1、2.1.2 空间中两直线的位置关系,同一平面内的两条直线有几种位置关系？,相交直线 （有一个公共点）,平行直线 （无公共点）,复习引入,两条笔直的路相交,两路相交,立交桥,立交桥中, 两条路线AB, CD,既不平行，又不相交,要用数学的眼光看世界,在如图所示的正方体的棱所在的直线中， 你能找出一对既不相交也不平行的吗？,很显然，由初中学习的平面几何拓展到高中学习的立体几何，两条直线出现了第3种位置关系-既不平行也不相交，你能画出它们的图像吗？,直观图的画法,直观图的画法,观图的画法,分别在两个相交平面内画,异面直线的定义：,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线,画法：(利用平面作为衬托)
2、,异面直线,两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.,1.异面直线的定义:,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）。,两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.,注1,1、相交,2、平行,只有一个公共点,没有公共点,在同一平面,空间中两直线的三种位置关系,3、异面,没有公共点,不同在任一平面,按平面基本性质分,共面,相交直线,平行直线,不共面,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,空间中直线与直线之间的位置关系,发挥你的想象力:,练习1 ：下列说法是否正确 （1） ,则 与 是异面直线
3、（2） 不同在平面 内，则 与 是异面直线,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,不同在平面 内,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,练习,判断下列各命题的正误：,1没有公共点的两条直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,2平面内一点与平面外一点的连线，和平面内的直线一定是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,3分别在两个平面内的两条直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,4在空间既不平行也不相交的直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,5和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线,练习,判断下
4、列各命题的正误：,6不在平面 内的两条直线是异面直线,练习,判断下列各命题的正误：,7不可能在同一平面内的两条直线是异面直线,练习提升,“a，b是异面直线”是指 ab=,且a不平行于b； a 平面 ，b 平面 且ab= a 平面 ，b 平面 不存在平面 ，能使a 且b 成立,1、,上述结论中，正确的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对,C,C,3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行
5、直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面,D,D,探究,下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对,3,直线EF和直线HG,直线AB和直线HG,直线AB和直线CD,3.异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,(2)问题
6、提出,(1)复习回顾,(3)解决问题,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 aa , b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,(4)理论支持,：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?,观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间
7、有何关系？,ab c d e ,公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,平行线的传递性,推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行,：在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结论是否仍然成立呢？,定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ADC与A1D1C1 , ADC与A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?, a
8、a , a a a a (公理4),解答： 如图,设a 与 b 相交所成的角为1, a 与 b 所成的角为2 ,同理 bb, 1 = 2 (等角定理),答 :这个角的大小与O点的位置无关.,三、异面直线所成角的定义：,1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分别引直线a1a，b1b。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,b,为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。,2.异面直线a和b所成的角的范围：,如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。,因此，异面直线所成角的范围是（0， ,3、特例：,下图长方体中,平行,相交,异面,点击 旋转
9、长方体, BD 和FH是 直线, EC 和BH是 直线,BH 和DC是 直线,(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?,4,分别是 ：CG、HD、GF、HE,(1)说出以下各对线段的位置关系?,例1,例2.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。,解：（1）与直线BA1成异面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D,（2）B1BC1C A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角 易求得所成的角为,例2 如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边
10、形,例3. 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？,连接HA、AF，,(2)连接FH，,四边形BFHD为平行四边形，HFBD,HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角,则AH=HF=FA, AFH为等边,求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角,如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,课堂练习1,如图，正方体中，求 A1B1与C1C所成的角 AD与B1B所成的角 A1D与BC1所成的角 D1C与A1A所成的角 A1D与AC所成的角,课堂练习2,1.空间两直线的位置关系：,定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线,小结：,
