1、信息学院 罗捍东1可能存在也可能不存在，通常称这类的极限为未定式，简记为 。当 时，如果函数 f(x)和 g(x)的极限都为零或都趋于无穷大，则极限例如： ,ta nlim 0 x xx ,si nln si nlnlim 0 bxaxx )00( )()x a x或 ()lim()fxgx00 或其它型的未定式还有： 000 , , 1 , 0 , 第二节 洛必达法则信息学院 罗捍东2定理： 洛必达法则( ) ( )l im l im .( ) ( )x a x af x f xg x g x那 末00 型 未 定 式( 1 ) l i m ( ) l i m ( ) 0 ;x a x af
2、 x g x 设 :( 2 ) ( ) , ( ) ( ) 0 ; f x g x a g x在 点 的 某 去 心 邻 域 内 可 导 , 且()( 3 ) l im ( ) ;()xafxgx 存 在 或4.2.1信息学院 罗捍东3证： 补充定义 f(a)=g(a)=0。则有 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f x f ag x g x g a()()fg )( 之间与在 ax, aax 时当 ()lim ,()xafx Agx ()lim ,()af Ag( ) ( )li m li m .( ) ( )x a af x f Ag x g 则 f(x)、 g(x)在区
3、间 a,x (或 x, a )上满足柯西定理。信息学院 罗捍东4x ( ) ( )lim lim .( ) ( )xxf x f xg x g x 2)当 时，罗必塔法则也成立。即注意： 1)罗必塔法则中极限 A可以是无穷大。信息学院 罗捍东5例 1:求解 :332232l i m .28xxxx x x 333222323232l im l im28 28xxxxxxx x x x x x 9 .10)00(22233lim3 2 2xxxx信息学院 罗捍东6例 2:解 :0ta n 2lim .s in 3xxx求)00( 00ta n 2ta n 2l im l imsin 3 sin
4、3xxxxx x20( se c 2 ) 2 2l im( c o s 3 ) 3 3xxx信息学院 罗捍东7例 3:解 :.1ar c t an2limxxx求a r c ta n2lim1xxx 22l im 11xxx )00(221l im1xxx 信息学院 罗捍东8如果 仍然是未定式极限，且也满足罗必塔法则的条件，则可继续使用罗必塔法则。即( ) ( ) ( )li m li m li m .( ) ( ) ( )x a x a x af x f x f xg x g x g x ()()fxgx ( ) , ( )f x g x信息学院 罗捍东902l ims inxxxe e x
5、xx例 4:解 :02lims inxxxe e xxx 02lim1 c o sxxxeex0lim 2c o sxxxeex0lims inxxxeex)00()00()00(信息学院 罗捍东10例 5：解：0c o sl ims inxxexxx求0c o slims inxxexxx0s i nl i ms i n c o sxxexx x x0c o sl i mc o s c o s s i nxxexx x x x11 11 1 00c o slims inxxexxx0s i nl i ms i n c o sxxexx x x正解：信息学院 罗捍东11例 6：解：201sin
6、l imsinxxxx求正解：222001 1 1 1s in 2 s in c o s ( )l im l ims in c o sxxx x xx x x xxx 2001s in 1l im l im s in 1 0 0s in s inxxx xx xx x x 0112 s in c o sl imc o sxxxxx 不存在信息学院 罗捍东12注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用（特别是利用等价无穷小量替换），效果更好。例 7：解：20ta nl im .ta nxxxxx求2300ta n ta nl im l imta nxxx x x xx
7、 x x220ta n 1lim33xxx220 31se climxxx利用等价无穷小量替换信息学院 罗捍东13考研题欣赏2006（四、 19） 试确定常数 A、 B、 C的值使得 ： 2311xe B x C x A x o x 3ox其中 是当 时比 高阶无穷小。3x0x 解 : 根据题设和罗必达法则，由于 230110 l im xxe B x C x A xx 22012l im3 xxe B B x C x C x Ax2分信息学院 罗捍东14 202 1 2 4l im6 xxe C B B C x C xx042l im6xB C C x102 2 1 040 BABCBC得解
8、得 1 2 1,3 3 6 A B C10分8分信息学院 罗捍东15定理： 洛必达法则( 1 ) l im ( ) l im g ( ) ;( 2) ( ) , g ( )g ( ) 0 ;()( 3 ) l im ( ) ;g ( )( ) ( )l im l im .g ( ) g ( )x a x axax a x af x xf x x axfxxf x f xxx 设 :在 点 的 某 去 心 邻 域 内 可 导 ,且存 在 或那 末型 未 定 式4.2.2信息学院 罗捍东16例 8:求解 :0l n s inl im , , 0 .l n s inxax abbx 001c o s
9、l n sin sinl im l im1l n sinc o ssinxxa a xax axbxb b xbx)(0ta nlimta nxa b xb a x220s e cl im 1s e cxa b b xb a a x)00(信息学院 罗捍东17例 9：解：.3t a nt a nlim2xxx 求2222ta n s e cl im l imta n 3 3 s e c 3xxxxxxx222c o s3c o slim31xxxxx si nc o s23si n3c o s6lim312xxx 2si n6si nlim226 c o s 6lim 32 c o s 2xx
10、x)(信息学院 罗捍东182se climta nxxx求2s e climta nxx Ax设例 10：解：222s e c ta n s e cl im l imta n s e cxxx x xAxx2ta n 1lims e cxxxA2s e clim 1ta nxx Ax 22s e c 1l im l im 1ta n s inxxxxx正解：信息学院 罗捍东19关键 :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .步骤 :0( ), ( )01. 0 型0001 ,0 0.10 或4.2.3 其它型未定式信息学院 罗捍东20例 11:解 :.lim 2 xx ex 求 )0(
11、22l im l imxxxxexex 2limxxe .lim2xxex )(信息学院 罗捍东21例 12:解 :).1sin 1(lim0 xxx求 )( 001 1 s inl im ( ) . l ims in s inxxxxx x x x0s inl im 0c o s c o s s in xxx x x x步骤 :2. 型1100 0000)00(01 c o sl ims in c o sxxx x x信息学院 罗捍东22有关考研题2005（ 15）011l im1 xxxex 求2004（ 15）22201 c o sl ims inxxxx求信息学院 罗捍东23步骤 :
12、.0 001 , 03. , 型001 l n 10 0 l n 00 l n 取 对 数信息学院 罗捍东24例 13:解 :.lim 111xxx 求 )1( 111111lnlim lim xxxxxxe xxxe 1lnlim 111lim1xxe .1 e信息学院 罗捍东25例 14:解 :.lim0 xx x求 )0( 000lnli m li mx x xxxxe021l im1xxxe 0 0 1l i m ( )xxee 0 1lnlimxxxe信息学院 罗捍东26例 15:解：.)( c o tlim ln10xxx求 )( 01ln 1 l n ( c o t )l n (
13、 c o t ) l n ( c o t ) ,l n l nx xxxxx 取对数得0l n ( c o t )l imlnxxx xxxx 1si n1c ot1lim200l im 1 ,c o s s inxxxx 11ln0l im ( c o t ) .xxxe信息学院 罗捍东27考研题欣赏（ 2003年 3， 4）设1 1 1 1( ) , , 1 ) .s i n ( 1 ) 2f x xxx 试补充定义 f(1)使得 f(x)在 1/2， 1上连续。解： 令 y=1- x ，有111 ( 1 ) s inl im ( ) l im( 1 ) s inxxxxfxxx 信息学院 罗捍东2801 s inl ims inyyyyy 2201 s inl imyyyy2分201 c o sl im2yyy 4分2201 s in 1l im2 yy 6分由于 f(x)在 1/2， 1上连续。因此定义 f(1)= 1就可使 f(x)在 1/2， 1上连续。 8分信息学院 罗捍东29小结洛必达法则 型00 ,1,0 型 型0型00型 gfgf 1 fg fggf 11 11 取对数令 gfy
