1、一 工 科 数 学确 定 二 元 函 数 极 限 不 存 在 的 方 法 及 实 例排 七砚 公 弓 切 其 只 户粉 排 林 粉巧 篡排 粉 称秦 翠 峨太 原 工 业 大 学通 常 情 况 下 , 判 断 二 元 函 数 极 限 不 存 在 的 方 法 有一 只 要 找 到 一 种 方 式 使 , 不 存 在 二鱿有 两 种 方 式 使 ,月 叫 卜都 存 在 , 但 二 者 不 相 等 。一 般 地 讲 , 寻 找 极 限 不 存 在 的 方 式 就 是 选 取 适 合 的 路 径 。 要 想 准 确 地 选 取 适 用 路 径 , 必须 归 纳 函 数 所 属 的 类 型 , 根 据
2、二 , 夕 的 结 构 特 点 , 选 用 适 合 的 路 径 。几 种 常 见 的 函 数 所 选 取 的 路 径 , 叙 述 如 下。 不 恒 为 常 数 的 零 次 齐 次 函 数 , 选 用 直 线 路 径 二设 二 , 夕 是 不 恒 为 常 数 的 零 次 齐 次 函 数 , 即 , 夕 二 , 夕 , 且 二 , 夕 爷常 数 。 当 动 点 尸 戈 , 沿 定 义 域 内 的 直 线 二 趋 向 点 。 , 时 ,有, 代 卜, 一 确, 之 一 , 秃 祷 。叫 卜一 益 勺 户表 明 所 取 极 限 值 因 而 异 , 所 以 极 限 不 存 在 。例 犷 的 定 义 域
3、是 去 掉 负 轴 含 原 点 的 二 平面 , 当 ,零 次 齐 次 函 数 二 ,沿 直 线 二 ,戈 亿 二 “ 夕 子 趋 向 ,斗 。夕 吕 州 卜 刀劣戈 了 劣 “ 夕 琴 斗 。 戈 劣 了戈时 , 便 有了 “此 结 果 因 而 异 , 所 以 一 类 二 不 三 带 不 存 在 。名 。 义 十 犷 劣 十 不 恒 为 常 数 的 广 义 零 次 齐 次 函 数 , 选 用 曲 线 路 径 二 “设 函 数 戈 , 是 不 恒 为 常 数 的 广 义 零 次 齐 次 函 数 , 即 , 护 二 二 ,有便立, 刀 , 如 果 令 二 时 ,二 , 三 , 二当 二 , 沿
4、着 曲 线 路 径 二 坛 一 。 趋 于 点 , 时 , 则秦 翠 娥 确 定 二 元 函 数 极 限 不 存 在 的 方 法 及 实 例, 夕 , ,其 结 果 是 的 函 数 , 表 明 极 限 不 存 在 。例 如 。 夕 不 存 在对 于 形 如 一 攀 牛 的 函 数 , 选 用 定 义 域 的 边 界 函 数 夕 二 , 二 , 加 上 二 。 尝 试 , 即 取一 又 少帆 二 坛 “ 其 中 二 , , 并 适 当 选 择 。例 考 查 函 数 二 , 二 , 二 厂 之 、 二 其 定 义 域 的 边 界 曲 线 为戈 潇 一 十一 戈 , 取 曲 线 路 径少 一 二 。
5、 , , 并 适 当 选 择 。则 有 ,。 一 , , 一 。公 , 卜 。劣 “ 一 劣 “ 。“ 一 戈 坛 “ “二 扣 里 、 一 劣 ,另取 二 时 , 则 有罗 。 , , 夕 , 御 罗, 一 , , 申 。一 戈劣 一 告 , 一 可 见 二 举 飞 “ 不 存 在 。如 果 二 , 为 分 式 函 数 , 可 考 虑 二 , 中 的 分 子 分 母 是 否 为 同 阶 无 穷 小 , 反 过来 倒 推 夕 与 二 的 函 数 关 系 , 从 而 定 出 所 取 的 适 用 路 径 。例 证 明二 口 ,夕 一 卜了 戈 一戈 十 不 存在 。由 于 匕 至 夕 三 二十戈夕
6、 了 石 ,门 可 取 二 戈 当二 , 沿 该 曲 线 趋 子, 时 , 则 有了 汤 不 丁 一劣 今 了当 取 这 条 直 线 即 沿 二 轴 , 当 二 , 沿 二 轴 趋 向 。 , 的 时 , 因 三 。 , 故匕 兰 上 生 卫 刊动 点 沿 两 条 不 同 路 径 趋 向 原 点 时 , 虽 然 极 限 都 存 在 , 但 二 者 不 相 等 , 所 以 极 限 不 存 在 。函 数 了 二 , , 是 , 次 齐 次 函 数 、 。 , 当 引 入 极 坐 标戈, 一 二 口 二 】 时 , 因 为 口 , 乡 孟 , 口 , 所 以 可 选 用 适 当 的 路 径一 工 科
7、 数 学去 尝 试 。戈 , 么 丫】 一 一 刁 、, 。 十 斌 戈 乙 乙存 在 。从化 为 极 坐 标 形 式 夕 , 口 少 互 干 丽 序现 在 取 两 种 路 径沿 路 径 。 夕 。 二 , 当 二 夕 。 , , 时蕊 渝 刊沿 路 径 , 二 这 是 心 形 线 , ,当 , 二 一 , , 时由 此 二 式 便 知 , 口 , 不 存 在 , 从 而 二 , 也 不 存 在 。 今 。齐 次 有 理 分 式 函 数 , 通 常 是 取 过 原 点 的 射 线 二 二 , 二 十 作为 适 用 路 径 。设 久 次 齐 次 有 理 分 式 函 数 二 ,、二 , 其 中 武
8、 二 , 、 二 , 分 别 是 关 于二 、 的 实 系 数 。 、 , 次 齐 次 多 项 式 , 、 都 是 正 整 数 , 且 几 二 一 。 。当 动 点 沿 射 线 趋 向 点 , 时 , 便 有, 反 , 一 口 卜 口 卜,分 以 下 三 种 情 形一 当 时 又 。 一 , 式 即 为。 ,。 乡 ,此 极 限 值 与 射 线 二 ,不 恒 为 常 数 时 , 使 ,吕 一 卜 的 方 向 角 召 有 关 , 表 明 极 限 不 存 在 。不 存 在 。从 而 , 当 二 ,例 考 查 三 井 芝, 令 。 一夕 嗯 卜函 数 二 , 二戈 一戈一享 的 系 数 行 列 式
9、卜 铸 。 , 表 明 兽 户 入 一 是 不 恒 为 常 数 的 零尤 一 十次 齐 次 有 理 分 式 函 数 。 如 果 , 沿 着 射 线 二 二 , 二 趋 向 。 , 时 , 则 有“ 夕 一 “泞 了 夕 一 一 一 下 牛 厂 一 一 二 一 二 厂 万十 。 犷 一 , , 仃 “ 以 少一 “ 夕争 叫 卜秦 翠 娥 确 定 二 元 函 数 极 限 不 存 在 的 方 法 及 实 例其 结 果 是 的 函 数 , 故一 丫 七 去一 二 一 一 一 百 一 户 侧 尘 七 。卜 , 劣 “ 二 当 。 时 几 。 一 。 , 式 即 为 , 悠 糯 豁 瓮 , 由 于 痴
10、, 夕 是 用 ” 项 式 , 在 一 梦 , 川 上 , 方 程抓 口 , 。 至 多 有 个 根 , 然 而 在 函 数 , 的 定 义 域 内 , 至 少 存 在 。 ,使 。 口 。 , 。 笋 。 , 又 因 为 。 位 于 定 义 域 内 , 所 以 。 , 。 铸 , 在 内 当 动点 沿 射 线 二 口 。 趋 向 原 点 时 ,几 , 夕 是 非 零 常 数, 那 么, 皿 叩 丝 吐 “ 沙。 匕” 一 口 。 , 。二所 以 原 式 极 限 不 存 在 。一 戈 二 口三 当 时 只 二 一 , 我 们 引 入 , 一 二 口 二、将 二 , 转 化 为 极 坐 标 形
11、式, “ 一 “,设 二 是 方 程 , 的 根 , 而 不 是 , 的 根 , 显 然 半 直 线 二是 。 夕 , 定 义 域 的 边 界 线 。在 定 义 域 内 任 取 口 。 , 当 , 沿 着 半 直 线 “ 趋 向 极 点 , 。时 , 便 有, ,若 取 曲 线 路 径 人 。 夕 , 夕 了 由 , 确 定 的 曲 线 路径 夕 , 了 , 当 之 时 是 多 值 的 , 这 里 我 们 只 取 它 的 一 个 实 单 值 分 支 , 几二 一 ” 。 当 动 点 沿 路 径 , 几 趋 于 极 点 时 , 由 于 守 , 则, 不 趋 于 。 , 所 以 原 式 极 限 不
12、 存 在 。例 证 明 一 二 认 不 存 在卜 , 。 工 七 义 十 夕 少一 , , , , , 。 、 口 口术 用 欲 坐 怀 “ , 犷 万 “ “ 夕 砰 毛 石 动 丈 万 石 匆 干 万 丁 动 “ 辰 丽 又 瓦 丽 下 荻 两、 取 曲 线 路 径 夕 圆 曲 线 因 土 粤 。 , 便 有乙一 工 科 数 学口 一 一 飞一 兴 里 旦 二 竺 二口 弋 口一 口 今 。、 取 半 直 线 。 , 俘 一 。 一 婴 一 , 当 动 点 沿 半 直 线 。 二 。 趋 向 极 点任 乙时 , 有, , , , , 一 户口咭 卜。 口 。 日 。 由 此 二 式 便 知
13、 , , 不 存 在 , 从 而 , 不 存 在 。, 口 二 叶 介 英 吴 桩 曹 敏 谦参 考 文 献关 于 多 元 函 数 极 限 定 义 的 讨 论 数 学 通 报 年 第 三 期二 元 函 数 极 限 不 存 在 的 判 定 方 法 举 例 数 学 通 报教 学 分 析 习 题 集 题 解某 些 定 积 分 的 特 别 积 分 法李 若 平武 汉 工 业 大 学定 积 分 概 念 是 高 等 数 学 中 的 难 点 之 一 , 并 且 在 工 程 技 术 中 有 广 泛 的 实 际 应 用 。 为 了 培 养学 生 深 入 理 解 定 积 分 的 一 些 性 质 , 并 灵 巧 地
14、 运 用 这 些 性 质 去 解 决 一 类 很 有 用 的 定 积 分 的 计 算方 法 问 题 , 本 文 先 介 绍 定 积 分 的 两 个 基 本 命 题 , 然 后 利 用 这 些 命 题 去 计 算 某 些 较 复 杂 的 定 积分 之 值 。 在 通 常 情 况 下 , 这 些 积 分 的 计 算 需 要 借 助 复 补 析 中 的 围 道 积 分 来 计 井 。命 题 设 是 闭 区 间 , 匀 上 的 可 积 函 数 , 则 有 血 训 召 一 , 由 命 题 立 即 可 推 出 下 列 两 个 推 论 。几 推 论 设 沉 二 劝 , 则 二 、 二 【 了 二 二推 论 设 一 劝几 何 上 我 们 可 以 看 出, 冈 , 则 魂 , , 叙 一 。 满 足 推 论 假 设 条 件 的 函 数 是 在 。 门 上 关 于 直 线 戈 二 对 称 的
