1、2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律,一、概率分布随时间的变化及连续性方程 二、粒子数、质量、电荷守恒定律 三、波函数的标准条件 四、波函数一般是复数,2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律,一、概率分布随时间的变化及连续性方程,1概率分布随时间的变化,因为总概率（或粒子数）守恒，所以如果有的区域粒子数增加，必然有的区域粒子数减少，说明有一定数目的粒子从一个区域转移到了另一区域。寻求一个概率流密度矢量来表示单位时间内穿过单位面积的概率（概率流动），则会使图象更明确。,2概率分布的连续性方程,假设 已归一化,描写态， 描写概率分布（概率云）。假设有很大数目的N个相同的但独立的粒子，同处于 态，则 表示
2、粒子数在空间的分布。 不断随t变化，分布 及 也不断变化，求解薛定谔方程即可得到它们的变化规律。,令,得概率分布的连续性方程,讨论：,（1）把连续性方程两边对空间任意一个体积求积分，得,上式左边是粒子在体积 内的概率随时间的变化率，右边代表单位时间内流进或流出该体积的概率。正因为如此， 称为概率流密度矢量。,（2）如果波函数在无穷远处为零，将积分区域扩展到整个空间，则,即在整个空间内找到粒子的概率与时间无关，总概率守恒。,二、粒子数、质量、电荷守恒定律,粒子数密度,粒子流密度,粒子数守恒定律,即单位时间内体积 内粒子数的改变等于穿过 的边界面 流出或流入的粒子数。,同理：,质量守恒定律,电荷守
3、恒定律,三、波函数的标准条件,描写体系的物理状态，它必须满足一定的条件，解薛定谔方程时一定要选满足标准条件的解。,1单值性,因概率密度 、概率流密度矢量 有唯一确定的值，所以 是 和 的单值函数。,2有限性,3连续性,概率密度的连续性要求波函数是连续的，而概率流密度的连续性则要求波函数的一阶导数是连续的。,简而言之，波函数应该是单值、有限和连续的。这就是波函数应满足的标准条件。,四、波函数一般是复数,1薛定谔方程中一边含有虚数，要求波函数不可能是纯实数或虚数。,设 ，u和v为二实量，代入薛定谔方程中，得,等号两边的实部、虚部分别相等，则,u、v彼此相联，不论哪一个都不是薛定谔方程的解，只有复数
4、才是解。,2概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。,如果u、v有一个恒为0，则 ，不能描写体系的运动，故波函数一般应为复数。,注：但定态时波函数为实数，描写驻波是可以的。,2-5 定态薛定谔方程,一、不含时薛定谔方程 二、能量本征值和能量本征值方程 三、定态及其特点 四、含时薛定谔方程的一般解,2-5 定态薛定谔方程,一、不含时薛定谔方程,当 时，薛定谔方程存在可以分离变量的特解,代入薛定谔方程，得,因此,定态薛定谔方程,二、能量本征值和能量本征值方程,从数学上来说，对于任何E值，定态薛定格方程都有解。但并非对于一切E值所得出的解都满足物理上的要求。这些要求中，有根据波函数的统计解释而提
5、出的要求（如单值、有限、连续），也有根据体系的具体物理情况提出的要求（如束缚态时无穷远处波函数为零），只有某些E值所对应的解，才满足物理上的要求。这些E值称为体系的能量本征值，相应的波函数称为能量本征函数，定态薛定谔方程称为体系的能量本征值方程。,上式中 是能量算符，称为哈密顿算符，记为,定态薛定格方程简写为,一个算符作用在一个函数上等于一个常量乘以该函数，这样的方程叫算符的本征值方程，该函数叫算符的本征函数，该常量叫算符的本征值。,比如，力学量 的本征值方程为,式中,的第 个本征值,对应本征值 的本征函数,如果本征值 对应 个不同的本征函数,称该本征值 i 重（度）简并。,当体系处于算符 的本征态 时， 具有确定值 。,三、定态及其特点,如果粒子初始时刻（ ）处于某一个能量本征态,满足 ,且 不显含时间，则,显然，它也满足,定态特点：,（1）概率密度 不随时间改变，形成稳定分布；,（2）概率流密度 不随时间改变；,（3） 。,四、含时薛定谔方程的一般解,定态仅是薛定谔方程的一特解，一般束缚态问题中会有许多个定态解,一般解为这些定态波函数的线性叠加,作业,2.1,
