1、1.2 概率的定义及计算,历史上概率的三次定义, 公理化定义, 统计定义, 古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,则称 为事件 A 发生的 频率,频率的性质,事件 A, B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson
2、 ) 投币,例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y:
3、0.0202 Z: 0.0006,频 率 的 应 用,第五章指出:当试验次数较大时有,事件发生 的概 率,事件发生 的频 率,根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率,近百年世界重大地震,1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万 1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万 1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万 1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万,“重大”的标准, 震级 7 级左右, 死亡 5000人以上,1948.06.2
4、8 日本福井地区 7.3 0.51 万 1970.01.05 中国云南 7.7 1 万 1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万 1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万 2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万 2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万,世界每年发生大地震概率约为14%,概率的 统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆
5、动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观易懂,缺点：粗糙模糊,不便 使用,设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,概率的 公理化定义,公理化定义,概率的性质,若,对任意两个事件A, B, 有,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+ P(B AB),加法公式：对任意两个事件A, B, 有,推广：,一般：,右端共有 项.,例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答
6、出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王,解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率(2) 至少有一类问题能答出的概率(3) 两类问题都答不出的概率,(2),(3),例1,课后同学问：,例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是？,若是的话, 则应有,而现在题中并未给出这一条件.,在1.4中将告诉我们上述等式成立的,条件是 ：事件 相互独立.,课上有同学提问,最小值是否正确？,例2 中回答当 时, 取得,这相当于
7、问如下命题是否成立,答：不成立 ！,式是“羊肉包子打狗 ”有去路,没回路,为什么呢？学了几何概型便会明白.,例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？,解,最小值在 时取得, 最小值, 最大值,最大值在 时取得,例2,排列组合有关知识复习,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有,全排列,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放回地）组成一组,不同的分法共有,设随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限；每个基本事件等可能性发生。,
8、则称 E 为古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,2.3 古典（等可能）概型,记随机试验E样本空间为,则基本事件 两两互斥，且,又 及 ，得,事件 包含基本事件：,则,设 随机试验E 具有下列特点：,基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,概率的 古典定义,古典概型,例3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球（ ), 求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率,解 （1）不放回情形,E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 m 次,:,记事件 A 为m个球中有k个白球，则,例3,又解
9、E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色,1:,记事件 A 为m个球中有k个白球,不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同.,则,因此,称超几 何分布,（2）放回情形,E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去,重复 m 次,2:,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则,称二项分布,例2.6 袋中装有5个白球3个黑球，从中任取两球，求两球都是白球的概率,解 设 表示事件“取出的两球都是白球”，,基本事件总数为 ，,包含的基本事件数为,则由古典概率得,例2.7 设某一箱子装有同种类型的电子元件100个，其中有95个合格品，5个不合格品从箱子中任取4个电
10、子元件，问其中恰有1个不合格品的概率是多少？,解 设 表示事件“取出的4个元件中恰有1个不合格品”,基本事件总数为,所包含的基本事件数为,则由古典概率得,例2.9 设某城市共有 辆汽车，车牌号码从 到 ， 有一个人将他所遇到的该城市的 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码恰好为 (1 )的概率,解 这种抄法可以看作是从 个不同的号码中允许重复地抽取 个号码的排列，,因为最大车牌号码不大于 的取法共有 种，,设 表示事件“抄到的最大车牌号码正好为 ”，则有,共有 种可能的取法，这是基本 事件的总数,而最大车牌号码不大于 的取法共有 种，,
11、因此最大车牌号码正好是 的取法共有 种,例2.8 从1, 2, 10这十个数字中任取三个，问大小在中间的数字恰好为5的概率是多少？,解 设 表示事件“取出的三个数字大小在中间的数字恰好为5”,基本事件总数为 ，,所包含的基本事件数为 ，,因此所求概率为,例2.10 将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级去，其中一班4名，二班5名，三班6名(1)求每一个班级各分到一名优秀生的概率；(2)求3名优秀生都分到二班的概率,(2)设 表示事件“3名优秀生都分到二班”，,解 基本事件总数为 ,(1)设 表示事件“每一个班级各分到一名优秀生”，,则有,所包含的基本事件为,则有,所包含的基本事件
12、数 ，,设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；,（4）恰有 k 个盒子中各有一球；,（3）某指定的一个盒子没有球；,（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),（5）至少有两个球在同一盒子中；,（6）每个盒子至多有一个球.,例4 （分房模型）,例4,解,设 (1) (6)的各事件分别为,则,例5 “分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人，求至少有两,人生日相同（设为事件A ) 的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子
13、”,若 n = 64，,每个盒子至多有一个球. 由例4（6）,例5,解,例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,例6,解,设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积 能被10整除”,设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数”A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”,A = A1 A2,例7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数,求 n 个数字的乘积能被10整
14、除的概率.,例7,1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型.,3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.,2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回试验的两种不同设计. 一般 越小越好.,若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,( 即实际推断原理 ),例8 区长办公室某一周内曾接待过9次来,访, 这些来访都是周三或周日进行的,是
15、否,可以断定接待时间是有规定的？,解 假定办公室每天都接待，则,P( 9次来访都在周三、日) = = 0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的.,例8,柯尔莫哥洛夫,( A. H. 1903-1987 ),1939年任苏联科学 院院士.先后当选美,法, 意,荷,英,德 等国的外籍 院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄 国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一 系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论 公理系统, 奠定了近代概率论的基础.,他又是随
16、机过程论的奠基人之一, 其主要工作包括:,20年代 关于强大数定律、重对数 律的基本工作;,1933年在概率论的基本概念 一文中提出的概率论公理体系(希尔伯 特第6问题),30年代建立的马尔可夫过程的两 个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立 弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论, 经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,在动力系统中开创了关于哈密顿系 统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年代中期开创了研究函数特征的,信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第13问题,用较少变量的函数表示较多变量的 函数 ;,60年代后又创立了信息算法理论;,1980年
17、由于它在调和分析, 概率论, 遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作 获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引 下,大批数学家在不同的领域内取得重 大成就.其中包括.M.盖尔范德,B. 阿诺尔德, .西奈依等人.,他还非常重视基础教育, 亲自领导 了中学 数学教科书的编写工作.,例9 某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，已知电台是整点报时的，问他等待 报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,几何概型,几何概型设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为,解 设两个数分别为 、 ，0 1，0 1， 为平
18、面上一点，所有点的集合构成基本空间 ，即图中的正方形区域，其面积为 ，,设 表示事件“两数之积大于 ，之和不大于1”，即 表示图中阴影部分，其面积为,因此,例2.11 任取两个不大于1的正数，试求其积大于 ，且其和不大于1的概率,例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时， 试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率.,解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 x 24船2 到达码头的瞬时为 y , 0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头,例10,用几何概型可以回答例2中
19、提出的“概率 为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“ 随机地向边,长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内” ,由于点可能投在正方形的对角线上, 所以,事件A未必一定发生.,求,完全可加性,随机地向区间 ( 0 , 1 投掷一个质点，,令事件 A 为该质点落入区间,事件 Ak 为该质点落入区间,A,附录,附录,排列组合有关知识复习,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有,全排列,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有,将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组. 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率； (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率,解,（1）,（2）,例11,( 类似于教材 P.22 例10 ),例12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求至少有一个盒子的号码与放入的球的号 码一致的概率,解 设 A 为所求的事件,设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4,则,由广义加法公式,
