1、1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度,2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程、轨道方程,运动学的两类问题,例1 水分子 H2O 的结构如图. 每个氢原子和氧原子之间距离均为 d = 1.010 -10 m, 氢原子 和氧原子 两条连线间的夹角为 = 104.6. 求水分子的质心,解: 由于氢原子对 x 轴对称，故 yC = 0 .,代入数据 xC = 6.810-12 m,例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心.,解 在半球壳上取一圆环, 其质量,由于球壳关于 y 轴对称，故 xC = zC = 0,例2、质量为m 的两个质点A、B，由一个不
2、可伸长的轻绳相连接，静止放在光滑的水平桌面上，线长为a, 质点B突然受到一个与AB连线正交的水平冲击力. 已知此冲击力的冲量为K, 求此后两质点的运动情况.,解: 取坐标如图，设质点B受冲力为F，作用时间t很短，则,从质心运动定理，有,当t 0时vc 0，对上式积分，则,由此得,由于桌面光滑，冲击后质心沿x方向作匀速运动. 因B受冲击时A几乎还没动，可以认为开始瞬间B绕A作圆周运动，因此,vB为B相对质心C的速度. 从质心坐标系中的动量矩定理，有,从相对运动关系,故,从右图可得出,显然,冲击后，A、B两质点绕质心以角速度 0 作匀速圆周运动. 所以,则任意时刻质心位置为,由右图并考虑上式，任意
3、时刻B点坐标为,同理，任意时刻A点坐标为,可见A、B两点皆作圆滚线运动,例1、计算第一，第二宇宙速度,(i) 第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v,机械能守恒：,由万有引力定律和牛顿定律：,解方程组，得：,代入上式，得：,(ii) 第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度,（1）脱离地球引力时，动能必须大于或等于零.,由机械能守恒定律：,解得：,（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零.,例2、两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧
4、连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1=m，m2=3m） 求：（1）释放后A，B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小。 （2）弹簧的最大伸长量。,解：,设：弹簧恢复到原长时滑块B的速度为VB0,机械能守恒：,A块离墙后：,v1=v2=v时：,当弹簧处于最大伸长量时，必有v1=v2=v=3VB0 4,机械能守恒：,化简：,质量为 m,长为 l 的细棒绕通过其端点合质心的垂直轴的转动惯量,质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘, 通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量,例2、质量 M = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑轮,一根细绳绕在其上，
5、绳端挂一质量为 m 的物体.求（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离. （2）绳子的张力.,解：,例3、一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点，距A端 l/3 . 杆从静止开始由水平位置绕O点转动. 求：（1）水平位置的角速度和角加速度. （2）垂直位置时的角速度和角加速度.,解：,（1）水平,（2）垂直,机械能守恒,势能零点O,（3）任意位置,势能零点O,4 平面运动刚体的动能,例1 如图, 将一根质量为m的长杆用细绳从两端水平地挂起来, 其中一根绳子突然断了,另一根绳内的张力是多少?,T,解: 设杆子长2l, 质心运动定理和过质心轴的角动量定理给出绳断的一刹那的运动方程
6、:,因在此时悬绳未断的一端加速度为零, 从而有,例2 如图, 一半径为R的乒乓球与水平面摩擦系数为. 开始时, 用手按球的上左侧, 使球质心以vC0向右运动, 并具有逆时针方向的初始角速度0, 设vC02/3R 0, 试分析乒乓球以后的运动.,解: 开始时乒乓球与水平面的接触点P具有速度vP0=vC0+R00, 乒乓球一边滑动, 一边倒着转动. 它在水平面方向受滑动摩擦力-mg的作用, 按照质心运动定理, 有,利用(a)和(b)来分析乒乓球的运动,对质心的摩擦擦力矩-mgR, 对质心的转动方程为,(1) 当t=t1=vC0/(g), vC=0, =0 3vC0/(2R), 据条件vC0 0,
7、质心停止运动, 绕质心的旋转方向没有变.,当t t1, vC 0, 质心开始倒退, 但接触点P的速度vP=vC+ R 0, 滑动摩擦力方向向左, 驱使质心加速倒退, 力矩继续减缓转动, 直到接触点P的速度为零.,(2) vP为零的时刻t2满足,自时刻t2以后, 乒乓球向后作无滑动滚动, 如不考虑滚动摩擦, 质心速度和角速度恒定,例3 如图, 一半径为R的圆木以角速度0在水平面上作纯滚动, 在前进的路上撞在以高度为h的台阶上. 设碰撞是完全非弹性的, 即碰撞后圆木不弹回.要圆木能够翻上台阶而又始终不跳离台阶,对台阶又什么要求?,解: 碰撞前圆木质心速度v0=R0, 圆木对接触点的角动量为IC0+
8、mv0(R-h), 碰撞后为IA , 由角动量守恒得,v0,0,h,N,R,将圆柱体的转动惯量公式IC=1/2mR2带入,得,(1) 圆木能够爬上台阶的条件是它碰撞后的动能足够大:,由(a), (b)得,圆木不跳离台阶的条件是台阶的支撑力N始终大于零. N在碰撞的最初时刻最小, 我们就来计算它.沿质心和接触点方向的向心加速度是重力分量和支撑力造成的,所以,由图知 sin=1-h/R, 从而有,要两个不等式同时成立, 则必须,否则, 初始速度小了爬不上去,初始速度够大了,爬上去就跳了起来.,综合(c), (d), 得,例5 升降电梯相对于地面以加速度a 沿铅直向上运动。电梯中有一轻滑轮绕一轻绳，绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物（ m1 m2 ）。求：（1）物体相对于电梯的加速度；（2）绳子的张力。,解：,消去,例1、单摆是由一质量为m的质点用长为L的弦或者轻杆悬挂在点O构成的. 假定弦不能伸长,且质量可以忽略.研究单摆的运动规律.,解: 分析受力, 得到运动方程为,径向:,横向:,(1),(2),改写方程(2),对于小角度, sin, 方程简化为,通解为,考虑初始条件,(3),得到解,对于一般情况, 方程(3)可积分一次得到,完整的解需要特殊函数,我们作图可以看出:角度越大, 频率越低,不是固定频率的形式.,
