1、电话：400-600-2690 第 1 页 共 3 页 咨 询 QQ:1400700402 1师出教育S 2n 1 adnn等差数列的性质总结等 差 数 列 的 定 义 ： an an1 d （ d为常数） （ n 2 ） ；等差数列通项公式：a a (n 1)d dn a d (n N * ) ， 首 项 : a ，公差:d， 末 项 : an 1 1 1 n推 广 ： an am (n m)d 从 而 d an am ；n m等差中项（ 1） 如 果 a ， A ， b 成 等 差 数 列 ， 那 么 A 叫 做 a 与 b 的 等 差 中 项 即 ： A a b 或 2A a b2（ 2
2、） 等 差 中 项 ： 数 列 an 是 等 差 数 列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 ：S n(a1 an ) na n(n 1) d d n2 (a 1 d )n An2 Bnn 2 1 2 2 1 2（其中A、B是常数，所以当d0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数2n 1 时， a n1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1 a2n1 2n1 n1 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）2等差数列的判定方法（ 1） 定 义 法 ： 若 an an1 d 或 a n
3、1 an d (常 数 n N ) a 是等差数列（ 2） 等 差 中 项 ： 数 列 an 是 等 差 数 列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 数 列 an 是 等 差 数 列 an kn b （其 中 k, b 是常数）。（ 4） 数 列 an 是 等 差 数 列 S An Bn ,（ 其 中 A、 B是 常 数 ） 。2等差数列的证明方法定 义 法 ： 若 an提醒： an1 d 或 a n1 an d (常 数 n N ) a 是等差数列（ 1） 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前 n 和 公 式 中 ， 涉 及 到 5 个 元 素 ： a1 、
4、d 、 n 、 an 及 Sn ， 其 中 a1 、 d 称作为基本元素 。 只 要 已 知 这 5 个 元 素 中 的 任 意 3 个 ， 便 可 求 出 其 余 2 个 ， 即 知 3 求 2。（ 2） 设项技巧：一般可设通项 a n a1 (n 1)d 奇 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 ， a 2d , a d , a, a d , a 2d （公 差 为 d ） ；偶 数 个 数 成 等 差 ， 可 设 为 ， a 3d , a d , a d , a 3d ,（注 意 ； 公 差 为 2 d ） 8等差数列的性质：（1）当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (
5、n 1)d dn a1 d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差 d ；前 n 和 S na n(n 1) d d n2 (a )n 是 关 于 n 的 二 次 函 数 且 常 数 项 为 0.n 1 2 2 1 2（ 2） 若 公 差 d 0 ， 则 为 递 增 等 差 数 列 ， 若 公 差 d 0 ， 则 为 递 减 等 差 数 列 ， 若 公 差 d 0 ，则为常数列。（ 3） 当 m n p q 时 ,则 有 am an ap aq ， 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ， 则 有 am an 2ap . 注 ： a1 an a2 an1 a3 an2 ，n电话：400-600-
6、2690 第 2 页 共 3 页 咨 询 QQ:1400700402 2师出教育n m mk m2k m3k（ 4） 若 an 、 bn 为 等 差 数 列 ， 则 an b， 1an 2bn 都为等差数列(5) 若 an 是 等 差 数 列 ， 则 Sn , S2n Sn , S3n S2n ，也成等差数列（ 6） 数列 a 为等差数列,每隔 k(k N * )项取出一项( a , a , a , a , )仍为等差数列（ 7） 设 数 列 an 是等差数列，d 为 公 差 ， S奇 是 奇 数 项 的 和 ， S偶 是 偶 数 项 项 的 和 ， Sn 是 前 n 项 的 和 1.当 项
7、数 为 偶 数 2n 时，S a a a a n a1 a2n1 na奇 1 3 5 2n1 2 nS a a a a n a2 a2n na偶 2 4 6 2n 2 n1S偶 S奇 nan1 nan n an1 an =ndS 奇 S偶nan nan1 an an12、当项数为奇数2n 1时，则S2n1 S奇 S偶 (2n 1) an+1 S奇 (n 1)an+1 S奇 n 1 S S a S na S n 奇 偶 n+1 偶 n+1 偶（其 中 an+1 是 项 数 为 2n+1 的 等 差 数 列 的 中 间 项 ） （ 8） a 、 b 的 前 n 和 分 别 为 A 、 B ， 且
8、An f (n) ，n n n nn则 an (2n 1)an A2n1 f (2n 1) .bn (2n 1)bn B2n1（ 9） 等 差 数 列 an 的 前 n 项 和 Sm n ， 前 m 项 和 Sn m ， 则 前 m+n 项 和 Smn m n(10)求 S n 的最值法 一 ： 因 等 差 数 列 前 n 项 和 是 关 于 n 的 二 次 函 数 ， 故 可 转 化 为 求 二 次 函 数 的 最 值 ， 但 要 注 意 数 列 的 特 殊 性 n N * 。 法二 ： （1） “首 正 ”的 递 减 等 差 数 列 中 ， 前 n 项和的最大值是所有非负项之和an 0即
9、当 a1 0， d 0， 由 an1 0 可得 S n 达到最大值时的n 值（2） “首负”的递增等差数列中，前 n 项和的最小值是所有非正项之和。an 0即 当 a1 0， d 0， 由 an1 0 可得 S n 达到最小值时的n 值或 求 an 中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数，故 n取离二次函数对称轴最p q近的整数时， Sn 取最大值（或最小值） 。若 S p = S q则其对称轴为 n 2B电话：400-600-2690 第 3 页 共 3 页 咨 询 QQ:1400700402 3师出教育注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 a 1 和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量
