1、2018-2019 学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 10 小题，共 50.0 分）1.已知全集 ，集合 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】直接利用并集、补集的运算即可【详解】解：AB0，1，3； 2，4故答案为：2，4【点睛】本题考查列举法的定义，以及并集、补集的运算2.函数 f（ x）= 的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质得到关于 x 的不等式，解出即可【详解】解：由题意得：2 x40，解得： x2，故函数的定义域是2，+） ，故答案为：2，+） 【点睛】本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题3.已知角 的终边经过点 ，
2、则 的值为 _【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得 sin、tan 的值，可得 的值【详解】解：角 的终边经过点 P（5，12） ，sin ，tan，则 ，故答案为： 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4.已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为_【答案】【解析】【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案【详解】解：量 （4，3） ， （ x，6） ，且 ，则 46（3） x0解得： x8故答案为：8【点睛】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若 （ a1， a2） ， （ b1，
3、b2） ，则 a1a2+b1b20， a1b2 a2b10，是基础题5.已知 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质和对数式和指数式的互化即可求出【详解】解： xlog 612log 63log 64，6 x4，故答案为：4【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数式和指数式的互化，属于基础题6.如图，在直角三角形 中， ， ， ，垂足为 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】把 代入化简通过向量的数量积的定义求解即可【详解】解：在直角三角形 ABD 中， BD ABcos601 （ ） 4+21cos1203故答案为：3【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算
4、，考查计算能力7.将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数 的图象，则 的值为_【答案】【解析】【分析】根据函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，求得 g（ x）的解析式，可得 g （0）的值【详解】解：将函数 f（ x）2sin2 x 的图象向左平移 个单位后，得到函数 g（ x）2sin（2 x ）的图象，则 g （0）2sin ，故答案为： 【点睛】本题主要考查函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，属于基础题8.已知 a0 且 a1，若函数 f（ x）= 的值域为1，+） ，则 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解
5、a 的范围即可【详解】解： a0 且 a1，若函数 f（ x） 的值域为1，+） ，当 x2 时， y3 x1，所以 ，可得 1 a2故答案为：（1，2【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力9.已知向量 与 满足 ， 又 ， ，且 在 时取到最小值，则向量 与 的夹角的值为_【答案】【解析】【分析】由向量的模的运算得：| |2（1 t） t 2（5+4cos） t22（1+2cos）t+1，由二次函数的最值用配方法可得解【详解】解：设向量 与 的夹角的值为 ，由 t ， （1 t） ，（1 t） t ，| |2（1 t） t 2，（1 t） 2+4t24
6、 t（1 t）cos（5+4cos） t22（1+2cos） t+1，又 5+4cos0，所以当 t 取得最小值.解得：cos ，又 0，所以 ，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题，属中档题10.已知函数 ， 若使不等式 成立的整数 恰有 个，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出 y g（ x）的图象，讨论 k0， k0， k0，结合抛物线开口方向和整数解的情况，即可得到所求范围【详解】解： g（ x）sin 的周期为 4，作出 y g（ x）的图象，当 k0 时， f（ x） x，不等式 f（ x） g（ x）成立的整数 x 有无数个；当 k0 时
7、， f（ x）的图象为抛物线，且开口向下，恒过原点，不等式 f（ x） g（ x）成立的整数 x 有无数个；当 k0，可得不等式 f（ x） g（ x）成立的整数 x1，当 f（ x）的图象经过（1，1） ，可得 k11，即 k2；f（ x）的图象经过（2，0） ，即 4k20，解得 k 由题意可得 k2故答案为： ，2） 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查正弦函数的周期性和分类讨论思想方法，属于中档题二、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）11.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数、指数函数
8、的单调性直接求解【详解】解： alog 1.40.7log 1.410，b1.4 0.71.4 01，0 c0.7 1.40.7 01， a， b， c 的大小关系是 a c b故选： B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12.函数 f（ x）= xsinx， x-，的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的位置判断即可【详解】解： f（ x）（ x）sin（ x） xsinx f（ x） ，所以 f（ x）为偶函数，即图象关于 y 轴对称，则排除 B， C
9、，当 x 时， f（ ） sin 0，故排除 D，故选： A【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用，考查计算能力13.在平行四边形 中， ， 若 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 11，结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求 ，然后代入， （ ） 即可求解【详解】解：平行四边形 ABCD 中， AB4， AD3，又 11， 911， 2，则 （ ） 16+218故选： C【点睛】本题主要考查了向量加法的 平行四边形法则及向量数量积的基本运算，属于基础试题14.已知函数 ( ) 的图象与函数 的图象交于 ， 两
10、点，则（ 为坐标原点）的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象，求得 A、 B 的坐标，用分割法求 OAB 的面积【详解】解：函数 y2cos x（ x0，）和函数 y3tan x 的图象相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，由 2cosx3tan x，可得 2cos2x3sin x，即 2sin 2x+3sinx20，求得 sinx ，或 sinx2（舍去） ，结合 x0， x ，或 x ； A（ ， ） 、 B（ ， ） ，画出图象如图所示；根据函数图象的对称性可得 AB 的中点 C（ ，0） ， OAB 的面积等于 OAC 的面积加上
11、OCB 的面积，等于 OC|yA| OC|yC| OC|yA yC| 2 ，故选： D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 90.0 分）15.已知向量 ， ，向量 满足 （1）求向量 的坐标；（2）求向量 与 的夹角 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）设 （ x， y） ，由 5，得 ，得 （3，1） ；（2）由 （2，1） ， （3，1） ，可得| |，| |， ，进一步得 cos ，又 0，可得 【详解】解：（1）设 =（ x， y） ，因为 =（2，1） ， =（1，-2） ， = =5，所以 解得 所以 =
12、（3，-1） ；（2）因为 =（2，1） ， =（3，-1） ，所以| |= ，| |= ，又 =23+1（-1）=5，所以 cos= = = ，又 0，所以 = 【点睛】本题考查向量的数量积的应用及坐标运算，考查计算能力16.已知 是第二象限角，且 （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解【详解】解：（1）因为 是第二象限角，且 sin= ，所以 cos=- =- ， 所以 tan= =-2 （2）= 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系
13、式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题17.已知函数 f（ x）= Asin（ x+） （ A0，0，| ）的图象如图所示（1）求函数 f（ x）的解析式；（2）求函数 f（ x）的单调增区间；（3）若 x- ，0，求函数 f（ x）的值域【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】【分析】（1）由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式；（2）令 2k 2x 2k ， k z，求得 x 的范围，可得函数的增区间；（3）由 x ，0，利用正弦函数的定义域和值域求得 f（ x）的值域【详解】解：（1）由函数的图象可得 A
14、=2， T= = - ，求得 =2再根据五点法作图可得 2 += ，= ，故 f（ x）=2sin（2 x+ ） （2）令 2k- 2 x+ 2 k+ ， k z，求得 k- x k+ ，故函数的增区间为 k- ， k+ ， k z（3）若 x- ，0，则 2x+ - ， ，sin（2 x+ ）-1， ，故 f（ x）-2，1【点睛】本题主要考查由函数 y Asin（ x+）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值域，属于基础题18.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共 吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利 万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利 万元，但需另外支付一定的加工费
15、，总的加工 （万元）与精加工的蔬菜量 （吨）有如下关系： 设该农业合作社将 （吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为 （万元） （1）写出 关于 的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润【答案】 （1） ；（2）精加工 吨时，总利润最大为 万元.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值【详解】解：（1）由题意知，当 0 x8 时，y=0.6x+0.2（14- x）- x2=- x2+ x+ ， 当 8 x14 时，y=0.6x+0.2（14- x）- = x+2， 即 y=
16、（2）当 0 x8 时， y=- x2+ x+ =- （ x-4） 2+ ，所以 当 x=4 时， ymax= 当 8 x14 时， y= x+2，所以当 x=14 时， ymax= 因为 ，所以当 x=4 时， ymax= 答：当精加工蔬菜 4 吨时，总利润最大，最大利润为 万元【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力19.如图，在 中， ， ， ， 是边 上一点，且 （1）设 ，求实数 ， 的值；（2）若点 满足 与 共线， ，求 的值【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1）把 两边用 表示即可得解；（2）利用共线向量建立 ， 之间
17、的数乘关系，进而结合（1）把 用 表示，利用垂直向量点积为零可得解【详解】解：（1） ， ， ， x= ， y= ；（2） 共线，可设 ， R， ，=-= ，= ， = ， ， ， ， ，把代入并整理得： ， ， ， ，解得： ， = 或 故 的值为 或 【点睛】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，数量积等，难度适中20.给定区间 ，集合 是满足下列性质的函数 的集合：任意 ， （1）已知 ， ，求证： ；（2）已知 ， 若 ，求实数 的取值范围；（3）已知 ， ( )，讨论函数 与集合 的关系【答案】 （1）详见解析；（2） ；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）通过 f （ x+1）
18、2 f （ x）3 x+123 x3 x0，验证即可（2）通过 g （ x） M，得到 alog 2（ x+1）2log 2xlog 2（ ）恒成立，通过最值求解即可（3） h （ x） x2+ax+a5， x（0，1若 h （ x） M，则当 x1，1， h（ x+1）2 h （ x）恒成立，即 x2（ a+2） x+40 恒成立记 H（ x） x2（ a+2）x+4， x1，1通过 a4 时，4 a0 时， a0 时，求出函数的最值求解即可【详解】解：（1）证明：因为 f （ x）=3 x，所以 f （ x+1）-2 f （ x）=3 x+1-23x=3x0，即 f （ x+1）2 f （
19、 x） ，所以 f （ x） M （2）因为 g （ x）= a+log2x， x（0，1，且 g （ x） M，所以 当 x（0，1时， g （ x+1）2 g （ x）恒成立，即 a+log2（ x+1）2 a+2log2x 恒成立，所以 alog 2（ x+1）-2log 2x=log2（ + ）恒成立 因为函数 y=log2（ + ） 在区间（0，1上单调递减，所以当 x=1 时， ymin=1所以 a1 （3） h （ x）=- x2+ax+a-5， x（0，1若 h （ x） M，则当 x-1，1， h（ x+1）2 h （ x）恒成立，即-（ x+1） 2+a（ x+1）+ a-
20、5-2 x2+2ax+2a-10 恒成立即 x2-（ a+2） x+40 恒成立 记 H（ x）= x2-（ a+2） x+4， x-1，1当 -1，即 a-4 时， H（ x） min=H （-1）= a+70，即 a-7又因为 a-4，所以-7 a-4； 当-1 1，即-4 a0 时，H （ x） min=H （ ）= 0，恒成立，所以-4 a0； 当 1，即 a0 时， H （ x） min=H （1）=3- a0，即 a3又 a0，所以 0 a3综上所得-7 a3 所以 当-7 a3 时， h （ x） M；当 a-7 或 a3 时， h（ x） M【点睛】本题考查函数的最值的求法，考查转化思想、分类讨论思想以及计算能力
