1、第7章 MATLAB数值积分与数值微分,MATLAB数值积分MATLAB数值微分,7.1 数值积分 7.1.1 数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单方法：梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。求定积分问题就分解为求和问题。,7.1.2 数值积分的实现方法 1变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和quadl函数来求定积分。函数的调用格式为： I,n=quad(fname,a,b,tol,trac
2、e) I,n=quadl(fname,a,b,tol,trace) 其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,例7-1 求定积分。(1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2) 调用数值积分函数quad求定积分。 S,n=quad(fesin,0,3*pi) S =0.9008 n =77,
3、也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用语句函数（内联函数）求解，命令如下： g=inline(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); %定义一个语句函数 S,n=quad(g,0,3*pi) %注意函数名不加号 S =0.9008 n =77,例7-2 分别用quad函数和quadl函数求的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： format long fx=inline(exp(-x); I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10) I =0.285794442547663 n =65,调用函数quadl求定积分： format lo
4、ng fx=inline(exp(-x); I,n=quadl(fx,1,2.5,1e-10) I =0.285794442548811 n =18 format short,2高斯-克朗罗德法 MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求振荡函数的定积分。该函数的调用格式为 I,err=quadgk(fname,a,b) 其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是Inf或Inf，也可以是复数。如果积分上下限是复数，则quadgk在复平面上求积分。,例7-3 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx
5、(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x); (2) 调用函数quadgk求定积分。 I=quadgk(fx,0,pi) I =2.4674,3梯形积分法 在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时，人们就无法使用quad等函数计算其定积分。在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用梯形积分函数trapz。该函数调用格式如下： I=trapz(X,Y) 其中，向量X，Y定义函数关系Y = f(X)。,例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成
6、函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans =0.2858,7.1.3 多重定积分的数值求解 MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函数的调用格式为 dblquad(fun,a,b,c,d,tol) triplequad(fun,a,b,c,d,e,f,tol) 其中，fun为被积函数，a，b为x的积分区域，c，d为y的积分区域，e，f 为z的积分区域，参数tol的用法与函数quad完全相同。,例7-5 计算二重定积分 （1）建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) f=exp(-x.2/2)
7、.*sin(x.2+y);（2）调用dblquad函数求解。 I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1) I = 1.5745,如果使用inline函数，则命令如下： f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I = 1.5745,例7-6 计算三重定积分 命令如下： fxyz=inline(4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x),x,y,z); triplequad(fxyz,0,pi,0,pi,0,1,1e-7) ans= 1.7328,7.2 数值微分 7.2.1 数值差分与差商 7.2
8、.2 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。,例7-8 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。 程序如下： f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2); g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x) dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值 dx=diff(f(x,3.01)/0.01; %直接对f(x)求数值导数 gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数 plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-); %作图,
