1、拓扑空间学习课件 拓扑是英文 Topology 的音译， Topology 一词有时指拓扑，有时指研究有关拓扑的整个学科。拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支学科，起初它是几何学的一个分支，研究几何图形在连续变形（拓扑变换） 下保持不变的性质， 后来发展为研究连续性现象的数学分支。拓扑学发展到近代形成了互相联系的几个分支，即一般拓扑学、代数拓扑学、 微分拓扑学与几何拓扑学等多个分支。 目前， 拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学以及临近学科的许多领域中，并且有了日益重要的应用。 研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科， 称为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，是拓扑学的基础。本部分
2、介绍一般拓扑学的基本内容，并为进一步学习有关其 它课程提供必要的基础知识。 第一章 拓扑空间及其相关概念 拓扑空间的概念产生于对实直线 ,欧氏空间以及这些空间上的连续函数的研究 ,它是欧氏空间的一种推广 .本章介绍拓扑空间的概念, 给出与拓扑空间相关的一些 重要的拓扑概念的定义 ,以及它们的性质. . 拓扑,拓扑空间 1拓扑、 拓扑空间的定义有多种等价形式 .这里采用比较简洁也是目前最为流行的方式给出拓扑、拓扑空间的定义 . 定义 设 X 是非空集 , 是集合 X 的一个子集族, 若满足 (1) , X ;(2) 若1,2 ,则12 ; (3) 若| ( ),則 , 则称 为集合 X 上的一个
3、拓扑 或拓扑结构 ,( X , )称为 拓扑空间(当拓扑自明而无需指明时,也称 X 为拓扑空间),简称为 空间, X称为拓扑空间( X , )的 基础集 ,的元素称为( X , )的 开集或 -开集, X 的元素、子集分别称为拓扑空间( X , )的 点 ,点集. 根据数学归纳法,由拓扑空间的任意两个开集的交是开集可以得到,任意有限个开集的交是开集.因此,集合 X 上的拓扑 即是集合 X 的一个子集族 ,这个子集族 包含 与 X ,并且对“有限交”(即 的有限个元素的交)、 “任意并”(即 的任意个元素的并)运算封闭. 例1 设 X 是非空集, = , X ,则 是集合 X 上的拓扑,称为集合
4、 X 上的平凡拓扑,( X , )称为 平凡拓扑空间 . 例2 设 X 0,1, = , 0 , 0,1 ,则 是集合 X上的拓扑,在集合 X =0,1上赋予这一拓扑的拓扑空间,称为 西尔宾斯基 (SieRpinski)空间 . 例3 设 X 是非空集, =P(X )(即 X 的所有子集组成的集族),则 是集合 X 上的拓扑,称为集合 X 上的离散拓扑,拓扑空间(X ,P(X )称为 离散拓扑空间. 例4 设 X 是非空集,记 2 = |G X - 是G X 的有限子集 , 则 是集合 X 上的拓扑,称为集合 X 上的余有限拓扑,拓扑空间(X , )称为 余有限拓扑空间. 例5 设 X = ,
5、 , , = ,1, X , 2= , , , , , , X , = ,3, , X , 则 , 都是集合1 2X 上的拓扑.所以( X , )与(1X , )都是拓扑空间.因为2, 是 开集,但不是 -开集,所以(2 1X , )与(1X , )是两个不同的拓扑空间,虽然它们的基础集相同.由于2, ,3 = , ,因此 不满足定义中条件(3),所以 不是集合3 33X 上的拓扑.定义 设 , 是集合1 2X 上的两个拓扑.若 1 ,则称拓扑 小于(或 粗于 )拓扑 ,并称拓扑 大于(或 细于)拓扑 . 21 2 21在一个集合上的拓扑的粗细关系具有传递性,因此一个集合上的所有拓扑依粗细关系
6、构成一个偏序集.平凡拓扑是最粗拓扑,离散拓扑是最细拓扑. 1.2 拓扑的基与子基 定义 设( X , )是拓扑空间, B ,若 的元素都可表示为 B中某些元素的并,即对于 G ,存在GB使得 BGGB = ,则称 B 是拓扑 的基 或拓扑基 ,也称为拓扑空间( X , )的 基 或 拓扑基 ,B3中的元素称为基开集 . 例1 设( X , )是任意拓扑空间,则 就是它的基. 例2 设 是非空集,记 B = | X , 则 B 是集合 X 上的离散拓扑的基. 定理 1 设( X , )是拓扑空间, B , 则B 是拓扑 的基的充分必要条件是对于任意 G ,任意 ,存在 B,使得GxB xB G.
7、 定理 2 设 B 是非空集 X 的一个子集族,则 B 是集合 X 上的某一拓扑的基的充分必要条件是 B 满足下列条件 (1) X = B; (2) 对于任意 B , 是 B 中某些元素的并. 21,BB21BB 若 B满足上述两个条件,则集合 X 上以 B为基的拓扑是唯一的,此拓扑称为 以 B 为基生成的集合 X 上的拓扑. 定义 设( X , )是拓扑空间, P (X ),若 中元素的一切有限交之族,即 三 | 是 中有限个元素的交 是集合 X 上的拓扑 的基, 则称 是拓扑 的 子基 , 中的元素称为子基 开集.定理 3 设 X 为非空集 , P ( X ), 并且 X =SS ,则集合
8、 X 上存在唯一拓扑以 为子基. 这个拓扑称为以 为子基生成的集合 X 上的拓扑 .例 3 设 X = , , , , = , , , , P ( X ),则以 为子基生成的集合 上的拓扑是 = , , , , , , , 4X , , , , , , , , , , , . 1.3 度量空间 1 度量空间, 度量拓扑 定义 设 是非空集 ,R为实数集 ,若映射 ： R , 满足 （1 ） 对于 yx, , ( yx, ) 0; （2 ） 对于 yx, , ( yx, ) =0 当且仅当 yx = ; （3 ） 对于 yx, , ( yx, ) = ( xy, ); （ 4） 对于 yx, ,
9、 , ( yx, )+ ( zy, ) ( , )(称为三角不等式 ), 则称 是集合 上的 度量 , ( yx, )称为 与 之间的 距离 ,(y , )称为 度量空间 , 称为度量空间 ( , )的 基础集 .在不致引起混淆时, 简称 为度量空间 . 定义 设 ( , )是度量空间 , ,对于给定的实数 0,集合 ),( aB = | ( , ) 称为以 为中心, 为半径的球形邻域或 开球, 简称为点 的 球形邻域 或开球. 在不致混淆时, 记作 ( ,). 定理 1 设 ( , )是度量空间, 则集族 B = ( , )| , 0 是集合 上的一个拓扑的基 ,称这个拓扑为由集合 上的度量
10、 诱5导的拓扑, 记作 ,也称为 度量拓扑. 设 ( , )是度量空间 , 表示由度量 诱导的集合 上的拓扑 ,因此( , )为拓扑空间, 并约定 :在称度量空间 ( , )为拓扑空间时, 指的是拓扑空间( , ). 设 R 是实数集, 记 R = =( , 2,n)|iR , =1,2, , . 对于任意 yx, R ,记 21)(),(iiniyxyxd =则 是 R 上的度量, 称为 R 上的通常度量 或 欧氏度量 .(R , )是度量空间, 称为 维 欧氏空间, R 上的通常度量常常略而不提, 并称 R为 维欧氏空间.1 维欧氏空间 R通常称为 直线或 实数空间.2 维欧氏空间R 通常
11、称为 欧氏平面 或平面.3 维欧氏空间 R 简称为 欧氏空间 . 2 3在 维欧氏空间(R , )中, 以球形邻域族 B= ( , )| R,0 为基生成的拓扑 ,称为 R 上的 通常拓扑 或 欧氏拓扑 ,因 维欧氏空间是拓扑空间, 其拓扑就是欧氏度量诱导的拓扑 . 2 可度量化空间 定义 设 ( , )是拓扑空间, 若存在集合 上的一个度量 使得 即是由集合X 上的度量 诱导的拓扑 ,即 = ,则称( , )为可度量化空间 . 例 1 设 是非空集 ,定义映射如下： ： R , 6则易证 是集合 上的度量, 称为集合 上的离散度量,( , )称为离散度量空间. 例 2 设 = ,b.若在集合
12、 上赋予平凡拓扑 ,则此平凡拓扑空间 是不可度量化空间. 3等价度量 定义 设 , 是集合 上的两个度量, 若 , 在集合 上诱导相同的拓扑, 即 = 则称 与 为集合 上的等价度量. 例 3 设 R是实数集 ,对于任意 ),(21xxx = , ),(21yyy = R2,记 1( yx, )= 2211, yxyx , 2( yx, )=2211yxyx + 则1,2都是 R2上的度量 ,并且它们与集合 R2上的通常度量 是彼此等价的度量. 即度量1,2和 诱导的R 上同一个拓扑. 21.4 一些重要的拓扑概念 1. 邻域, 邻域系 定义 设( X , )是拓扑空间, a M X ,若存在
13、 ,使得 G Ga M , 则称集合 M 为点 的 邻域. 对于a x X ,点 x 的所有邻域构成的集族称为点 x 的邻域系, 记作 N .一点的邻域不一定是开集, 但开集是它的每一点的邻域 ,并称开集为它的点的开邻域 . x7定理 1 设( X , )是拓扑空间 ,又设 M X ,则 M 是开集当且仅当 M是它的每一点的邻域 .即 G x , G N Gx. 定理 2 设( X , )是拓扑空间 ,对于 x X , N 是点xx 的邻域系, 则 (1) 对于任意 x X , N ,并且对于xM N ,有xx M ； (2)若 M1,M2N ,则xM1 M2N ； x(3)若 M1N ,则x
14、M W X ,则WN ； x(4)若 M1 N ,则存在 G N ,Gx x M 使得对于任意 y , N G Gy.2. 闭包与导集闭集 定义 设 ( X , )为拓扑空间, F X ,若 X - ,则称 为 (F F X , )的闭集, 或 -闭集. 定理 3 设( X , )是拓扑空间,则( X , )的闭集有下列性质: (1) X , 都是闭集; (2)有限个闭集的并是闭集; (3)任意个闭集的交是闭集. 定义 设( X , )是拓扑空间, A X . (1)设 x X ,若对于点 x的任意邻域M有 M A, 则称点 x 是集合 A的附着点或闭包点; (2)记 A=x X |x 是 A
15、的附着点(或记作cl A), 则称 A为集合 A在( X , )中的闭包. 定理 4 设( X , )是拓扑空间, A X ,则 A= F| A F , 是(F X , )的闭集, 8即 A的闭包 A是包含 A的最小闭集. 定理 5 设( X , )是拓扑空间, A X ,则 A是( X , )的闭集当且仅当 A=A. 定理 6 设( X , )是拓扑空间,又设 A,B都是 X 的任意子集,则 (1)= , X =X ; (2) A A; (3)A= A; (4)ABAB=. 定义 设( X , )是拓扑空间, A X . (1)设 x X ,若对于点 x 的任意邻域 M 有 M (A-x )
16、 , 则称点 x 为集合 A的聚点或极限点 ,也称为 凝聚点 . (2)记 =dA x X | x 是集合 A的聚点, 则称 为集合dA A的导集 . 定理 7 设( X , )是拓扑空间, A X ,则 A= AdA . 定理 8 设( X , )是拓扑空间, A X ,则 A是( X , )的闭集当且仅当 dA A 例 1 设 X = , , ,d,又设 a b c =, X , , , ,b, , b,c,d , b c a c则( X , )是拓扑空间.取 A= ,ba X,所以在( X , )中,有 = ,c,d , dA a( = ,b, , )ddA a dA=dA A=X .
17、9例2 在实数空间 R 中,设 A=0,1)(=xR |0 x1),则 A的每一点都是 A的聚点.除此之外,1也是 A的聚点,并且有 =0,1,dA A=0,1, 其中0,1= xR |0 x1. 例3 在实数空间 R 中,设 A=1n| =1,2, n则 A只有一点聚点0,并且 A= A 0. 3 内部,边界 定义 设( X, )是拓扑空间, A X. （1）设 x X,若A 是点 x的邻域,则称点 x为集合 A的内点; （2）记 =0A x X|x是集合 A的内点(或记作intA), 则称 为集合0A A 的 内部 . 定理 9 设(X, )是拓扑空间, A X,则 = G|G0A A,
18、G . 即 A的内部 是包含在0A A中的最大开集. 定理 10 设( X, )是拓扑空间, A X,则 A是( X, )的开集当且仅当 A= . 0A定理 11 设( X, )是拓扑空间,又设 A,B 都是 X的任意子集,则 (1) = , 00X =X ; (2) 0A A; (3) = ; 00()A0A(4) ( ) =AB0 0A 0B . 例 3 在实数空间R 中, 若 A=(0,1=xR |0 x1， 则A =(0,1） =0x R|0 x1)；若B=0,1(= x R|0 x1),则0B =(0,1)；若 Q10为有理点集,则 Q0= ；若S 为无理点集 ,则S0= . 定理
19、12 设(X, )是拓扑空间, A X,则A0=00()A . 定义 设(X, )是拓扑空间, A X. (1)设 xX,若对于点 x的任意邻域M有 M A , M 0A , 则称点 x是集合A 的 边界点; (2) 记 A=xX | x是集合 A的边界点. 则称 A 为集合A 的 边界. 定理 13 设(X, )是拓扑空间, A X,则 (1) =A AcA =( )=cA A- ; 0A(2) = ; A0A (3) A= = A0A A A; (4) =0A A- A =A- ; A(5) X=0A A ( ) (分离并). cA0例5 在实数空间 R 中, (1)若 A=(0,1)(=
20、xR |0 x1),则 A =(0,1); (2)若B=1n| 为正整数,则 nB=BcB =(B0 R= B0,并且0B = . 例5(2)表明,一个集合可以包含在自己的边界中. 4.序列,收敛序列 定义 设X是拓扑空间,则映射 : N+ X 称为拓扑空间X中的一个序列 (其中 N+为正整数集),记作 或,其中 i=( ) i11定义 设+Ni是拓扑空间X中的一个序列, X,若对于点 的任意邻域M,存在 Na a0i+,使得当 i N+, 时0ii iM,则称序列收敛于 ,并称点 为序列的 极限 .至少有一个极限的序列,称为 收敛序列. 例6 设为拓扑空间X中的常值序列(即 : N+X为常值
21、映射),则常值序列是收敛序列. 例7 平凡空间中的任意序列都收敛,并且收敛于空间中的任意一点. 此例表明,拓扑空间中收敛序列的极限一般不是唯一的. 定义 设X为拓扑空间,又设 ,: N+X 都是X中的序列,若存在映射 k:N+N+满足 (1)对于任意 ji, N+, 若 ji ,则其子序列 可记作.所以序列 的子序列 的第 项恰是序列i 的第 项. ik定理 14 设是拓扑空间 X 中的一个序列, X.若序列收敛于 ,则的任意子序列收敛于 . a注 根据一点的邻域总含有该点的开邻域的性质.若将上述闭包点、聚点、边界点与收敛序列等定义中的“邻域”改换为“开邻域”,则得到等价的定义,这在证明它们的
22、性质时,是方便的. 第二章 连续映射,构造新空间 12本章给出联系拓扑空间之间的连续映射、 同胚映射与空间同胚的概念,以及它们的相关性质,并讨论由于对某些特定映射的连续性要求而产生的构造新的拓扑空间的方法,如在拓扑空间的基础集的一个非空子集上构造子空间的方法 ,在一族拓扑空间的基础集的积集上构造积空间的方法,以及在拓扑空间的基础集的商集上构造商空间的方法. 2.1 连续映射,同胚与拓扑性质 1.连续映射 定义 设( X , ),(Y ,u )是两个拓扑空间, : f X Y 是映射,当映射 : f X Y 联系到拓扑空间时,也记作 : (f X , )( Y ,u ), 并称 为从(f X ,
23、 )到( , u )的映射.又设aY X .若对于点 (a)在( Y , u )中的任意邻域W,存在点f在 ( X ,)中的邻域M,使得 (f M )W, 则称 在点 a连续.若映射 f: (f X ,)( Y ,u ) 在 X 的每一点连续,则称 为从(f X , )到( Y , u )的 连续映射 .简称 连续, f定理 1 设映射 : (f X , )( Y ,u ) 又设a X ,则 在点f 连续的充分必要条件是对于点 (f )在(Y ,u )中的任意邻域W, 是点)(1Wf在( X , )中的邻域. 定理 2 设( X , ),( Y , u )是两个拓扑空间, :f X Y 是映1
24、3射,则下列条件等价： (1) : (f X , )( Y ,u )是连续映射. (2)对于任意 Ku , (1f K) .(3)对于( Y, u)的任意闭集 H , (1f H )是( X , )的闭集. (4)对于任意 B , (1f B) ,其中 是拓扑u 的基. (5)对于任意 S , ( ) 1f S ,其中 是拓扑u 的子基. (6)对于任意 A X , (f A)(Af. (7)对于任意 B X ,)(1Af)(1Bf. (8)对于任意x X ,点 (fx)在( Y ,u )中的任意邻域W, (1fW)是点x在( X , )中的邻域. 定理 3 设 f : (X , )( Y ,
25、 ), : (Y , )( Z , ), 都是连续映射,则复合映射 ：(fg null X , )( , ) 是连续映射. 例 1 (1)常值映射是连续映射. (2)从任意空间到平凡空间的映射是连续映射. (3)从离散空间到任意空间的映射是连续映射. (4)任意拓扑空间上的恒同映射是连续映射. 2.同胚映射,同胚与拓扑性质 定义 设映射 : (f X , )( Y ,u ). 若 是一一映射,并且 与 都是连续映射,则称 为 同胚映射 或f f1f f14拓扑变换 或拓扑映射 . 设( X , ),( Y , u)是两个拓扑空间,若存在一个同胚映射 : (f X ,)( Y ,u ), 则称(
26、 X , )与( Y , u )同胚,记作 (X , ) ( Y , u). 关于拓扑空间的某一概念,若在同胚映射下保持不变,则称为拓扑概念.关于拓扑空间的某一性质,若在同胚映射下保持不变,则称为拓扑性质或 拓扑不变性质. 由同胚定义可知,同胚映射 : (f X , )( Y ,u )不仅是点集 X与点集 Y 之间的一一对应,而且也是集合 X 上的拓扑 (开集族)与集合 Y 上的拓扑u (开集族)之间的一一对应, 所以涉及拓扑空间(X , )与( Y ,u )的拓扑的有关性质都是相同的. 定理 4 设 都是拓扑空间,则 ZYX ,（1） 恒同映射 ：X1 X X 是同胚映射； （2） 若 :f
27、 X 是同胚映射,则 : Y1f Y X 是同胚映射； （3） 若 :f X Y , :Y g 都是同胚映射,则 ：fg null X 是同胚映 射. 定理 5 设 都是拓扑空间,则 ZYX ,(1) XX ; (2)若 YX ,则 XY ; (3) 若 YX , ZY ,则 ZX . 定理 5 表明,在给定的拓扑空间族中,同胚关系 是一个等价关系. 15定理 6 设 都是拓扑空间,又设 :YX , f X XYgY :, 都是连续映射,并且使得Xfg 1=null 与Yfg 1=null 都是恒同映射,则 是同胚映射,并且 . fgf =1定义 设 :f X Y 是拓扑空间之间的映射. （1
28、）若扑空间 X 的任意开集 在 下的像 ( )是拓扑空间G f f G的开集,则称 为开映射. f（2）若扑空间 X 的任意闭集 在 下的像 ( )是拓扑空间的闭集,则称 为闭映射. F f f FY f注意,开映射、 闭映射与连续映射这三个概念彼此之间并无蕴涵关系. 定理 7 设 :f X Y 为一一映射,则下列条件等价: (1) 是同胚映射. f(2) 是连续开映射. f(3) 是连续闭映射. f定义 设( X , ),(Y , )都是度量空间,并且 XdYdf :(X , ) ( Y , ) XdYd是一一映射.若对于任意 21,xx X , Xd ( )= ( ( ), ( ), 21
29、,xxYd f1x f2x则称 为等距映射或 保距映射 . f定理 8 等距映射是同胚映射. 度量空间或它的点集的某一性质,若在等距映射下保持不变,但却不能在任意同胚映射下保持不变,则称为度量性质.例如,度量空间中两点之间的距离,一点 的球形邻域都是度量性质.拓扑学也讨论度量性质,它主要是通过对这种性质的研究来阐发拓扑性质 162.2 子空间 定义 设( X ,T )是拓扑空间, 是D X 的非空子集,记 T | T , GDGD | =则 T | 是集合 上的拓扑,称为 T 在 上的子空间拓扑或相对拓扑 ,拓扑空间( ,T | )称为拓扑空间(D D DD D X ,T )的子空间 ,子空间
30、( ,T | )的开集(或闭集)称为相对开集(或相对闭集). D D设( X ,T )是拓扑空间, 若 是(D X ,T )的非空开集(或非空闭集),则称( ,T | )为(D D X ,T )的 开(或闭)子空间. 注意,今后非空子集 作为拓扑空间D X 的子空间总意味着在集合 上赋予子空间拓扑.此外,拓扑空间 的非空子集时常被认为是子空间而不另行说明. D例1 设 R是实数空间, Y = , )是实数空间R 的子空间,其中, R, ,则 , )是 R的子空间 的开集,其中 ,这是因为 , = , ( -1, ), 这里( -1, )是实数空间R 的开集. , 关于 Y = , 的余集,即
31、, - , = , 是实数空间 R的子空间 Y 的闭集.显然, 与 , 都是实数空间 R的子空间 Y 的开集,也是闭集. 定理 1 设 X ,T )是拓扑空间, ( Y ,T |Y )是它的子空间,则 (1) 若 |B 是拓扑 T 的基(或子基),则 Y |B 是子 空间拓扑 T |Y 的基(或子基); (2) 设 H Y ,则 H 是子空间( Y ,T |Y )的闭集当且仅当存在(X ,T ) 17的闭集 ,使得F H =F ; (3) 设 ,则 是点 在子空间( ,T | )中的邻域当且仅当 存在点 在( X ,T )中的邻域 ,使得 = . 定理2 设( Y ,T |Y )是拓扑空间(
32、X ,T )的子空间,则 （1）包含映射 :(Y , T |Y )(i X ,T )是连续映射; （2）集合 Y 上的子空间拓扑 T |Y 是使得包含映射 : i Y X 连续的集合 Y 上的最小拓扑.即若u 是集合 上的拓扑,使得包含映射:(Y ,u )(i X ,T )连续,则T |Y u . 定理 3 设 : (f X ,T ) ( Y ,u )是连续映射,则 （1） 对于 的非空子集 ,限制映射 |f : ( ,T | ) ( Y ,u )是连续映射; （2） : (f X ,T ) ( (f X ) , u | (f X )是连续映射. 例2 ( )维欧氏空间 R1+n ( 0)的子
33、空间 =( ) R | = 1nSnxx ,1null1+n+=112niix 称为 维球面 . nS去掉北极 P=(0,0,1)后,即nS-P,它与维欧氏空间R 同胚(此处Rn nR1+n,它视为的R 子空间),其同胚映射中最常用的是称为球极投射的映射 1+n: - R =( ) R |fnSPnnxx ,1null1+n1+nx = 0 定义如下:对于任意点 x=( ) -nxx ,1nullnSP ,从点 P 出发通过点 x的射线交 R 于点 ,由 解得111+=nx ,这里 R 取赤道平面,记 n18( )=fnxx ,1null+0,1,1111nnnxxxxnull R , n则容
34、易验证 : - R 是同胚映射. fnSPn定义 设 是某一拓扑性质,若一个拓扑空间具有拓扑性质蕴涵着其任意子空间也具有拓扑性质P PP ,则称拓扑性质 P 是 遗传性质. 例如,拓扑空间的离散性、 平凡性都是遗传性质.在讨论拓扑空间的各种性质时,常常需要考虑这种性质是否为遗传的. 2.3 积空间 定义 设( , T ) 是拓扑空间的一个非空族,记 X , 又设 ,则Xx =x ( ) .对于X ,记 :p X , Xxx null为投射,记 | T ,)(1 Gp=G , 其中 , 则以XGGp=,1)( 为子基生成的集合 上的拓扑， 记作 T 或T ， 称为集合X上的 积拓扑 ， 拓扑空间
35、 (,T ) 称为拓扑空间族 ( ,T ) 的积空间 .对于X ,( , T )称为积空间(X,T )的因子空间 或坐标空间. 注 所谓拓扑空间的一个非空族是指( , T ) ,其中X ,并且对于 ,( , T )为拓扑空间.在讨论拓扑空间族( , T ) 的积空间时,总约定指标集XX . 19(1)当指标集 为有限集时, 即 =1,2, , 则有限积空间( ,T )=( ,T )的基开集的一般形式是 =niiX1 =ni 1i,其中对于=niiG1iGni ,2,1 null= T ; i(2) 当 指 标 集 为无限集时, 则无限积空间( ,T )=( X ,T )的基开集的一般形式是 ,
36、 其中对于 T . iGni,2,1 null=i定理 1 设( ,T )是拓扑空间族( , T ) 的积空间时,则 T是集合X上使得每个投射 X : X都连续的最小拓扑,其中 . 定理 2 设( X ,T )是任意拓扑空间, ( Y ,u)是拓扑空间族(, Yu ) 的积空间, : ( f X ,T ) ( Y ,u )是映射,则映射 : (f X ,T ) ( Y ,u ) 连续当且仅当对于任意 , : (fp nullX ,T ) (, Y u ) 连续,其中 :p 为投射. Y定理 3 设( X ,T )是任意拓扑空间, ( Y ,u)是拓扑空间族(, Y u ) 的积空间,又设对于任
37、意 , :f X 是映射,定义映射 Y, , 20则 :(f X ,T )( Y ,u )连续当且仅当对于任意 , : (f X ,T ) (, Y u )连续. 定义 设 P 是某一拓扑性质,若一族拓扑空间具有拓扑性质 P蕴涵着其积空间也具有拓扑性质P,则称拓扑性质P是可积性质. 由于有限个拓扑空间的积空间是拓扑空 间族的积空间的特殊情形,所以凡是不是有限可积性 质必定不是可积性质,并且有限可积性质不必一定是可积性质.例如 ,拓扑空间的离散性是有限可积性质,但不是可积性质. 2.4 商空间 商空间概念给出构造新拓扑空间的又一种方法,它来源于几何学中的粘贴方法构造几何图形的思想. 定理 1 设
38、( X ,T )是任意拓扑空间, E是集合 X 上的等价关系, : X ,/XE xnullx为自然投射,则集族 T/ =E1/|KXE (K) T 是商集 上的拓扑. /XE定义 设( X ,T )是拓扑空间, E 是集合 X 上的等价关系,则商集 上的拓扑 /XET/ =E1/|KXE (K) T 称为 T 关于等价关系 的商拓扑,拓扑空间( ,T/ )称为拓扑空间(E /XE EX ,T )关于等价关系 的 商空间,简记作 ,其中,E /XE : X ,/XE x nullx为映射(即为自然投射映射). 定理 2 设( X ,T )是拓扑空间, E是集合 X 上的等价关系,则 （1）映射
39、 :(X ,T )( ,T/ )是连续满映射; /XE E（2）商拓扑 T/ 是商集合 上使得E /XE : X 连续的最大/XE21拓扑. 定义 设( X ,T )是拓扑空间, Y 为非空集, f : X Y 是满映射,则 T =f1|KYf ( )K T 是集合 上的拓扑,称为由(Y X ,T )与 f 确定的集合 Y 上的粘合拓扑 ,并称拓扑空间( ,T )为 粘合空间. Yf显然,商空间是粘合空间. 定义 设 f :(X ,T )( ,u )为映射,若Y f 是满映射,并且 u = T ,则称ff 为商映射. 定理 3 设 f :(X ,T )( Y ,u )是映射,若 f 是满的连续
40、开(或闭)映射,则 f 是商映射. 引理 4 设 f :( X ,T )( Y ,u )为商映射,则对于任意拓扑空间(Z ,w), :(Y ,u)(g Z ,w)为连续映射当且仅当 :(gf X ,T )( Z ,w) 是连续映射. 定义 设 f :X Y 为映射(不必为满映射),记 fE =(1x ,2x ) X X | f (1x )= f (2x ), 则fE 是集合 X 上的等价关系,称为 由映射 f 生成的等价关系. 定理 5 设( X ,T )是拓扑空间, Y 为非空集, f :X Y 为满映射, fE 是由映射 f 生成的集合 X 上的等价关系,则 商空间( X /fE ,T/f
41、E ) 粘合空间( Y ,T ). f定理 6 设 f :(X ,T )( ,u )是商映射,则 Yf:(X/fE ,T/fE )( Y ,u ), X null f (x) 22是同胚映射,其中fE 是由映射 f 生成的集合 X 上的等价关系. 例 1 设 X =0,1视为实数空间 R的子空间, Y = (为单位圆周)视为欧氏平面 R1S2的子空间,定义映射 f :X=0,1 Y = , 1Sx null(cos 2 ,sin 2x x ), 则 f 是连续,满的,闭映射.从而 f 是商映射.记fE 为由映射 f 生成的集合 X (=0,1)上的等价关系 ,则 fE =(1x ,2x ) X
42、 X | f (1x )= f (2x ), 即0fE 1,对于 ,1 有0x xfE x.此等价关系fE 的直观意义是将线段0,1的两个端点粘合起来.根据定理6可知,商空间 X/fEY . 例1表明,粘合线段的端点得到的商空间与圆周同胚. 例2 设 X=I I =0,1 0,1为欧氏平面 R2上的正方形,S1为欧氏平面R2上的单位圆周,定义映射 g:I ,t (1S null cos 2 ,sin 2tt ), 则 11:If gXIIS= = I 是商映射.从而由映射 f 生成的集合 X 上的等价关系fE 为 (t, )sfE ( , ) u v(t,s)=(u, ),或 =0, u=1,
43、 =v,或 =1, u=0, = . v t s t s v等价关系fE 的直观意义是将单位正方形 ()X II= 的两条垂直边粘合起来.此时,称商空间 /fX E 为柱面,根据定理6可知 f: /fX E1SI 是同胚映射.即柱面 /fX E 与1SI 同胚. 23第三章 可数性,分离性 本章在前面讨论拓扑空间的一般概念的基础上,对拓扑空间加以某些限制,即关于可数性或 分离性的限制,从而得到具有良好性质的各种重要的拓扑空间.可数性与 分离性都是重要的拓扑性质. 3.1 第一可数性,第二可数性 定义 设( ,T )是拓扑空间, ,N 点 的邻域系,N .若对于任意 N ,存在 使得 ,则称 为
44、点的邻域基 ,或 局部基. 设( ,T )是拓扑空间,若对于任意 ,存在点 的一个可数邻域基,即存在点 的可数个邻域组成的邻域基,则称( ,T )具有第一可数性,也称( ,T)为第一可数空间. 例1 设( ,T )是拓扑空间, 是它的基,则对于任意 , = | 是点 的邻域基. 例2 设( ,T )是平凡拓扑空间,则对于任意 ,点 的邻域系与点 的邻域基都是 .所以平凡拓扑空间是第一可数空间. 例3 设( ,T )是离散拓扑空间,则对于任意 ,由单点集 一个集合组成的集族 是点 的邻域基.所以,离散拓扑空间是第一可数空间. 定义 若拓扑空间( ,T )具有一个可数基,即存在一个由可数个开集组成
45、的基,则称( ,T )具有第二可数性,也称( ,T )为24第二可数空间. 定理 1 度量空间是第一可数空间. 定理 2 第二可数空间是第一可数空间. 定理 3 设( ,T )是第一(或第二)可数空间.若 :( , T ) ( ,u )是满的连续开映射,则( ,u )是第一(或第二)可数空间. 推论 拓扑空间的第一可数性、第二可数性都是拓扑性质. 定理 4 拓扑空间的第一可数,第二可数性都是遗传性质. 3.2 可分空间,Lindelf 空间 1.可分空间 定义 设 是拓扑空间, ,若 的第一点都是集合 的附着点,则 = ,则称 是拓扑空间 的稠密子集 . 定义 设 是拓扑空间,若 有一个可数稠密子集,则称 具有可分性.也称 为可分空间. 例1 实数空间是可分空间. 例2 基础集为不可数集的离散空间不是可分空间. 定理 1 设 , 都是拓扑空间, : 是满的连续映射.若是可分空间,则 也是可分空间. 推论 拓扑空间的可分性是拓扑性质. 拓扑空间的可分性不是可积性质,也 不是遗传性质(但对开子空间是遗传性质). 例3 设( ,T )为不可分空间,记 *= ( ,表示新点), T *= | = , T , 25则(* *,T )是拓扑空间,并且 在(*,T *)中的闭包 =*.于是(*,T )是可分空间.但是它的子空间(*,T )不是可分空间,所以可分性不是遗传性质.
