1、保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设计1.1.1 集合的含义与表示一、 内容与解析（一）内容：集合的含义与表示（二）解析：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。二、 教学目标及解析（一）教学目标（1） 使学生明确本章学习的重要性，初步理解集合、元素等概念，掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。（2） 解析：用集合的观点研究数学，是使数学研究的内容站在一个更系统的方向上，是学习数学的基础，本节是一些基本概念
2、，必须掌握好。三、 问题诊断分析集合的含义与表示，在高考中主要考查集合的三个特性、集合的表示法等，题型多以选择题和填空题为主，难度较小.虽然有时不直接考查，但也会作为集合的基础知识，渗透到解答题中与函数、方程、不等式等综合考查. 集合作为数学学习的基础，是必须学好，也必须透彻理解的一部分知识.四、 教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用 PowerPoint 2003。因为使用 PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。五、 教学过程1.集合有关概念的教学：考察几组对象：
3、 120 以内所有的质数； 到定点的距离等于定长的所有点；所有的锐角三角形；x , 3x+2, 5y -x, x +y ；东升高中高一级全体学生； 方程232的所有实数根； 隆成日用品厂 2005 年 8 月生产的所有童车；2005 年 1 月,230广东所有出生婴儿。A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设计B.定义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫作集合（set ） （简称集） 。C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？结论：对于
4、一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。即集合元素三特征。确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。无序性：集合中的元素没有顺序。D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： 不等式 x-30 的解；3 的倍数；方程x22x10 的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为 10cm 的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.2.集合的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用
5、小写的拉丁字母表示。 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于(belong to)集合 A，记作：aA；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于(not belong to)集合 A，记作：a A。 练习：设 B1,2,3,4,5，则 5 B，0.5 B， 3 B， -1 B。3.最常见的数集： 分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全体实数的集合。 这些数集是最重要的，也是最常见的，我们用符号表示：N、Z、Q 、R 。 正整数集的表示，在 N 右上角加上 “*”号或右下角加上“+”号。4. 列举法的教学： 比较：方程 的根 、 、210x1,2|10xR 列举法：把集合的元
6、素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来。P4 例 1 练习：分别表示方程 x(x 1)=0 的解的集合、15 以内质数的集合。2注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与a 不同。5. 描述法的教学： 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为 ，其中 x|xAP代表元素，p 是确定条件。 P5 例 2 练习： A.“不等式 x-30 的解”与“抛物线 yx -1 上的点的坐标”用描述法表示2B. 用描述法表示方程 x(x 1)=0 的解的集合、方程组 解集。2 273yC.用描述法表示：所有等边三角形的集合、方程 x +1=0 的解集。2保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设
7、计 简写原则：从上下文关系来看， 、 明确时可省略，如 ,xRZ|32,xkZ|0x强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x 2+3x+2与 y|y= x2+3x+2不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如： 整数 ，即代表整数集 Z。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。下列写法实数集 ，R也是错误的。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：试用适当的方法表示方程 x -8x=0 的解集。3六、类型题探究题型一 集合的概念与特征例 1 分析下列各组对
8、象能否构成集合：（1）与 2010 接近的数；（2）一次函数 的图象上的若干个点；(0)ykxb（3）正比例函数 与反比例函数 的图象的交点；1yx（4）面积比较小的三角形. 【思维导图】【解答关键】判断对象是不是确定的，关键找到是否有一个衡量的标准.【规范解答】 “接近的数”、 “若干个点” “面积比较小”都是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故（1） 、 （2） 、 （4）不能构成集合.而（3）中正比例函数 与反比例函数 的图象交点为 ， ，所以这两个函数的yx1yx(1,),)图象的交点能构成集合.【技巧感悟】判断一组对象能否构成集合，关键是看其对象是否满
9、足集合中元素的三个特征，特别是看是否满足确定性.【活学活用】1.(广东始兴中学 09-10 高一月考)在“高一数学课本中的难题；所有的正三角形；方程 的实数解”中，能够构成集合的是( )20xA B C D1. C 解析：课本中的难题没有明确的标准，不满足集合的确定性.都是集合.题型二 集合与元素的关系例 2 已知 ，求实数 的取值范围.21,0xx【思维导图】判断所给的对象是否具有确定性有确定性则能构成集合，否则不能.结论集合 ,2集合的互异性 1,0x集合的确定性 22x保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设计【解答关键】由确定性可知 ， 或 ，由互异性可知 .20xx1,0x【规范解
10、答】(1)若 ，则 ，此时集合为 ，不符合集合中元素的互异性，舍去 .20x1,(2)若 ，则 .1当 时，集合为 ，舍去；x,0当 时，集合为 ，符合.1(3)若 ，则 或 .由上可知， 和 都不符合题意.2xx0x1综上所述， .【技巧感悟】在应用集合中元素的特征解题时，应首先考虑确定性，再结合互异性进行检验，否则很容易出错.这一点必须在学习中引起足够的重视.【思维方法】对于解决集合中元素含参数的问题，一定要全面思考.分类讨论思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握.【活学活用】2.已知集合 且 ，求实数 的值.2,(1),3Aaa1Aa2.解析：由题意，得
11、.1当 时， ；当 时， 或 ；当 时，2a2()0231或 .由集合元素的互异性知 且 ， 1a.a题型三 集合的表示方法例 3 试选用适当的表示方法表示下列集合.（1）一次函数 与 的图象的交点组成的集合；3yx26yx（2）用描述法表示二次函数 的函数值组成的集合.4【思维导图】【解答关键】在表示集合时，要根据题意选择适当的表示方法，要看清楚集合中的元素是什么，元素满足什么条件(共同特征 )，区分符号语言所表达的含义 .【规范解答】 （1）因为 ，从而由一次函数 与3(,|(1,4)26yxx3yx的图象的交点组成的集合为26yx,.（2）因为 ，从而由二次函数2 2|4|(1)3|yx
12、yxy的函数值组成的集合为4yx |.【知识归纳】(1)把集合中的元素一一列举出来写在大括号内 的方法叫做列举法.在使用列举分析元素的性质 选择合适方法表示集合保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设计法时应注意：元素间用“， ”分隔；元素不重复、无顺序；对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时，也可以使用列举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号.(2)用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.其形式为： 适合的条|xD件 ，其中 x 叫做代表元素， 为 x 的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的 D
13、集合.【误区警示】在使用描述法时应注意：弄清楚元素所具有的形式(即代表元素是什么) ，是数集、点集，还是其他形式；准确地说明该集合中元素的特征；应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的： ，事实上它应表示为,|(12)xy（ ），或表示为 .(,)|1,2xy()【活学活用】3 （）用列举法表示集合 .（2）用描述法表示,|3,Nxyxy方程 的解组成的集合.240x3解析：（）令 ，则对应 的值为 .所以用列举法表示集合为,123xy,210.（）此方程的 ，故方程无解，其解集可表示(0,),() 4为 .(二）小结七、目标检测1 （福建福州八中 09-10 期中）已知集合 ，那么
14、( )0)2(|xAA. B. C. D. 21A1A 解析：可知 ，故选应选 A.,2已知集合 中三个元素 是 的三边长，那么 一定不是( )ScbaCBCA.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形2D 解析：若 为等腰三角形，则 中至少有两个相等，根据集合中元素的ABcba,互异性可知， 中不可能有两个相等，故选 D.cba,3(山东聊城实验中学 09-10 期中)下列四个说法中，正确的个数是 （ ） ； ； 0N(0,) 若 ，则 ； 集合 A=x | 含有 2 个元素a210A. B. C. D. 13保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设计3 B 解析： 是由
15、点 构成的单元素集，而 是一个数，不是点，从而错误；(0,)(,0)0则当 时，不正确；中的集合只有一个元素，故选 B.a4下列集合中表示同一个集合的是（ ）A. B.1,2(,)MN|1,|1,MyxRNyxNC. D. (,)| ()|224. C 解析：集合中元素满足无序性.5集合 所有元素是（ ）8|6AxA. ， ， ， B. ， C. ， ， ， D. ， ，12342452455. D 解析：由 可知， 是 的约数（或者 能被 整除）且 .Nx886x60x故 ，解得 其中 ，所以集合 中的所有元6,8x5,4.x5,2,NA素是 ， ，2456 （湖 北 省 部 分 重 点 中
16、 学 09-10 期 中 联 考 ）已知集合 ，若2|30,AxaaR中至多有一个元素，则 的取值范围是AaA. B. 或 C. 或 D.|8a|809|89|86. C 解析：至多有一个元素，包含有没有元素和只有一个元素两种情形，故可得 C 正确.二、填空题7.用符号 或 填空:(1) _ ； (2) （1，1）_ ； (3) _321|x |2xy(1,2)|),(yx7. （1） （2） （3） 8. (山东省实验中学 10 届高三诊断测试 )定义集合运算: .|,ABzxyAB设 ， ，则集合 的所有元素之和为 0,A4,BBA8. 8 解析： 或 ， ，所有元素之和为 .xy80,8
17、8三、解答题9.用适当的方法表示下列集合（1）20 的所有质因数（2）满足大于 3 且小于-1 的实数构成的集合（3）所有 4 的倍数9.解析：（1）20 的所有质因数为：2、4，故用列举法表示为2，5 ；（2）满足大于 3 且小于-1 的实数构成的集合中没有元素，故可表示为 ；保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设计（3）所有 4 的倍数，可用描述法表示为： . |4,xnN10.已知由实数组成的集合 满足:若 ,则 .A1A（1）设 中含有 个元素，且 ，求 ；A32（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由.10.解析：（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 , ,111()A12即故
18、 2,.A（2）假设 中仅含一个元素，不妨设为 ， 则 ，有 .aA1a又 中只有一个元素 ，所以 .1即 ，此方程 ，即方程无实数根.因此不存在这样的 .210a0高考能力演练11.（江西南昌三中 09-10 月考）下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合 1|2xy与集合 1|,2xy是同一个集合；（3） ， ， ， ， 这些数组成的集合有 5个元素；64|0.5（4）集合 是指第二和第四象限内的点集. (,)|,xyxyRA. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个11.11. B 解析：（ 1）中“很小的”不确定；（2）中集合代表元素分别为数集和点集；（3）中 ， 相同， ， 重复，不满足互异性；（4）中元素为第二和第四象限264|0.5内的点.12.(09 北京理 20)已知数集 具有性质 ；对任1212, ,nnAaa P意的 ， 与 两数中至少有一个属于 .分别判断数集 与,1ijijnijji A1,34是否具有性质 ，并说明理由.,236P12.解析：由于 与 均不属于数集 ，该数集不具有性质 .431,34P由于 都属于数集 ，6261,2, 1,236保山曙光学校高一数学必修 1 李华 教学设计所以该数集具有性质 .P
