1、,动力学普遍方程和拉格朗日方程, 引 言, 动力学普遍方程, 拉格朗日方程, 拉格朗日方程的初积分, 结论与讨论,经典动力学的两个发展方面, 拓宽研究领域,矢量动力学又称为牛顿欧拉动力学,牛顿运动定律由单个自由质点 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础),欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流体, 寻求新的表达形式,将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 建立分析力学的新体系,拉格朗日力学,考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有,令系统有任意一组虚位移,系统的总虚功为,5.3.1 动力学普遍方程,系统的总虚功为,利用理想约束条件,得到, 动力学普遍方程,任意瞬时作用于具
2、有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。,动力学普遍方程的直角坐标形式,动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。,动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。, 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。, 由于 动力学普遍方程 中不包含约束
3、力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。, 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。,动力学普遍方程的应用,解：1、分析运动，施加惯性力,2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。,3、应用动力学普遍方程,其中：,例 题 2,离心调速器,已知：,m1球A、B 的质量； m2重锤C 的质量； l杆件的长度； O1 y1轴的旋转角速度。,求：, 的关系。,解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = ,1、分析运动、确定惯性力,球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。,球A、B的惯性力为,2、令系
4、统有一虚位移。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、 rC 。,3、应用动力学普遍方程,根据几何关系，有,3、应用动力学普遍方程,求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圆轮质心C2相对于三棱柱加速度ar。,解：1、分析运动,三棱柱作平动，加速度为 a1。,圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。,解：2、施加惯性力,解：3、确定虚位移,考察三棱柱和圆盘组成的 系统，系统具有两个自由度。,第一组,第二组,二自由度系统具有两组虚 位移：,解：4、应用动力学普遍方程,令：,解：4、应用动力学普遍方程,令：,解：5、求解联立方程,5.3.2
5、拉格朗日(Lagrange)方程,主 动 力,虚 位 移,广义坐标,第i个质 点的位矢,由动力学普遍方程，得,Qk广义力,对任意一个广义坐标 qj 求偏导数,如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数，再对时间求 导数，则得到,第二个拉格朗日关系式,此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。,如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力,引入拉格朗日函数,LTV,得到主动力为有势力的拉格朗日方程,对于只具有完整约束、自由度为 N 的系统，可以得到 由 N 个拉格朗日方程组成的方程组。,应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：, 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 决
6、定采用哪一种形式的拉格朗日方程。, 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。, 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。, 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。,拉格朗日方程的应用,解：1、系统具有一个自由度，取 为其广义坐标。,2、计算系统的动能：,其中：,3、计算广义力：,4、应用拉格朗日方程,解：1、系统具有二个自由度，取 x、 为其广义坐标。,2、计算系统的动能：,其中：,3、计算广义力：,(1)令：,(2)令：,4、应用拉格朗日方程,解得：,例 题 6,质量为m、长度为l 的均质杆AB 可以绕A端的铰链在平面内转动。 A端的小圆轮与刚度系数为k 的弹 簧
7、相连，并可在滑槽内上下滑动。 弹簧的原长为l0。,求：系统的运动微分方程,k,解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x, ), x 坐标的原点取在弹簧原长的下方。,解：3、计算系统的动能：不计弹 簧的质量，系统的动能即为AB杆的 动能,速度vC的确定,系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以O点为共同的势能零点：,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x, ), x 坐标的原点取在弹簧原长处。,3、计算系统的动能：,速度vC的
8、确定,系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成：,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。,2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=( , )。,3、计算系统的动能：,由运动学可知：,建立随质心O1平动的坐标系O1 x1 y1,3、计算系统的动能：,拉格朗日函数,4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,18-3 拉格朗日(Lagrange)方程的初积分,（1）循环积分（广义动量守恒）,（2）能量积分（广义能量守恒）,当 L 函数不显含某一广义坐标 qj 时， qj _称为循环坐标， 此时，有循环积分：,系统主动力有势，L 函数
9、不显含时间t ，约束是定常的， 即有机构能守恒：,由能量积分得：,因 L 函数不显含 ，故 为循环坐标，系统存在循环积分：,结论与讨论, 达朗贝尔原理、虚位移原理与拉格朗日方程, 达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。, 虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。, 通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广 应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔 拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。,结论与讨论, 第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。,达朗贝尔拉格朗日方程适用于具有理想约束或 双面约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有定常约束 的系统，也适用于具有非定常约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有完整约束 的系统，也适用于具有非完整约束的系统。,达朗贝尔拉格朗日方程既适用于具有有势力的 系统，也适用于具有无势力的系统。,结论与讨论, 第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。,基本形式,主动力有势形式,结论与讨论,结论与讨论,（1）循环积分（广义动量守恒）,（2）能量积分（广义能量守恒）,谢谢大家,返回本章目录页,
