1、0平行、垂直的判定和性质平行1直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示为： 注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行2两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示为：
2、注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”(3)平行于同一平面的两个平面互相平行即 3直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号表示为： 注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内符号表示为：若 ，点 ，且 ，则 4平面与
3、平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等1垂直1直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面注意：定义中的“任意一条直线”和“ 所有直线”是同义语，不能改成“ 无穷多条直线”如果 或 ，那么直线 l 不可能与平面 内的任意一条直线都垂直由此可知，当时，直线 l 和 一定
4、相交，它们唯一的交点叫做垂足(2)直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面(3)关于垂直的存在唯一性命题 1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直命题 2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直2平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号表示为： 3直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号表示： 作用：可作线线平行的判定定理4平面与平面垂直的性质(1
5、)两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号表示为： (2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面(3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内空间几何定理公理总结：1.平面的基本性质公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理 3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.2推论 1 经过一条直线和这条直线外
6、一点，有且只有一个平面.推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理 4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。2.等角定理及其推论定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.3.平行关系（1）.线面平行的判定定理：（线线平行 线面平行 ）如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式： ,/aba（2）线面平行的性质定 理 ： （线面平行 线线平行）如 果 一 条 直 线 和 一 个 平
7、 面 平 行 ， 经 过 这 条 直 线 的 平 面 和 这 个 平 面 相 交 ， 那 么 这 条 直 线 和 交 线 平 行 。推理模式： /,/aba（3）.两个平面平行的判定定理：（线面平行 面面平行）如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式： /abP(4).推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。模式： ,/abPabPbab(5).两个平面平行的性质（面面平行 线面平行、线线平行）（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
8、那么它们的交线平行。4垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理：（线线垂直 线面垂直）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。推理模式： aplmlal ,(2)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。推理模式： b|,(3)两平面垂直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）cbababa PPab3如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式： a,(4)两平面垂直的性质定理：（面面垂直 线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式： all,典型例题剖析
9、例 1下列说法正确的是（ ）A若直线 a 平行于面 内的无数条直线，则 B若直线 a 在平面 外，则C若直线 a/b，直线 ，则 D若直线 a/b，直线 ，则直线 a 平行于平面 内的无数条直线例 2M、N、P 为三个不重合的平面，a、b、c 为三条不同直线，则下列命题中，不正确的是（ ） A B C D例 3E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点，平面 过 EH 分别交 BC、CD 于 F、G求证：EH/FG. 例 4如图所示，已知 P 为 所在平面外一点， 分别是 的重心求证：平面 /平面 ABC例 5已知平面 /平面 ， ，直线 AB 与 CD 交于 S，且AS=8
10、，BS=9，CD=34 ，求 CS 的长4例 6P 是 外的一点，PA，PB，PC 两两垂直，PA=1，PB=2 ，PC=3 ，则 的面积为（ ）A B C D例 7如图所示，在正方体 中，E 是 的中点，O 是底面正方形 ABCD 的中心，求证： 平面 例 8.（ 1）.已知直线 和平面 ，则下列命题正确的是 ( )ab、 MN、/,/abA若 则B.若 则 ,NC若 则 /abMD.若 则（2） 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A B C D643（3）.设 表示平面， 表示直线，给定下列四个命题：ba, ； ;a,/ ba,/ ; ./ /其中正确命题的个数
11、有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个例 9.如图所示, 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形, 底面 ABCD, E 为 PC,2,BADCAB的中点, PAADAB1. （1）证明: ;/E平 面5B1A1C1B CAMN（2）证明: ;BEPDC平 面（3）求三棱锥 B PDC 的体积 V. 例 10.已知：正方体 ， ，E 为棱 的中点1ABCD-1A=21C() 求证： ；1E() 求证： 平面 ；/1（）求三棱锥 的体积-B例 11.三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ， ， 分别是1CBA90C12B,MN， 的中点AB1（）求证： 平面 ； |MN（）求证： 平面
12、；1（）求三棱锥 的体积在线测试1.下列命题正确的是（ ）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面6C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2.下列命题错误的是（ ）A.平面和平面相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合3 下列命题中正确的个数是（ ）(1)若直线 l上有无数个点不在平面 内，则 l/(2)若直线 与平面 平行，则 l与平面 内任一条直线都平行(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这
13、个平面平行(4)若 l/ ，则 l与平面 内的任一条直线都没有公共点A0 B1 C2 D34 设 ba,是两条直线， ,是两个平面，则能得到 ba的一个条件是( )A /, B /, C /, D 5已知 ,mn是两条不同直线， ,是三个不同平面，下列命 题中正确的是（ ）A ,n若 则 B ,若 则 C 若 则 D mnn若 则 6已知两条直线 ,m，两个平面 ,，给出下面四个命题：来源:学_科_网 /,n /,/来源:学科网 ZXX / /mn其中正确命题的序号是（ ）A B C D7.下列命题中正确的是( )如果 a,b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 如果直
14、线 a 和平面 满足 a ，那么 a 与 内的任何直线平行 如果直线 a,b 和平面 满足 a ，b 那么 ab 如果直线 a,b 和平面 满足 ab，a ，b ，那么 bA. B. C. D.8. 直线 a， b 异面直线， a 和平面 平行，则 b 和平面 的位置关系是（ ）（ A） b （ B） b （ C） b 与 相交 （ D）以上都有可能9.直线 与 垂直， 又垂直于平面 ，则 与 的位置关系是（ ）aA. B. C. D. 或/a/10 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是一个正方形，PD 垂直于 ABCD，则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有（ ）7A.3 对
15、B.4 对 C.5 对 D.6 对11.垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 ； ； ；/mn/mnn/mn/mnA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个12 已知直线 ab、 是异面直线，直线 cd、 分别与 ab、 都相交，则直线 cd、 的位置关系A.可能是平行直线 B.一定是异面直线 C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能13已知两条直线 ,mn，两个平面 ,，给出下面四个命题：来源:学_科_网 /, /,/mnn来源:学科网 ZXX / /其中正确命题的序号是（ ）A B C D14. 已知 ， 是两条不同直线， ，
16、是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）mnA.若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B.若 ， 平行于同一平面，则 与 平行mnC.若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D.若 ， 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面mn15. 用 a、 b、 c表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：若 ， ，则 a c；若 b， c，则 a ；若 ， ，则 ；若 a ， ，则 b.正确的是（ ）A. B. C. D.16已知直线 、 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）mnA 且 ，则 B 且 ，则/,nnm, nmC 且 ，则 D 且 ，则/17已知 是直线， 是平面，下列命题中：lnm,、
17、若 垂直于 内两条直线，则 ；l l若 平行于 ，则 内可有无数条直线与 平行；l若 mn，nl 则 ml； 若 ，则 ；/,且l lm/8正确的命题个数为（ ）A1 B 2 C3 D418已知 m、n 是两条不同的直线,、 是两个不同的平面,给出下列命题：若 , ,则 ；若 , ,且 ,则 ；若 , ,则/mnnm/； 若 , ,且 ,则 其中正确命题的序号是( )/A B C D19.设 是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，则能得出 ab的是（ ）,abA ， ， B ， ，/ab/C ， ， D ， ， / /20.如图，已知六棱锥 的底面是正六边形， 则下列结论正确ACEFP AB
18、PCPA2，平 面的是（ ）A. ADPB B. PAB平 面 C平 面C. 直线 C E平 面 D. 直线 D与 平 面 所成的角为 4521.【 2015 高考浙江】设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， （ lmlm）A若 ，则 B若 ，则llC若 ，则 D若 ，则/22已知 l，m，n 是三条不同的直线， 是不同的平面，则下列条件中能推出 的是( )Al ，m ，且 lmBl ，m ，n ，且 lm，lnCm ，n ，m/n，且 lmDl ，l/m ，且 m23下面四个命题: 分别在两个平面内的两直线平行;若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平
19、面;如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.9其中正确的命题是( )A. B. C. D.24已知直线 平 面l，直线 平 面m，给出下列命题： ； lm； l ； ml 其中正确命题的序号是（ ）A B C D25.如图，正方体 1CBA的棱长为 ，线段 1DB上有两个动点 EF、，且 21，则下列结论中错误的是（ ） EBD11FCAA E B /F平面 C三棱锥 的体积为定值 D 的面积与 BF的面积相等26.下列四个命题中，正确命题的个数是( )个 若平面 平面 ，直线 平面 ，则 ；/m/ 若平面
20、平面 ，且平面 平面 ，则 ； 平面 平面 ，且 ，点 ， ，若直线 ，则 ；lAlABl 直线 为异面直线，且 平面 ， 平面 ，若 ，则 . mn、 mnmn（A） （B） （C） （D） 012327. 如图, 在直三棱柱 中， , ，点 是 的中点，1A4,1CDAB（1）求证： ；1C（2）求证： ；D/平 面1028.如图所示,在直四棱柱 1DCBA中, A,点 M是棱 1B上一点.（1）求证： /1DB面 ；（2）求证： M；29如图，P 是 所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面 PAC 平面 ABC30.如图：在四棱锥 中，底面 ABCD 是菱形，PABCD o60AB
21、C， 平面 ABCD，点 M，N 分别为 BC，PA 的中点，且A 2P（I） 证明： 平面 AMN；（II） 求三棱锥 N 的体积；（III） 在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 平面/NM11ACE；若存在，求出 PE 的长，若不存在，说明理由。31.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， ，且 ，PABCDAPABCD平 面 PAB点 是 的中点 EPD（1）求证： ；ACB（2） 平面 E32. 一个多面体的直观图（斜二侧画法）及三视图如图所示， ， 分别为 ， 的中点MN1AB1C（）求证： 平面 ；MN1AC（）求证： 平面 ；B（）求三棱锥 的体积 133.如图，矩形 中
22、， ， ， 为 上的点，且ABCDABE平 面2BCFE。EF平 面（）求证： ；平 面（）求证； ；BFDA平 面/（）求三棱锥 的体积。GCA BCDEFG第 19 题图1234. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=2BC=2a，E 为 AB 上一点，将 B 点沿线段 EC 折起至点 P，连接PA、PC、PD，取 PD 的中点 F，若有 AF平面 PEC.（1）试确定 E 点位置；（2）若异面直线 PE、CD 所成的角为 60，并且 PA 的长度大于 a，求证：平面 PEC平面 AECD.35. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，VCACAV且 ， ， 分别为 ， 的中
23、点CA2（I）求证： 平面 ；/（II）求证：平面 平面 ；（III）求三棱锥 的体积VCA36. 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ，设 的中点为 ，1CBABC11ABD.求证：（1） ；EBC1DE/平 面（2） .1AB13ABCD EA1B1C137. 如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点， ，BEACD、（I）证明：平面 平面 ；AECBD（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.120B,EAC6338. 如图 2，四边形 为矩形， 平面 ， ， ，作如图 3 折叠，折PBD12BCP痕 .其中点 、 分别在线段 、 上，沿 折叠后点 在线段
24、上的点记为 ，并/EFDCEFFADM且 .M（1）证明： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积.图3图2MFEPDCBAPDCB A14P 基础训练 A 组一、选择题1下列四个结论：两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。两条直线没有公共点，则这两条直线平行。两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（ ）A B C D01232下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）A有一个角是直角的四边形 B有两个角是直角的四边形 C有三个角是直角的四边形 D有四个角是直角的四边形3垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
25、A平行 B相交 C异面 D以上都有可能4如右图所示，正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， 分别是 VAB ,DEF的中点， 为 上任意一点，则直线 与 所成的角的,VPDEPF大小是（ ）A B C D随 点的变化而变化。0309065互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分 A B C D45786把正方形 沿对角线 折起,当以 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 和平DA,BCBD面 所成的角的大小为（ ）CA B C D 906453015二、填空题1 已知 是两条异面直线， ，那么 与 的位置关系_。,ab/cacb2 直线 与平面 所成角为 ， ，则 与 所
26、成角的取值范围是 _ l03,lAml3棱长为 的正四面体内有一点 ，由点 向各面引垂线，垂线段长度分别为1P，则 的值为 。234,d1234dd4直二面角 的棱 上有一点 ，在平面 内各有一条射线 ，llA,AB与 成 ， ，则 。AC05,ABCB5下列命题中：（1） 、平行于同一直线的两个平面平行；（2） 、平行于同一平面的两个平面平行；（3） 、垂直于同一直线的两直线平行；（4） 、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有_。三、解答题1已知 为空间四边形 的边 上的点，,EFGHABCD,DA且 求证： . /综合训练 B 组一、选择题1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底
27、面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为 ，体积为 ，416则这个球的表面积是（ ） 620 2432已知在四面体 中， 分别是 的中点，若 ，ABCD,EF,ACBD2,4,ABCDEFAB则 与 所成的角的度数为（ ）EF 905 633三个平面把空间分成 部分时，它们的交线有（ ）7 条 条 12 条 条或 条HGFEDBAC164在长方体 ，底面是边长为 的正方形，高为 ，1ABCD24则点 到截面 的距离为 ( ) 1A B 8338C D 445直三棱柱 中，各侧棱和底面的边长均为 ，点 是 上任意一点，1CaD1C连接 ，则三棱锥 的体积为（ ）1,AB1ABA B C D36a312
28、a36a32a6下列说法不正确的是（ ）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B同一平面的两条垂线一定共面；C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.二、填空题1正方体各面所在的平面将空间分成_部分。2空间四边形 中， 分别是 的中点，则 与 的ABCD,EFGH,ABCDBCAD位置关系是_；四边形 是_形；当_时，四边形 是菱EFGH形；当_时，四边形 是矩形；当_时，四边形 是正方形3四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角V2 5形，则二面角 的平面角为_。A
29、BC4三棱锥 则二面角,73,10,8,6,PPABCA的大小为 _5 为边长为 的正三角形 所在平面外一点且 ，则 到aPaP的距离为_。三、解答题1已知直线 ，且直线 与 都相交，求证：直线 共面。/bca,bc,abc2求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；173 如图： 是平行四边形 平面外一点， 分别是 上的点，且 = ， SABCD,MN,SABDSMANBD求证： 平面/MNB提高训练 C 组一、选择题1设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：,mn,若 ， ，则 若 ， ， ，则/nm/m若 ， ，则 若 ， ，则/ /其中正确命题的序号是 ( )A和
30、B和 C和 D和2若长方体的三个面的对角线长分别是 ，则长方体体对角线长为（ ） ,abcA B 2abc221C D22223abc3在三棱锥 中, 底面 ,ABC 0,3BCDBCAaB则点 到平面 的距离是( )A B C D5a15a3a153a4在正方体 中，若 是 的中点，则直线 垂直于（ ） 1DAE1ACEA B C DC15三棱锥 的高为 ，若三个侧面两两垂直，则 为 的（ ）PPHHABA内心 B外心 C垂心 D重心186在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为 ，则二面角ABCDA21的余弦值为（ ）A B C D 123337四面体 中，各个侧面都是边长为 的正三
31、角形， 分别是 和 的中点，则异面直Sa,EFSCAB线 与 所成的角等于（ ）EFA B C D090604503二、填空题1点 到平面 的距离分别为 和 ，则线段 的中点 到 平面的距离为,cm6ABM_2从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_。3一条直线和一个平面所成的角为 ，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角06是_4正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为 ，底面对角线的长为 ，则侧面1226与底面所成的二面角等于_。5在正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， ,过 作与PABC 4,8ABPA分别交于 和 的截面，则截面 的周长的最小值是_,BDEADE三、解答题1正方体 中， 是 的中点求证：平面 平面 1ABM1MBDC2求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。193.在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，平面 平面 ，SABC4SAC,23BSAC、 分别为 的中点。MN,（）证明： ；S（）求二面角 - - 的大小；CB（）求点 到平面 的距离。N
