1、包头师范学院本 科 毕 业 论 文论文题目： 连续谱本征函数的归一化 院 系： 物理科学与技术学院 专 业： 物 理 学 姓 名： 赵 德 胜 学 号： 0809320046 指导教师： 林 海 二 一 二 年 四 月内容摘要根据波函数统计诠释,波函数应满足归一化条件.从三种情况讨论波函数的归一化问题.对于分立谱要对其进行归一化，而对于连续谱要对其进行归一化，实则就是他们所选的” 归一化” 标准不同，但他们之间又有很多微妙的差别和联系，在具体的解决问题时可以体现出来。波函数（也可称概率幅）是描写粒子体系的量子状态的函数，是概率波，所以对其归一化的研究是非常有意义的。关键词：波函数；归一化；概率
2、密度；本征函数；边界条件AbstractAccording to the statistical interpretation wave function, wave function should meet the normalization conditions. From three of the wavelet function to discuss a normalized problem.For division spectrum in its normalization, while for the continuous spectrum in its return change
3、, actually is they selected “normalization“ standard between different, but they have a lot of subtle differences and connections, in specific solutions can be reflected. Wave function (can say that probability amplitude) is a description of the quantum state of the particle systems is probability w
4、ave function, so for its normalization research is very significant.Key words: Wave function；Normalization ；Probability density； Eigen function；Boundary conditions目录引言11.什么是归一化22.表同态的不同波函数的归一化 33.连续谱本征函数的“归一化”44.箱式归一化55.总结7参考文献8致谢91引言与经典物理不同 ,在量子力学中是用波函数来描述微观粒子运动状态的.但并不是所有的波函数都有意义 ,只有那些满足波函数标准条件的函数才
5、能用来描述微观粒子的运动状态. 根据波函数的统计诠释 ,量子力学对波函数( ,t) 提出的要求之一便是一个真实的波函数需要满足归一化条件(平方可r积),即 |( ,t) | r = 1,量子力学理论体系是在几个基本假定的基础r23d上建立起来的.将有关的基本假定概述如下:量子力学体系的状态由一个波函数描写,力学量用厄密算符表示.力学量算符的本征函数组成一个完备系,且可以构成一个正交归一的完备系.量子力学体系的任一状态波函数 均可按上述的正交归一完备函数系展开.当体系处于 态时,测量力学量 F 得到的结果必为 F的某个本征值,得到此结果的概率 (或概率密度) 为上述展开式中相应本征函数的系数的模
6、平方.总的概率当然应该等于 1,于是就要求把本征函数和状态波函数归一化,这就是归一化的物理意义.可见,波函数的归一化问题在量子力学中的地位是多么重要. 本文便从以下几种情况讨论波函数的归一化问题.2一、什么是归一化由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于一，因而粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。如果把波函数在空间个点的振幅同时加大一倍，并不影响粒子在空间各点的概率，换句话说，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。量子力学中的波函数的这种性质是其他波动过程（如声波、光波等等）所没有的。对于声波、光波
7、等，体系的状态随振幅的大小而改变，如果把各处振幅加大为二倍，那么声或光的轻度到处都加大为四倍，这就完全是另一个态了。 下面用数学来表达波函数的这种性质，设波函数 描写粒子的状态，),(tzyx在空间一点过（x,y,z）和时刻 t，波的强度是 ， 表示 的共轭复2数。以 dW（x，y，z，t）表示在时刻 t、在坐标 x 到 x+dx、y 到 y+dy、z 到z+dz 的无限小区域内找到粒子的概率，则 dW 除了和这个区域的体积成比例外，也和在这个区域内没一点找到粒子的概率成比例。按照d波函数的统计解释，在这个区域内一点找到粒子的概率与 成比例，2t)z,y(x 所以 dW（x，y，z，t）= ，
8、始终 C 是比例常数。以体积 除概dC2t)z,y(x d率 dW，得到在时刻 t、在（x，y，z）点伏击单位体积内找到粒子的概率，我们成这个概率为概率密度，并以 表示：),(tzw。2),(),( tzyxCdyxWtzyx将上式对整个空间积分，得到粒子在整个空间中出现的概率，由于粒子存在于空间中，这个概率等于 1，所以有 ，1t)z,( 2d式中积分号下的无穷大表示对整个空间积分。由 式有1t)z,y(x 2dC3dC21前面曾提到，波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的概率，即不改变波函数所描写的状态。现在把 式所确定的 C 开方后乘d21，并以 表示所得出的函数： = 。t
9、)z,y(x t)z,y(x C则波函数 和 所描写的是同一个状态。于是，由 dW（x，y，z，t）=，在 t 时刻、在（x，y，z）点附近体积元 内找到粒子的概dC2t)z,y(x d率是 dW（x，y，z，t）= ，概率密度是 w（x，y，z，t）=d2t),( 。2),( 而 式改写为 。满足上式的波函数1t)z,y(x 2dC1t)z,y(x 2d成为归一化波函数，上式成为归一化条件，吧 换成 的步骤成为归一化，使换成 的常数 成为归一化因子。二、表同态的不同波函数的归一化如果粒子可以处于用波函数 ( ,t)和 ( ,t)=A ( ,t) 描述的状1r2r1r态 (其中 A为任意复常数
10、 ) ,分别用 ( ,t)和 ( ,t) 来表示两者坐标的取值概率密度 ,则有( ,t)= = = ( ,t) 显2rd22t),r( dA212t),r( 1r然 ,两者给出的坐标的取值概率密度是完全相同的 . 即两个相差一个复常数的波函数描述的是同一个状态 . 在这一点上 ,概率波与经典波有着本质的差别 . 一个经典波的波幅若增大一倍 ,则相应的波的能量将为原来的四倍 , 因而代表完全不同的波动状态 . 经典波根本谈不上归一化 ,而概率波却可以进行归一化 . 那么 ,如何对该波函数进行归一化呢?我们可以根据波函数所特有的这个性质 ,去选择一个恰当常数因子 .又由于4( 为实常数) ,如果
11、=1对整个空间积分为 1,则12ie 2t),r( 对整个空间积分也等于1 ,也就是说波函数可以相差一个复常数因2t), r(i子 .这样 ,我们可以利用 t),r( 来构造一个新的波函数 ( ,t)=c(t)( ,t) rr式中 c(t)是任意一个只与时间相关的函数 . 全新波函数 ( ,t) 满足则利用构造的波函数可以得到归一化常数 c(t)=1t),r( 2d,其中称为相因子 , 通常选为零 .至此 ,该类波函数归一化完ie2, 毕 ,此时坐标 的概率密度 ( ,t)= .2rr2t)r(三、连续谱本征函数的“归一化”并不是所有的波函数都可以按 |( ,t) | = 1的要求归一化 。
12、这种归r2d一化条件要求波函数绝对值平方 在整个空间是可以积分的波函数t),(|( ,t) | 是有限的。如果合格条件不被满足，即 |( ,t) | r2d r2发散，此时，归一化常数c（t）等于零零 ,显然这种归一化是没有意义的 . d以动量本征态为例 ,粒子的本征态为 p的本征函数为 ， p为可以取全ripce)(空间中连续变化的一切实数值 . 不难看出 ,只要 c 0 , | ( )| = 。 即 是不能归一化的 . 讨论至此 , 连续谱本征函数的2d2c)(rp“归一化”似乎不可能实现了 , 不过如果在数学上不过分严格要求 ,引用Dirac的函数 ,该“归一化”问题便迎刃而解了 . 仍
13、以动量本征态为例 ,本征值 p的本征函数 ，式中 c是归一化常数 . 为了确定 c的数值 ,计算积分rpipce)( dxyzpypxidr zyxp )()()()(2 hv因为 式中 是以 为宗 )(exxxpi xx量的函数. 3所以有5)()2)()()()2)( 33 pcppcdr zyxp 因此，如果去 ，则 归一化为函数 ，23rp)()(drp=pex)2(13ri不是按归一化条件 (平方可积 ) 要求的那样归一化为1 , 而是归一化为)(rp函数 , 这是由于 所属的本征值 可以取任意值 , 动量的本征谱组成连续)rpp谱的缘故 .可见 ,无论力学量的本征值组成分立谱还是连
14、续谱 , 本征函数和状态波函数都应该是归一化的 ,也是可以归一化的 ,其物理意义是一样的 ,都表示测量力学量得到所有各种可能的结果的总概率等于1 ,只是数学表达的形式有所不同 .同样 ,坐标本征态也是不能归一化的 ,也可类似处理 ,用函数来表述其“归一化”,这里就不再赘述了。 4四、箱式归一化在一些具体问题中遇到动量的本征值问题时 ,常常需要把动量的连续本征值变为分立本征值进行计算 ,最后再把分立本征值变回连续本征值 . 这种情况可以通过箱归一化来实现 ,即设想粒子被限制在一个正方形箱中 ,箱的边长为 L,取箱的中心作为坐标原点 . 要求波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值 , 此即周
15、期性边界条件 . 在此条件下有 可解出 ，)2()(LppLnpxx2， 可见 ， ， 均取分立值。 5 Lnpyy2Lnpzz2.),10,(zyx xyz在加进周期性边界条件后 ,选取归一化常数 ，则 = ,动量23Lcp)(231rpie本征函数可以归一化为1 ,即有 此即箱1)(223 LLp dzyxdr归一化。当 L 时 ,本征值谱就由分立谱变为连续谱 ,此时Px,Py,Pz连续变化 ,则6值得提出的是 , 参考文献中 ,讨论了“在理)()2(1)/(3rpedri 想化的问题中波函数的归一化”问题 , 并给出了连续谱本征函数及波函数的归一化问题的“最一般情况下的公式” ,这里不再
16、讨论 .如前所述 , 由于概率描述中实质的问题是相对概率 ,因此 ,在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数 . 实际的波函数当然不会是一个理想的平面波或波包 , 但如果一个粒子态可以用一个很大的波包来描述 , 波包的广延比所处理的问题的特征长度大得多 ,而且在问题所涉及的空间区域中粒子的概率密度可视为常数 , 则不妨用平面波来近似代替 ,例如在散射理论中 ,入射粒子态常用平面波来描述 . 当然以后在量子力学的发展中可能还会遇到更多的不同类型的实际的波函数 ,那么其归一化问题还将得到进一步的研究和讨论。 67总结正如上述所说，并不是所有的波函数都有意义，只有那些满足波函数标准条件的
17、函数才有意义，波函数的归一化就是其中要求之一。这样，无论是什么情况，都可以按上述进行归一化，使波函数有意义，方便计算和运用。8参考文献1 周世勋. 量子力学教程M. 高等教育出版社. 1979.2 井孝功. 量子力学M. 哈尔滨工业大学出版社. 2004.3 曾谨言. 量子力学教程M. 科学出版社. 2003. 4 吴大猷. 量子力学(甲) M. 科学出版社. 1998. 5 朱振和. 连续谱本征函数及波函数的归一化J. 中央民族大学学报(自然科学版). 2004. 13 (2). 6 李建荣. 径向波函数的归一化系数J. 云南师范大学学报.2003.23 (3).9致谢衷心感谢对我论文细心指导的林海老师，在老师的帮助下，使我的论文得以如期完成，并且对物理学有了新的认识，对量子力学也有了新的认识，同时感谢物理科学与技术学院的全体老师在四年之中的栽培。
