1、1.3二次函数的性质,函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾,二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是一条抛物线，,观察下列二次函数图像：,顶点在图像的位置有什么特点？,顶点是抛物线上的最高点（或最低点）,问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？,你还能发现：这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a0）中的那一个系数决定的吗？,a,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的
2、符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,y随着x的增大而减小. , y随着x的增大而增大.,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,小结,例题探究,解：（1）a=0.5,b=7,c=7.5;,所以函数y=0.5x27x7.5的大致图像如图：,自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。,解： 由右图可知， 当x7时， y随x 的增大而增大；,当x7 时，y 随x的增大而减小；,当x7时，函数有最大值32。,(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?,（4）根据图象，说 出 x 取哪些值时， y=0; y
3、0.,当-15x1时,当x=-15或x=1时,当x-15或x 1时,已知函数y=x23x4. 求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；,解： y=x23x4 (x1.5)26.25, 图象顶点坐标为(1.5, 6.25);,又当y=0时， 得x23x40的解为：x11，x24。 则与x轴的交点为(1,0)和(4,0),与y轴的交点为(0, 4),记当x1=3.5,x2= ,x3= 时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小?,如右图可知: y2 y1 y3,课内练习,2、二次函数y=x2bx+9的图象顶点在y轴上，那么b等于多少？,x,想
4、一想,如果二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴的两个交点的坐标为 （ x1，0 ）和（ x2 ，0）,方程ax2+bx+c0 (a0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？,那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c0 (a0)的两个根,方程ax2+bx+c0 (a0)的解就是函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴交点的 坐标。,横,可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴交点的 存在性与,方程ax2+bx+c0 (a0)的,解是否存在有关。,归纳与探究,那么，进一步推想方程ax2+bx+c0 (a0)解的存在
5、性又与什么有关呢？,b2 4ac的正负性有关。,故而： 当b2 4ac 时，抛物线与x轴有 交点；,当b2 4ac 时，抛物线与x轴只有 交点；,当b2 4ac 时，抛物线与x轴 交点。,0 两个,0 一个,0 没有, y=2X-X-1 y=4X2+4X+1 y=3X2+2X+5,1、抛物线与x轴的交点的个数：,2个,1个,0个,b2- 4ac0,b2- 4ac=0,b2- 4ac0,2、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个,D,体验“学数学”,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则 a_0，b_0，c_0,b -
6、4ac_0,2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,D,x,-1,1,0,y,1、抛物线y=ax2+bx (a0)的顶点在第二象限，则a_0，b_0.,2、二次函数y=ax2+bx ，当a0，b0时，它的图象经过_象限。,已知抛物线y=x2-2x +m的函数值恒大于零，求m的取值范围.,大家应该很好的利用二次函数图像给我们的启迪，来解决诸多问题！,已知某抛物线的对称轴是直线x=1，该抛物线上最低点的纵坐标是 -1，且抛物线经过（0，1），求该抛物线的解析式.,拓展与实践,球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；,球在运动中离地面的最大高度。,解: 设函数解析式为: y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：,则：a=0.2,k=3.5,解析式为:y=0.2x2+x+2.25, 自变量x的取值范围为：0x4.,球在运动中离地面的最大高度为3.5米。,篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：,一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。 （1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。 （2）铅球的落地点离运动员有多远？,y(m),
