1、1平行公理的证明摘要：在理论上，直线之间无法表现其位置、度量关系，而实际画的直线却可以表现这一性质；由于我们画的实直线与理论直线之间，点的浮动性很小（将两者重叠放在一起，无明显差别） ，所以在一定的范围内，实直线所表现出的性质，就是理论直线所带有的性质；我们利用这个结论来推证直线的性质。关键词：平行公理；直线；一、引言引理：同位角相等，两直线平行如图：其中1=2，证明：LL假设 L1 与 L2 相交于点 A 取 CD=AB1=2 3=4又 AB=CD，BC=BC ABCDCB（SAS）DBC=11+4=1+3=180DBC+4=ABD=180矛盾！ 故得证二、主要结果因为定义的直线是只有长度而
2、没有粗细的，所以在欧式几何体系中，直线之间的位置关系，度量关系不能表现出来，也就是说，欧式几何第五公设，不论怎样假设，都不会出现矛盾，从而认为平行公理是不可能证明的。在这里，我们用直尺画一条直线段，虽然它不能准确的表示理论中的直线，但在一定的范围内，实直线所表现出的性质，就是理论直线所带有的性质。实直线与理论直线之间，点的浮动很小（将两者重叠放在一起，无明显差别） ，我们利用这个结论来推理理论直线的相关性质。 1324 l3l1l2ABCD21我们用直尺作图所示图形，其中1=2（这里的角是实际作出的） ，且为明显的较大角，将 L3 平移（保持1 不变）至 L4 的过程中，发现 A1A3 与A2
3、A4 的长度无明显差别，近乎相等，由此我们可以推出，任意较大同位角相等的平行线，彼此的间隔是可以无局限的。 补充：我们将如图左右、上下平移后就能使直线 Li(i=1,2,3,4,)的长度是无限的。由于在这个图中 A1A3 与 A2A4 的长度无明显差别（实际不能区分),那么在任意的区段（指四边形 A1A3A2A4）中，结论亦成立。对于每一条这样的直线 L，都唯一的包含一条定义的直线（重叠在一起无明显差别） ，在实际中，我们可以旋转1，可知结论不变，对于任意一个理论角度，都可以在实际中找到一条对应的实际直线，那么，由此可知，结论成立。注：在这里，我们可以调节实直线的点的浮动程度，使1=2，这里的
4、调节程度是无明显区别的。2当同位角为较小角(实际不能明显表示的角) ，要理论与实际的相结合。如图1=2，且为较小角 将直线 AB 平移至 CD，由引理知 ABCD，即 AB 与 CD 间有间隔。取 CE=DF=AC，连结 EF，则2 与3 近乎相等，无明显差别，以此类推，则 AB与动平行线 MN 的间隔是可以无局限的。即较小同位角相等的平行线，彼此的间隔是可以任意的。l1l212l3 l4EABCDFMN3如图1=2，31下证：L4 与 L2 相交证明:由新理论可知：L1 与 L2 的距离是有限的，L1 与 L5 的距离经过平移（保持同位角相等）可以是任意的，那么，点 A 必定经过 L2 上的一点。综上，平行公理得证。1l2l1 l5l42 l33A
