1、第五章 常微分方程 数值解法,数值计算方法,张红梅自动化学院 2010年4月,5.1 引言,5.1 引言(基本求解公式) 基于数值微分的求解（Euler公式） 基于数值积分的求解（梯形公式 Simpson 公式） 5.2 Runge-Kutta法,本章要点,5.1 引言 (基本求解公式),工程和科学技术的实际问题中,常需要求解微分方程：,问:初值问题(1)的解是否存在？如何判断解的存在性？,对于上述问题，可以用解析法求解。但实际问题中的很多常微分方程，解析解很难求得或不存在。,初值问题解的存在唯一性定理,导数 y(x) 的数值计算或积分 的数值计算,常微分方程数值解问题的实质：计算函数 y(x
2、) 在离散点 xk 处函数值 y(xk) 的近似。,“步进法”求解常微分方程,步进法：,单步法：,多步法：,1-1 基于数值微分的求解公式,两点数值微分公式：,-(3),以下涉及的节点均为等距, 即:,对于初值问题(1),有：,-(4),- (5),- (6),得近似解及误差：,其中:,(前进)Euler 公式，显示公式，直接计算 yj+1的公式,(4)式中区间 上第一等式的一般格式：,即,- (7),- (8),(4)式中区间 上第二等式的一般格式：,其中:,得近似解及误差,即,后退 Euler 公式，隐示公式，右端函数含有未知量 yj+1,(5)式和(7)式特点：,称这类方法为单步法单步格
3、式,Euler方法的几何体现,前进 Euler 公式,在计算 yj+1 时只用到之前一个值 yj,后退 Euler 公式,例1.,解:,用前进Euler 公式求解初值问题：,显然,由前进Euler 公式,有,得,依此类推,有,0 1.00000.1000 1.10000.2000 1.19180.3000 1.27740.4000 1.35820.5000 1.43510.6000 1.50900.7000 1.58030.8000 1.64980.9000 1.71781.0000 1.7848,-(9),预测校正系统,先由前进 Euler 公式得到 的预测值 ,然后将 代入后退Euler
4、公式计算 ,就可得到新的Euler 公式:,求解过程：,后退 Euler 公式 中, 为了把 从函数公式中求解出来很难。,实际上，隐式公式公式能获得更高精度的解。,为了避免求解函数方程，采用“显式+隐式”的方式,用 Euler 公式的预测校正系统求解例1.,例2.,解:,由(9)式, 有,依此类推, 得,0 1.00000.1000 1.09180.2000 1.17630.3000 1.25460.4000 1.32780.5000 1.39640.6000 1.46090.7000 1.52160.8000 1.57860.9000 1.63211.0000 1.6819,把此值和例1中前
5、进Euler公式的结果以及精确值比较发现,用预测校正系统的结果与精确解更接近.,常微分方程求解公式中,虽然显式比隐式方便,但由隐式可获得更高精度.,评价一个微分方程求解 公式好坏的标准是什么？,只能表示求解公式第 j+1 步的误差。,在求解公式 中,一般 都是近似值, 因此,1-2 截断误差,评价一个微分方程求解公式的标准:精度,即精确值 与计算值 之差：,定义3. 若求解公式的局部截断误差为则称该求积公式具有 p 阶精度.,局部截断误差和整体截断误差均与步长 h 有关,因此可以用 h 的次数来刻画求解公式的精度：,显然,求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好. 从前面的分析可知, Eul
6、er 法的精度并不算高,因此有必要寻找精度更高的求解公式.,具有 1 阶精度,具有 1 阶精度,注: 由于 和 难以确定,可用 (或 )代替, 也可根据 的性态直接估计 和 的值.,- (10),1-3 基于数值积分的常微分方程数值解法,将以上求积公式代入(11)式, 并加以处理, 得求解公式：,假设已知,(一) 矩形求解公式,(11)式称为Euler 求解公式, 又称矩形公式,显式公式,(二) 梯形求解公式,令,称(12)式为梯形求解公式(梯形法),隐式公式,梯形法具有 2 阶精度,由于梯形公式为隐形公式,一般情况下不易显化,可以先使用Euler 公式(矩形法),即公式(11),求出 的预测
7、值 ,然后将 代入梯形公式(12)进行校正,即,如果在中, ，,则梯形公式第 k 步的截断误差为：,改进的 Euler 求解公式(改进 Euler 法),-(14),注: 改进 Euler 法是由梯形公式和 Euler 公式复合而成， 且已知梯形公式具有 2 阶精度.,可证：改进 Euler 法也具有 2 阶精度.,改进的Euler求解公式,解:,对上式取 k=1,2,3,4,5, 结果如表 1-1 所示.,其余结果见表1-1.,其余结果见表1-1.,Euler 法,梯形法,改进Euler 法,表1-1,0.1 0.2 0.3 0.4 0.5,1.000 000 1.010 000 1.029
8、 000 1.056 100 1.090 490,1.004 762 1.018 594 1.040 633 1.070 096 1.106 278,1.005 000 1.019 025 1.041 218 1.070 802 1.107 076,4.8X10-3 8.7X10-3 1.2X10-2 1.4X10-2 1.6X10-2,7.5X10-4 1.4X10-4 1.9X10-4 2.2X10-4 2.5X10-4,1.6X10-4 2.9X10-4 4.0X10-4 4.8X10-4 5.5X10-4,1、Euler 法的误差数量级最大； 2、梯形公式与改进的Euler 法误差数量级相当，均优于Euler 法。,(三)Simpson 求解公式,简化后,得,由 Simpson 求积公式的误差:,可以近似得到(16)式的截断误差为,分析(15)式：,如何求?,Simpson公式具有4 阶精度,将(15)式改为:,-(16),-(17),(16)式称为 Simpson 求解公式, (17)为相应的截断误差项,注:,这种形式称为多步法.,
