1、 湖滨中学 2018-2019 第一学期 12 月月考高二数学(理科)试卷一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 4 分，每小题只有一个答案符合题意）1.设 ，且 ，则下列判断一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于 A :函数 在 R 上单调递增，当 时，有 ，故 A 对；对于 B：当 时，有 但 ，故 B 错；对于 C：当 时，有 但 ，故 C 错；对于 D：当 时， 但 ，故 D 错；故选 A.2.等差数列 的前 项和为 ，且 ，则公差 等于（ ）A. 1 B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】首先根据等差数列的求和公式，得到 ，将 代入，求得 ，
2、得到结果.【详解】由题意得 ，因为 ，解得 ，故选 C.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式的应用的问题，涉及到的知识点是等差数列的求和公式，正确应用公式是解题的关键.3. 在ABC 中，B=45，C=60，c=1，则最短边的边长等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ， ， ，由正弦定理 得， ，故选 A考点：本题考查了正弦定理的运用点评：熟练掌握正弦定理及其变形是解决此类问题的关键，属基础题4.设 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的形状为A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形【答案】B【解析】分析：先根据正弦定理化角，再根据
3、角的关系确定三角形形状.详解：因为 ，所以所以 , ,因此 的形状为直角三角形，选 B.点睛：判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论5.已知双曲线 C: ( )的一条渐近线方程为 ,且半焦距 ，则双曲线C 的方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题可以先通过双曲线 C 的一条渐近线方程为 得知 之间的关系，再通过半焦距以及 解得 的值，最后得出结果。【详解】由渐近线方程可知所以有 ，再由双曲线的性质可知 ，所以由上述式子联立可以解得 故双曲
4、线 C:故选 D。【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为 ， 之间有着的关系。6.若一个椭圆长轴的长轴、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为 2c，2b，2a，通过椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项，建立关于 a，b，c 的等式，求出椭圆的离心率即可【详解】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为 2c，2b，2a，椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，4b 2=2a2c，b 2=acb 2=a2c 2=ac，两边同除以 a2得：e 2+e1=0，解得，e= （舍负） ，e
5、= 故选：B【点睛】本题考查椭圆的基本性质，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于基础题7.若椭圆 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设 为中点的椭圆的弦与椭圆交于 ， 为 EF 中点，所以，利用点差法能够求出以 为中点椭圆的弦所在直线的方程.【详解】设 为中点的椭圆的弦与椭圆交于 ，因为 为 EF 中点，所以 ，把 分别代入椭圆 ，得 ，两式相减得： ，所以 ，所以 ，所以以 为中点椭圆的弦所在的直线方程为： ，整理得 ，故选 D.【点睛】该题考查的是有关椭圆的中点弦所在直线的方程的问题，涉及到的解题方法是点差法，在解题的过程
6、中，注意求解的关键是解直线对应的斜率，注意对中点坐标的灵活应用.8.已知 ， 分别在 轴和 轴上运动， 为原点， ,点 的轨迹方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设动点 坐标为 由 得： 即 故选 A【点睛】本题考查轨迹方程的求法，其中合理准确运用利用相关点法是解题的关键9.函数 的图像恒过定点 ，若定点 在直线 上，则的最小值为（ ）A. 13 B. 14 C. 16 D. 12【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点 ，将点 的坐标代入 ，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解： 时，函数 值恒为 ，函数 的图象恒过定点 ，又点 在直线 上， ，又，
7、 （当且仅当 时取“=” ） ，所以， 的最小值为 ，故选 D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或 时等号能否同时成立）.10.椭圆 的左焦点为 ,直线 与椭圆相交于点 、 ,当 的周长最大时,m 等于（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. -2【答案】B【解析】【分析】根据题意，作出椭圆的图形，结合椭圆
8、的定义分析可得： 的周长为，由三角形三边关系分析可得直线过椭圆的右焦点时 的周长最大，即可得答案.【详解】设椭圆的右焦点为 E如图：由椭圆的定义得：FAB 的周长：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；AE+BEAB；AB-AE-BE0，当 AB 过点 E 时取等号；AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE4a；即直线 x=m 过椭圆的右焦点 E 时FAB 的周长最大；此时FAB 的高为：EF=2此时直线 x=m=c=1【点睛】该题考查的是有关三角形的周长的最值问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离的相互表示，以及三角形三边关系.
9、11.如图所示，直线 为双曲线 ： 的一条渐近线， 是双曲线 的左、右焦点， 关于直线 的对称点为 ，且 是以 为圆心，以半焦距 为半径的圆上的一点，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设焦点 关于渐近线 的对称点为 ，则 ，又点在圆 上， ，故选 C.12.已知 为数列 的前 项和， ， ，若关于正整数 的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由 2Sn=（n+1）a n，n2 时，2S n1 =nan1 ，则 2an=2（S nS n1 ） ，整理得： ，则 ，可得：a n=n不等式
10、an2ta n2t 2，化为：（n2t） （n+t）0，t0，0n2t，关于正整数 n 的不等式 an2ta n2t 2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数 t 的取值范围详解：a 1=1，2S n=（n+1）a n，n2 时，2S n1 =nan1 ，2a n=2（S nS n1 ）=（n+1）a nna n1 ，整理得： ，a n=n不等式 an2ta n2t 2，化为：（n2t） （n+t）0，t0，0n2t，关于正整数 n 的不等式 an2ta n2t 2的解集中的整数解有两个，可知 n=1，21t ，故答案为：A.点睛：本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计
11、算能力，属于中档题对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.二、填空题（本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.给出命题“若 xy=0，则 x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_.【答案】2【解析】【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假【详解】命题“若 xy=0，则 x=0”为假命题，其逆命题为：“若 x=0，则 xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否
12、命题为真命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为 2即答案为 2.【点睛】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题14.已知数列 为等差数列，若 a2+a6+a10= ，则 tan（a 3+a9）的值为_.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质得 ，从而 ，由此能求出 的值.【详解】 数列 为等差数列， ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及特殊角三角函数，属于中档题. 解有关等差数列的问题时，要注意应用等差数列的性质 （ ）.15.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 此时气球的高是60m，则河流的宽度 等于_.【
13、答案】 m【解析】分析：由题意画出图形，由两角差的正切求出 15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到 DC 和 DB 的长度，作差后可得答案详解：如图，由图可知，DAB=15，tan15=tan（4530）= =2 在 RtADB 中，又 AD=60，DB=ADtan15=60（2 ）=12060 在 RtADC 中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60 BC=DCDB=60 （12060 ）=120（ 1） （m） 河流的宽度 BC 等于 120（ 1）m故答案为：120（ 1） 点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确俯角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据
14、题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用16.观察如下规律： ，该组数据的前 2025 项和为_【答案】45【解析】项数 N=1+3+5+2n-1= =2025,n=45,相同数凑成一组和为 1，共 45 个 1，所以，填 45.三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分）17.设 ：实数 满足 ，其中 ； ：实数 满足 .（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据题意先求出命题 p 和 q 的不等
15、式解集，然后根据 为真，则命题都为真，求交集即可；（2）若 是 的充分不必要条件则解析：(1)由 x24ax3a 20，所以 a当 a1 时，1由 q 为真时，实数 x 的范围是 x 3， 若 pq 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是(1,3)(2) ：xa 或 x3a， ：x3，由 是 的充分不必要条件，有 得 0 ，即 a 的取值范围为(0,118.已知数列 的前 项和为 .（1）求数列 的通项公式 ；（2）令 ，求数列 的前 项和 ；（3）令 ，是否存在 m,k，使得 为等差数列？【答案】 （1） ；（2） ；（3）存在 .【解析】【分析】（1）首先根据 ，利用数列的
16、项与和的关系，求得 ；（2）根据错位相减法即可求出前 n 项和；（3）先根据题中所给的条件，求得 ，假设存在，利用等差数列的条件，求得结果.【详解】 （1）, 当 时 满足上式, 故 .（2）, , 由得：, . （3）假设存在 使得 为等差数列，则 ， 由 且 则 为奇整数， ， 又由 则 代入*式得 , 故存在 使得 为等差数列 .【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据前 n 项和求数列的通项，错位相减法求和，根据三项成等差数列求有关参数的值，注意是否存在类问题的解法.19.如图，在ABC 中，AB=3 ，D 是 BC 边上一点，且ADB= .（1）求 AD 的长；（2）
17、若 CD=10，求 AC 的长及ACD 的面积.【答案】(1) AD=6 (2) S=15【解析】【分析】（1）在 中由正弦定理可求得 AD 的长；（2）在 中，由余弦定理可得 ，利用 可得所求面积【详解】 （1）在 中，由正弦定理得 ，即 ，（2） ，在 中 ，由余弦定理得 .综上 ， 的面积为 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形
18、内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件） 产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件） 200 300 计划最大资金额 3000 元产品重量（千克/件） 10 5 最大搭载重量 110 千克预计收益（万元/件） 160 120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【答案】搭载产品甲 9 件，产品乙 4 件，可使得总预计收益最大，为 1920 万元
19、.【解析】分析：由题意，设搭载甲产品 x 件，乙产品 y 件，总预计收益为 万元，化为简单线性规划应用详解：设搭载产品甲 件，产品乙 件，预计总收益 .则 ， （或写成 ）作出可行域，如图.作出直线 ： 并平移，由图象得，当直线经过 点时 能取得最大值，解得 . （万元）.答：搭载产品甲 9 件，产品乙 4 件，可使得总预计收益最大，为 1920 万元.点睛：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划，属于中档题21.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ，实轴长 2 （1）求双曲线的方程（2）若直线 与双曲线恒有两个不同的交点 A， B，且 为锐角（其中 O 为原点），求 k 的
20、取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析; （1）依题意先设双曲线的方程为 ，依据题中条件得到 、 的值，进而由 得到 的值，进而写出双曲线的方程即可；（2）设 ，联立直线 与双曲线的方程，消去 得到二次方程，要使 为锐角，只须 即可， 将进行坐标化并将根据韦达定理得到表达式，可求范围。解析：（1）依题意可设双曲线的方程为则有 且 ，所以 ，所以该双曲线的方程为（2）设， 即综上： .点睛： 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定
21、理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用22.已知 , ,点 满足 ，记点 的轨迹为 .（1）求轨迹 的方程；（2）若直线 过点 且与轨迹 交于 、 两点.（i）无论直线 绕点 怎样转动，在 轴上总存在定点 ，使 恒成立，求实数的值.（ii）在（i）的条件下，求 面积的最小值.【答案】 （1） （2） （i） （ii）9【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y=k（x-2） ，P ，Q ，与双曲线方程联立消 y 得 ，利用根与系数的关系、判别式解
22、出即可得出 （i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出【详解】 （1）由 知，点 P 的轨迹 E 是以 F1、F 2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹 E 的方程为 （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ，与双曲线方程联立消 y 得 ，解得 k2 3 （i），故得 对任意的 恒成立，当 m =1 时，MPMQ.当直线 l 的斜率不存在时，由 知结论也成立，综上，当 m =1 时，MPMQ. （ii）由（i）知， ，当直线 l 的斜率存在时， M 点到直线 PQ 的距离为 ，则 令 ，则 ，因为所以 当直线 l 的斜率不存在时， 综上可知 ，故 的最小值为 9.【点睛】求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如 ，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细; 在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.
