问题。轨迹 1 过原点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程。图 1 图 2几何画板演示：拖动主动点 A 在椭圆上转动或制作点 A 在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点 M，得到点 M 的轨迹是一个小圆。如图 2“怎样求出这个小圆的方程？”学生：按一般思路，假设弦 AB 所在直线的斜率为 k，则 AB 的垂线的斜率为 ，列出k1这两条直线的
3、方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M 的坐标，最后消去参数 k 就得到点 M 的轨迹方程。哇！好复杂。学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师：“你为什么不动手做？”学生：“我在想这个轨迹是一个圆，而且是以 OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法：因为 OMAB ，所以|OM| 2 +|F1M|2 = |OF1|2，若设点 M 的坐标为(x ，y)，点 F1的坐标为(c，0)，则用心 爱心 专心 2x2 + y2 + (xc) 2 + y2 = c2，即 。
4、这就是所求的轨迹方程。 ”22)()(cycx“啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点 F1 的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点 O 与 F1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。 这当然很容易解得。 ”教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下：轨迹 2 如图 3，求弦 AB 中点 P 的轨迹方程。 ”“猜猜看，点 P 的轨迹是什么？”不少学生已经
5、利用几何画板演示了出来：几何画板演示：拖动主动点 A，得到点 P 的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段 OF1即半焦距 。如图 4。2c“真是椭圆。 ”学生的兴趣被调动起来。“怎样求这个小椭圆的方程？”教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图 3对这类问题无从下手。教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x，y)，因此先设 P 点坐标为(x，y)。要建立点 P 的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)、P、F 1，其中点 F1是定点，A、B、P 都是动点，但点A 是主动点，引起点 P 运动的
6、原因是由于点 A 在椭圆上运动。因此要找到点 P 与 A、B、F这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。 ”“点 P 与 A、B 两点的坐标的关系怎样？”学生：“根据中点坐标公式得到 ， 。 ”21x21y“如何将 A、B、P、F 1这四点的坐标联系起来？”“利用直线的斜率。 ”“直线 AB 的斜率怎样表示？”“有 ，还有 。 ”21xykcxyk“如何得到 ？”“”“A、B 两点在哪？满足什么方程？” 图 4“在椭圆上。满足 ， 。 ”212bayxb22bayx“知道怎样求 了吗？”21y学生很快得到下列解法(经过整理)：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x，y)，
7、，则 ， ，2bac21x21y用心 爱心 专心 3因为点 A、B 都在椭圆上，则 ， ，212bayxb22bayx两式相减得 ，0)()( 2212xb于是有 ，cxykabyay21化简得 ， 此即为所求的轨迹方程。1)2()(abcx教师：“以上解法是很典型的。这里设点 A、B 的坐标，但并不需要求出，只是利用A、B 的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？”一学生：“因为直线 AB 经过点 F1，可以设直线 AB 的方程为 y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出 A、B 两点的坐标”另一学生：“不必解出
8、 A、B 的坐标，将直线 AB 的方程为 y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点 A、B 的横坐标 x1，x 2，正好可以利用韦达定理得到， ，将点 A、B 的横坐标都表示为直线 AB 的斜率 k 的函数，消去参数21x21yk 就行了。 ”教师：“很好。请同学们将解法写出来。 ”以下是学生的另一种解法(经整理)：解法二：假设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=k(x+c)，代入椭圆方程得 12byax 02)( 222 bakcxaxb设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x，y)，则 ，221)()()( 2212121 ckabkcxkc
9、xk = ， 由得 ，代入 y=k(x+c)得 ，2kabcyab2)(2xy整理得 ， 即为所求的方程。1)2()(abcyx学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然十分相似 ，也不知有没有必然的联系？”学生：“ 与 的比例正好等于 ，哇！我发现这两个椭圆的离心率是2)(c2ab2:ba一样的！因此它们的形状相同。 ”教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关用心 爱心 专心 4系。刚才所探索的都是弦 AB 上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据这个椭圆及弦 AB，自行发现问题，提出问题和
10、解决问题。 ”学生们立即投入到探索中。一位学生：轨迹 3 “在弦 AB 上任意取一点 Q，跟踪点 Q，动画哇！怎么点 Q 的轨迹是这样的？”不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦 AB 上任取一点 Q，跟踪点 Q，拖动主动点 A，取到如下几何图形(如图57 所示)：图 5 图 6 图 7“呀！这是什么图形？”“怎么会有这样的图形？”“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。 ”“该给这个轨迹起个什么名字呢？”学生们发出惊叹。拖动点 Q，发现点 Q 的轨迹也发生变化。当点 Q 接近中点 P 时，点 Q 的轨迹图形接近于中点 P 的轨迹小椭圆(如图
11、 6)，而当点 Q 接近于点 A 或 B 时，轨迹图形就接近于大椭圆(如图 7)。轨迹 4 “老师，我发现，如果将弦 AB 的两端 A、B 分别与椭圆长轴两个端点 A1、A 2连起来，则这两条直线 A2A 与 A1B 的交点 C 好象在椭圆的准线上。 ”另一个学生叫起来。“老师，点 Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点 C 的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。 ”教师：“试试看吧。 ”采取常规方法“交轨法”求解：设直线 AA2、BA 1的方程分别为y = k1(xa)，y = k 2(x+a)，将 AA2的方程代入椭圆方程整理得,0)( 21431
12、 baxaba此方程的两根是 A、A2 的横坐标 x1与 a，故可求得 A(x1，y 1)点坐标为, 图 8)2,(1213bkabkaA用心 爱心 专心 5同理可求得 B(x2，y 2)点坐标为 。)2,(23bkabkaB由 A、F 1、B 三点共线可得 ，即 ，11FAcxy21将 A、B 两点坐标代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，将 ， 代入上式得xyk1xy，0)()()()()()( 22222 axcbaxcabcaa分解因式得 ，0 yxx因为直线 AA2、BA 1的交点在椭圆外，所以 ，
13、22bayxb故 ， 即 。0)()(axcax c即为直线 AA2、BA 1的交点的轨迹方程，而这就是椭圆的准线方程。“同样的道理，直线 A2B 与 A1A 的交点D 也在准线上。 ”“老师，不管 C、D 两点在左准线上怎样运动，CF 1D 是一个定值 。如图 9 所0示。 ”又一个学生发现了一个结论。同学们利用上个问题的解决方法，很快证明了出来。教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 图 9结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。 ”轨迹 5 “老师，如图 10 作 OAB 的重心 G，其轨迹也是一个椭圆。 ”一位学生说。(以下是
14、学生课后提供的解答过程：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，G(x，y)，AB 中点为 M(x0，y 0)，则， ，02x1， ， ， ，321320x032y由 ， ，2bayxb bayx得 ，2121此即为直线 AB 的斜率 k， 图 10又 ， ， 整理得cxycxyk320 cxyab32用心 爱心 专心 6. 故 OAB 重心 G 的轨迹方程为： 。)0)32(2yacxb 13()(22abcyx下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线：轨迹 6 “OAB 的内心的轨迹是一条鸡蛋形曲线(如图 11 所示)。 ”轨迹 7 “OAB 的垂心的轨迹是一条 形状的曲线(如图 12
15、所示)。 ”图 11 图 12轨迹 8 “OAB 的外心的轨迹是一条反 形状的曲线(如图 13 所示)。 ”轨迹 9 “OAB 中，过点 A 作 OB 的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图 14 所示)。”图 13 图 14轨迹 10 “老师，如图 15 作 ABF 2的重心 G，其轨迹也是一个椭圆。 ”(以下是学生课后的解答：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，G(x，y)，则由 F2(c，0)与G(x，y)可得 AB 中点 M 的坐标为 ，3,(cx因为 ，yabyabxy2121用心 爱心 专心 7所以 ，cxyab)3(21整理得 ，即 。2yxb1932acby此即为 AB
16、F 2的重心 G 的轨迹方程。) 图 15又是几条奇妙的曲线：轨迹 11 “ABF 2的内心的轨迹是与椭圆相似的一条曲线(如图 16 所示)。 ”轨迹 12 “ABF 2的垂心的轨迹是一条 形状的曲线(如图 17 所示)。 ”轨迹 13 “ABF 2的外心的轨迹是一条反 形状的曲线(如图 18 所示)。 ”轨迹 14 “ABF 2中，过点 A 作 BF2的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图 19 所示)。”图 16 图 17图 18 图 19轨迹 1518 “延长 AF2交椭圆于另一点 C，联 BF2 ，ABC 的重心、内心、垂心、外心的轨迹都是一不知名的曲线(如图 2023 所示)。 ”用心
17、 爱心 专心 8图 20 图 21图 22 图 23“老师，椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲线，它们有很多相似的性质。以上问题在双曲线与抛物线中是不是也具有相似的结论？”“问得好。同学们探讨一下这位同学提出的问题。 ”以下是学生经过探索得出下面的结论(限于篇幅，本文略去解题过程)：轨迹 19 如图 24，过双曲线 12byax的右焦点 F2作弦 AB，则弦 AB 的中点 M 的轨 图 24迹是以 OF2为实轴即实半轴长为 的双曲线，c其方程为 ，其解答过程与1)2()(abcyx椭圆相似，这里略去。并且此双曲线与原双曲线的离心率相同。若在弦 AB 上任取一点 P，则点 P 的轨迹图形如图 252
18、6，并且当点 P 图 25接近中点 M 时，P 点轨迹接近中点 M 的轨迹双曲线；当点 P 接近点 A 或 B 时，P 点轨迹接近原双曲线。轨迹 20 如图 27，OAB 的重心 G 的轨用心 爱心 专心 9迹是一双曲线，其方程为 。1)3()(22abcyx轨迹 21 如图 28，ABF 1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为 图 26932acbyx图 27 图 28轨迹 21 如图 28，ABF 1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为 。1932acbyx轨迹 22 如图 29，过抛物线 的焦点 F 作弦 AB， 则弦 AB 的中点 M 的轨迹是pxy2以 F 为顶点的抛物线，其方程为 .)(图
19、 29 图 30 图 31如图 3031，若在弦 AB 上任取一点 P，则点 P 的轨迹并且当点 P 接近中点 M 时，P 点轨迹接近中点 M 的轨迹抛物线，当点 P 接近点 A 或 B 时，P 点轨迹接近原抛物线轨迹 23 如图 32，OAB 的重心 G 的轨迹是一条抛物线，其方程为 。)3(42pxy轨迹 24 如图 33，K 是抛物线的准线与 x 轴的交点，KAB 的重心的轨迹是一条抛物用心 爱心 专心 10图 32 图 33 图 34线，其方程为 。)6(342pxy如图 34，通过探索还可得到抛物线有关的一些性质： 如 以 AB 为直径的圆与准线相切； 连接 OA、OB 两条直线，分
20、别交抛物线的准线于 M、N 两点，则MFN= ,并90且 AM、BN 都垂直于准线。教师：“今天的问题同学们研究得很好。几何画板可以称这数学实验室。通过这个实验室，同学们可以学会怎样去探索、发现问题和解决问题。象上面的轨迹问题，找到了主动点与被动点之间的关系，问题就不难解。下面的这个问题，同学们课后去加以研究，下周将你们研究的结果展示出来：问题 如图 35 所示，过椭圆的左顶点 A1作两条互相垂直的弦 A1A、A 1B。对于弦 AB提出一些问题并加以解决。例如：弦 AB 是否经过一个定点；弦 AB 上中点的轨迹问题；过 A1或 O 点作弦 AB 的垂线，垂足的轨迹问题；A 1AB 的重心、外心
21、、内心、垂心等的轨迹问题；A 2AB 的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题更一般的问题：如果在椭圆上取其它点 M，过点 M 作两条互相垂直的弦 MA、MB。对弦 AB 提出一些问题并加以解决。同样，对双曲线、抛物线也提出类似的问题。有关结果在下周展示出来。 ”课后对学生进行了调查。以下是一些学生的感受：“今天这堂课收获很大。以往很多想不通的知其然而不知其所以然问题，通过几何画板的动态显示，现在弄清楚了。 ”“今天这堂课真有意思。通过几何画板这个工具，不仅掌握了如何研究问题， 图 35同时也知道了如何去发现问题。 ”“通过这堂课，我想我们平时做的很多数学题大概就是这样被发现的。 ”“我觉得老师要
22、我们去发现问题、提出问题这种教学方式对我们很有益处。这比题海战术、高强度训练的教学方式要好得多。不仅掌握了数学知识，而且让我们知道了知识的用心 爱心 专心 11产生过程。 ”记得我国著名数学教育家张奠宙教授说过，在数学方面的研究性学习，不必将问题搞得太大，可以让学生对某个小问题进行讨论，进行深入的研究。因此，研究性学习重在探索过程，注重知识的产生过程，改变学生在教室里等老师教知识，学生在课堂上被动接受知识的学习方式；教会学生学会学习，学会寻找解决问题所需的信息、资料、数据并不断提高思维能力，进一步增强主体意识；引导学生学会利用多种方法思考问题，尝试用相关学科知识分析和解决问题；引导学生在亲身体验成功与失败、发现与创造中初步获得科学研究的一般方法；培养学生的团队精神与合作意识。总之，研究性学习强调：开放性、自主性、实践性、探索性。
