1、驻马店市 20182019 学年度第一学期期终考试高三数学（文科）试题第卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ，且 ，则实数 的值为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算 ，再求得 ，利用模的计算公式求得 a.【详解】 ， 3,得 ，则 ，a= ，故选： C【点睛】本题主要考查复数模的运算、虚数 i 的周期，属于基础题2.已知集合 满足 ， ，若 ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【详解】由 A
2、 中不等式： ，解得：0x1，即 A(0,1)，又由 B 中 y2 x，02 x1，得到 x0，则 C 故选： B【点睛】本题考查了指数不等式的运算及分式不等式的解法，理解集合的表示法是本题的关键，属于基础题3.设 为数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】A【解析】【分析】直接利用且 ，推出 Sn Sn1 an， n2，得到数列 an是以 2 为首项，以-1 为公比的等比数列【详解】 Sn为数列 an的前 n 项和且 ，所以 an Sn Sn1 an+1 an1 -1= an an1 ， n2， an- an1 ， n2，又 n=1 时， S1
3、 a1 ， a12，数列 an是以 2 为首项，以-1 为公比的等比数列， a52（-1） 51 2故选： A【点睛】本题是基础题，考查数列前 n 项和与通项公式的关系，等比数列的定义的应用，考查计算能力4.在一组样本数据为 ， ， ， （ ， ， ， ， ， 不全相等）的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为（ ）A. B. C. 1 D. -1【答案】D【解析】【分析】根据回归直线方程可得相关系数【详解】根据回归直线方程是 y x+2，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（ xi， yi） （ i1，2， n）都在直线上，则有|
4、 r|1，相关系数 r1故选： D【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键5.已知命题 ：函数 的图像恒过定点 ；命题 ：若函数 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的平移变换及对数函数恒过的定点，得到命题 p 假，则 p 真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题 q 假，则命题 q 真，由此能求出结果【详解】函数 的图象可看作把 y 的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到，而 y 的图象恒过（1，0） ，所以函数 y 恒过（2，1）点，
5、所以命题 p 假，则 p 真；函数 f（ x1）为偶函数，则其对称轴为 x0，而函数 f（ x）的图象是把 y f（ x1）向左平移了 1 个单位，所以 f（ x）的图象关于直线 x1 对称，所以命题 q 假，则命题 q 真综上可知，四个选项只有命题 为真命题故选： B【点睛】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意复合命题的性质的合理运用，属于基础题6.已知 是双曲线 的一个焦点，则点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得 a、 b 的值，计算可得 c 的值，即可得双曲线
6、焦点的坐标，由 a、 b 的值计算可得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案【详解】根据题意，双曲线 C： x2 my24 m（ m0）的标准方程为 1，其中 a ， b2，其焦点在 x 轴上，则有 c ，双曲线的焦点为（ ，0）其渐近线方程为 y x，即 yx0，则双曲线的右焦点到渐近线 y+x0 的距离 d 2；故选： A【点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是将双曲线的方程变形为标准方程7.已知实数 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到
7、最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由 x， y 满足约束条件 作出可行域如图，满足条件的整点落在三角形 0DE 围成的区域（包括边界）上，化目标函数 z2 x+y 为 y2 x+z，由图形可知 A（2，2）当直线 y2 x+z 过 A（2，2）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为：6故选 C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8.已知函数 （ ， ）的图像经过点 ，且关于直线 对称，则下列结论正确的是（ ）A. 在 上是减函数B. 函数的最小正周期为C. 的解集是 ，D. 的一个对称中心是【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数 f（
8、 x）的解析式，由函数的单减区间可判断 A，由函数周期可判断 B；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断 C；由对称中心解方程可判断 D.【详解】函数 f（ x）2sin（ x+ ） （01，| | ）的图象经过点（0，1） ，可得 2sin 1，由| | 即有 ，由关于直线 对称，可得 2sin（ ）2 或-2，01，即有 ，或 ，可得 或 ，又 01，则 f（x）2sin（ x ） ，当 x 时， x ，此时函数单增，故 A 不正确；周期为 ，故 B 错；由 f（ x）1 即 sin（ x ） ，可得 2k x 2k ，即 4k x4 k ， kZ，故 C 不正确；令 x k，可得 x
9、2 k ， kZ，即有对称中心为（2 k ，0） ，故 D 正确；故选： D【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、周期，考查化简运算能力，属于中档题9.在 中， ， ， 、 分别为 的三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得出 ，建立平面直角坐标系，表示出 、 ，求出数量积 的值【详解】 ABC 中，| | |， 2 2 ， 0， ，建立如图所示的平面直角坐标系，由 E， F 为 BC 边的三等分点，则 A（0，0） ， B（0，2） ， C（2，0） ， E（ ， ） ， F（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ，
10、+ 故选： B【点睛】本题考查了平面向量数量积的计算问题，建立平面直角坐标系是解题的关键10.函数 的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用 f（ x）= f（ x） ，得到函数为偶函数，排除 A、 C， 又由定义域得到 x 0，排除 B，可得结论.【详解】 f（ x） =f（ x） ， y f（ x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 A、 C又函数若有意义，则 得到 x 0，排除 B故选： D【点睛】本题主要考查函数定义域及性质的应用，考查识别函数的图象的能力，属于基础题11.已知三棱锥的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为（ ）A. B. C.
11、 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】利用三视图画出几何体的直观图，求得各棱长即可【详解】由题意可知几何体的直观图如图，正方体的棱长为 2，由题意可得： AB AC=BC2 ，BD CD ，AD3，则该几何体最长的棱长：3故选： C【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，画出几何体的直观图，是解题的关键12.已知函数 在 上的最大值为 3，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用导数，判断函数在 x0 时 f（ x）的单调性，求得当 x2，0上的最大值为 3； 欲使得函数 f（ x）在2，2上的最大值为 3，则当 x2 时， e2a的值必须小于等
12、于 3，从而解得 a 的范围【详解】由题意，当 x0 时， f（ x）2 x3+3x2+2，可得 f（ x）6 x2+6x，解得函数 f（ x）在1，0上导数为负，在（，1上导数为正，故函数 f（ x）在2，0上的最大值为 f（1）3；要使函数 f（ x） 在2，2上的最大值为 3，则当 时， 的值必须小于等于 3，又 单调，即当 x2 时， e2a的值必须小于等于 3，即 e2a3，解得 a 故选： C【点睛】本题主要考查函数单调性的应用、分段函数最值的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于中档题第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.向量 ， ，若向量 ，
13、 共线，且 ，则 的值为_【答案】-8【解析】由题意可得： 或 ，则： 或 .14.函数 在点 处的切线方程是_【答案】【解析】【分析】求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程【详解】函数 f（ x）- exlnx 的导数为 f（ x）- ex（ lnx ） ，可得 f（ x）在点（1， f（1） ）处的切线斜率为- e（ ln1+1）- e，切点为（1，0） ，即有 f（ x）在点（1， f（1） ）处的切线方程为 y0- e（ x1） ，即为 故答案为： .【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于
14、基础题15.设 是椭圆 上一点，以 为圆心的圆与 轴相切，切点为椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于不同的两点 ， ，若 为等边三角形，则椭圆 的离心率为_【答案】【解析】【分析】由圆 M 与 x 轴相切与焦点 F，设 M（ c， y） ，则 y 或 y ，所以圆的半径为 ，利用PQM 是等腰直角三角形，即可求出椭圆的离心率【详解】圆 M 与 X 轴相切于焦点 F，则 MF 与 x 轴垂直，不妨设 M（ c， y）在椭圆 x 轴上方，则 y ，圆的半径为 ， PQM 为等边三角形， c， b2 ac， a2 c2 ac， e2 e10，0 e1， e 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，
15、解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题16.已知锐角 的三个内角的余弦值分别等于钝角 的三个内角的正弦值，其中，若 ，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知结合诱导公式，三角形内角和定理可解得 A2 ，由正弦定理可得 b2 sinB2， c2sin（ B2） ，利用三角函数恒等变换的应用化简所求，利用正弦函数的性质可求最大值【详解】锐角 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角 A2B2C2的三个内角的正弦值，不妨设：cos A1sin A2，cos B1sin B2，cos C1sin C2，又 A2 ，为钝角，则 B2， C2为锐角，结合诱导公
16、式可知： A2 A1+90， B290 B1， C290 C1，由三角形内角和定理可得： A2+B2+C2180，解得： A1 A2 ，| B2C2| ，由正弦定理可得： ，可得： b2 sinB2， c2 sin（ B2） ， c2 b2 sinB2 sin（ B2）14 （ cosB2 sinB2）sin B214 （cos B2 sinB2）sin B214 （sin2 B2-1+cos2B2）14 sin（2 B2+ ）-，故答案为： 【点睛】本题主要考查了诱导公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了逻辑思维及转化思想，属于中档题三、解
17、答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为正项等比数列，且 ， ， .（1）求数列 和 的通项公式；（2）若 ，设 的前 项和为 ，求 .【答案】 （1） ， .（2） 【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由 a13， an2 n+1 得 Sn n（ n+2） 则 n 为奇数，c n “分组求和” ，利用“裂项求和” 、等比数列的前 n 项和公式即可得出【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， ， ， ， ， 或 ，且 是正项等比数列， ， ， ， .（2）由（1）知 = = .【点睛】
18、本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “分组求和” 、 “裂项求和” ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， .（1）求证：平面 平面 ；（2）若三棱锥 的体积为 ，求 的长.【答案】 （1）见证明；(2) 【解析】【分析】（1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，由题意可证 平面 ，则有，又由等腰三角形得 ，则 平面 ，得到 ，再由勾股数得，可得 平面 ，从而得到结论.（2）转换底面，即可写出三棱锥 的体积公式，解得 a，即可求 的长【详解】 （1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， .由已知得，四边形 是梯形，
19、 ， . ， ，又 ， ，且 ， 平面 ， ，由已知得 ， ，又 与 相交， 平面 ， ，又 ， ， 平面 且 平面 ，平面 平面（2）设 ，则 ，解得 ，又 ，且 =1+ =10, 2+10=12,从而 .【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查了空间点线面的关系，考查三棱锥的体积，属于中档题19.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克） ，重量值落在 内的产品为合格品，否则为不合格品.注：表 1 是甲流水线样本的频数分布表，图 1 是乙流水线样本的频率分布直方图.产品重量（克） 频数681484（1）
20、根据上面表 1 中的数据在图 2 中作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线上分别任取 1 件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；（3）由以上统计数据完成下面 列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.甲流水线 乙流水线 合计合格不合格合计参考公式： ，其中0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）见解析；（2）从甲流水线上任取 1 件产品，该产品恰好是合格品的概率为 ；从乙流水线上任取
21、 1 件产品，该产品恰好是合格品的概率为 0.9.（3）见解析【解析】【分析】（1）根据所给的每一组的频数和样本容量求出每一组的频率，作出频率分布直方图（2）根据所给的样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从两条流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据求出观测值，同临界值进行比较，得到有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关【详解】 （1）甲流水线样本的频率分布直方图如下：（2）由表 1 知甲流水线样本中合格品数为 ，故甲流水线样本中合格品的频率为 ，由图 1 知乙流水线样本中合格品的频
22、率为 ，据此可估计从甲流水线上任取 1 件产品，该产品恰好是合格品的概率为 ；从乙流水线上任取 1 件产品，该产品恰好是合格品的概率为 0.9.（3）由（2）知甲流水线样本中合格品数为 30，乙流水线样本中合格品数为 .列联表如下：甲流水线 乙流水线 合计合格 30 36 66不合格 10 4 14合计 40 40 80 ，有 的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.【点睛】本题考查频率分步直方图，考查列联表，观测值的求法，考查了互斥事件概率的求法，属于中档题.20.已知抛物线 的顶点在坐标原点，其焦点 在 轴正半轴上， 为直线 上一点，圆 与轴相切（ 为圆心） ，且 ， 关于
23、点 对称.（1）求圆 和抛物线 的标准方程；（2）过 的直线 交圆 于 ， 两点，交抛物线 于 ， 两点，求证： .【答案】 （1） 的标准方程为 . 的标准方程为 （2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意可得 ，解得 a、p,即可求出圆与抛物线的标准方程，（2）设 l 的斜率为 k，那么其方程为 y k（ x+2） ，根据韦达定理和弦长公式即可证明【详解】 （1）设抛物线 的标准方程为 ，则焦点 的坐标为 .已知 在直线 上，故可设因为 ， 关于 对称，所以 ，解得所以 的标准方程为 .因为 与 轴相切，故半径 ，所以 的标准方程为 .（2）由（1）知，直线 的斜率存在，设为 ，且方程为则
24、 到直线 的距离为 ，所以 ，由 消去 并整理得： .设 ， ，则 ， ， .所以 因为 ， ， ，所以所以 ，即 .【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于中档题21.已知函数（1）求函数 的单调区间和 的极值；（2）对于任意的 ， ，都有 ，求实数 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（1）对 f（x）求导，再求导，得到二次导数恒大于 0，又 ，得到 及 的x 的范围，即可得到函数的单调区间及极值.（2）由题意，只需 ，结合（1）可得最小值为 ，比较 与 得到最大值，可求得结论.【详解】 （1）
25、， ，其中 是 的导函数.显然， ，因此 单调递增，而 ，所以 在 上为负数，在 上为正数，因此 在 上单调递减，在 上单调递增,当 时， 取得极小值为 f(0)=1，无极大值. 的极小值为 1,无极大值.单增区间为 ，单减区间为 .（2）依题意，只需由（1）知， 在 上递减，在 上递增， 在 上的最小值为 ；最大值为 和 中的较大者而 ，因此 ， 在 上的最大值为所以， ，解得 或 .实数 的取值范围是： .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值的应用，考查了不等式的解法，考查运算求解能力，属于较难题22.在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系
26、，两种坐标系中取相同长度单位，直线 参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程为：.（1）若射线 与曲线 交于点 ，求 .（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点， 点坐标为 ，且点 在 上方，点 在 下方，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）将 代入曲线 C 的极坐标方程中，即可求得结果（2）将直线 l 的参数方程代入 ，得 ，利用根与系数的关系、参数的意义得出结果【详解】 （1）将 代入 得 .（2）曲线 的极坐标方程 化为直角坐标方程为将 （ 为参数）化为 （ 为参数）代入 ，得设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，则 ， .【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了
27、用极坐标解决长度问题，考查了一元二次根与系数的关系、参数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.已知函数 .（1） 时，求不等式 解集；（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）当 a-1 时，对 x 分类去绝对值，求出每种情况下的解集，再取并集，即得所求（2）由题意得当 x 时， f（ x）2 x 恒成立，化简可得| x+a|1，即1 x a1 x，由此求得 a 的取值范围【详解】 （1）当 时，不等式 可化为 ，当 时，不等式为 ，解得 ；当 时，不等式为 ，无解；当 时，不等式为 ，解得 ；综上，原不等式的解集为：（2）因为 的解集包含 ，则不等式可化为 ，即 .解得 ，由题意知 ，解得所以实数 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题
