1、135 生产的销售与存贮的数学模型摘要: 本文针对生产的销售与存贮问题建立了不允许缺货和允许缺货的数学模型, 把抽象的数学问题转化为平面几何问题. 建立模型后, 把动态的总费用问题转化为日平均费用这一静态的含有参数的模型，把目标函数分别对 T、对 求偏微分, 求得稳定点，即可确定周期 T 和各种费用.TQ, Q关键词：不允许缺货；允许缺货；稳定点1 问题的提出某公司的产品 A 的生产销售是按周期变化的，在每一个生产周期 T（单位：天）内，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间 只销售不生0Ttt0产.若平均每天生产产品 Aq 千克，每天销售 r 千克（qr）,产品的生产成本分成两部分
2、，每次生产开工费为 （固定）和生产每千克的 A 的开支 ，生产的产品放在仓库里每天1C2C每千克 A 的存贮费为 .3问题一 若不允许缺货，试确定生产周期 T，使总费用（成本费+存贮费）最少.问题二 如果允许缺货，此时因缺货造成利润减少，已知每千克产品 A 的缺货费为 ，试4C确定 T 和每一周期内的总售货时间 ，使总费用（成本费+存贮费+缺货费）最少.1问题三 讨论参数 的变化对 总费用的影响.,qr4321,C,T2 问题的分析在一个生产周期 T 内的贮存量是 t 的连续函数，用积分的方法确定贮存费用和缺货费用.公司产品不允许缺货生产销售贮存问题数学模型，该模型要以总费用为目标函数确定每个
3、生产周期 T.因为 T 是变化的，故考虑到求日均费用的最值问题，用微积分方法求出日均费用的稳定点，即可确定决策变量 T；公司生产允许缺货生产销售贮存问题数学模型，该费用的最值问题，用微积分方法求出日均费用和稳定点 T 和 .13 模型的基本假设3.1 生产的产品全部合格；3.2 存贮费用只考虑每天卖出后余下的产品的数量；3.3 停止生产后的存货量与市场的需求量相等；3.4 每个周期生产一次,当贮存量为零时立即进入下一周期的生产.4 符号的约定：生产产品的总数量Q：边生产边销售的时间1tT：产品的一个生产周期136 ：总售货时间1Tq：平均每天生产产品 A 的数量r：每天销售产品 A 的数量（q
4、r）5 模型的建立与求解 5.1 问题一的求解5.1.1 在一个生产周期内存货量的表达式 的存货量 0Tt111rtqrQ即 为停止生产后的存货量， 假设此时的存货量与市场的需求量相等，而市场的需求量即为产品 A 的销售量，而销售量又恰为图(1)中三角形 的面积，所以存货量为阴影部分 A 的面积.又因为不允许1TtQ缺货，所以 时刻即为产品 A 的销售完的时刻.1Trt1rQttrtQtrrtQtTSQ 2212 111111 5.1.2 总费用（成本费+存贮费）的表达式 rttC11321因为生产周期 T 是变化的，故我们的目标是日均费用为最小，即 rTCqttTCqtrQttQTC 22
5、3112131121 5.1.3 对生产周期 T 的求解令 ， 得01tC 022 31311 3112 TCqrtTCqtrqCt rttT图(1) BT1tt1A1QOq137 解得： qrCrqT rCqt 2348132121 323 231311因为不允许缺货，所以 x 轴下方的空白小三角形 B 的面积为零即 021r因为 ，所以 ，即r1T1T时 ，所 以 当 qrCrq2343221生产的产品 恰好等于市场的需求量，此时没有缺货.Q5.2 问题二的求解如图(2)基于问题一，设产品 A 在 就销售完，此时产品供不应求，即缺货，则缺货1T量即为阴影小三角形 B 面积，此时销售量等于市
6、场需求量.缺货费用为 412CTrR存贮费为 3121QTSo总销售时间为 r生产开支为 2C总费用 413112CTrQ因为 是可变的，所以我们以日均费用为目标函数TrrTC2431令 图(2)0TQC解得: 433121432Crrr43121CrT此即为允许缺货时的周期 T.1TB tqQo138 4331214321 CrrCrQT如果不允许缺货,即 4此时, 312rT312rQ5.3 问题三的求解5.3.1 讨论参数 q，r 的变化对 的影响T由问题一知，当不允许缺货时，产品 A 的生产周期为qrCrT2343212可知当 时，rq01根据经验，产品的生产周期 T 不可能无限长，这
7、会使厂家的成本增加，所以上式中 但 .rqr25.3.2 讨论参数 r， ， ， ， 的变化对 ， 的影响1C2341T由问题二知：(T 为允许缺货的生产周期)433121rT4331211 CrC3142rT时 ，当 31Q此时 TrCrQ31311当销售量 r 越大，存贮费 越小，生产周期 T 就越大，当 都固定时，每31,C天销售量 r 就越大，生产周期就越大.6 模型的评价与讨论本文对给出生产量，销售量及相关费用的生产与存贮问题建立了量化的数学模型，本文的优点在于把抽象的生产周期与费用之间的关系用具体的平面几何图来表示，从而转化139 为求三角形的面积，之后把动态的总费用问题转化为日平
8、均费用这一静态的含有参数的模型，采用求偏微分的方法，求得其稳定点，即为 ，解决了问题.TQ, T参考文献1昌志华等经济数学模型广州: 华南理工大学出版社19972姜启源数学模型北京: 高等教育出版社1993The mathematics model of the reserve forthe sale of the productionSummary: This text is based on the aim of the productions sale and reserve ,the problem to establish to disallow lack goods with al
9、low the mathematics model of lack goods, abstract of mathematics problem the conversion is a plane geometry problem. Establish the model the empress, development of conversion of total expenses problem is average expenses of day, this is a static imply the refer the model that count, target function respectively to T, right beg the deflection differential calculus, and beg stability point, then certain period T with every kind of expenses.Key words: plane geometry problem; stability point; average expenses of day
