1、偏微分方程,1.1 基本概念,数学物理方程通常是指物理学、力学、工程技术和其他学科中出现的偏微分方程。 反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。 连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。,1.1 基本概念,偏微分方程是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。,（1.1.1）,（1.1.2）,（1.1.3）,（1.1.4）,（1.1.5）,1.1 基本概念,偏微分方程的一般形式,注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是，必须含有未知函数的某个偏导数。,涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组。,注：除非特别
2、说明，一般假设函数u及其在方程中的各阶偏导数连续。,1.1 基本概念,（1.1.1）,（1.1.2）,（1.1.3）,（1.1.4）,（1.1.5）,1.1 基本概念,（1.1.1）,（1.1.2）,（1.1.3）,（1.1.4）,（1.1.5）,如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且它们的系数都是仅依赖于自变量的已知函数，则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。,1.1 基本概念,对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。,例,1.1 基本概念,对于线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。,当自由
3、项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。,注：齐次、非齐次是对线性偏微分方程而言的。,（1.1.1）,（1.1.2）,（1.1.3）,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.1 基本概念,1.2 三类经典方程的导出,例1.2.1 弦的微小横振动问题,弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人首先给予系统研究的。,设有一根长为L均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。,1.2 三类经典方程的导出,假设：,1. 细弦，就是与张力相
4、比，弦的重量可以忽略不计。,2. 有弹性，表示张力的大小可以按胡可（Hooke）定律来计算。,3. 柔软，是指弦可以弯曲，同时发生于弦中张力的方向总是沿着弦所在曲线的切线方向。,4. 横振动，是指弦的运动只发生在一个平面上，且弦上各点的位移与弦的平衡位置垂直。,5. 微小横振动，是指振动的幅度及弦在任意处切线的倾角都很小。,1.2 三类经典方程的导出,1.2 热传导方程的导出,例 1.2.2 热传导方程,所谓热传导，就是物体内温度较高的点处的热量向温度较低点处的流动。 热传导问题归结为求物体内部温度的分布规律。,1.2 热传导方程的导出,设物体在内无热源。,在中任取一封闭曲面S。,以函数u(x
5、,y,z,t)表示物体在t时刻M=M(x,y,z)处的温度。,1.2 热传导方程的导出,1.2 热传导方程的导出,1.2 热传导方程的导出,1.2 热传导方程的导出,下面考虑物体内部有热源（例如物体中通有电流，或有化学反应等情况）。,设在单位时间内单位体积中所产生的热量为F(x,y,z,t)，则,则有热源的热传导方程为,1.2 热传导方程的导出,无热源的情况下得到的热传导方程：,有热源的情况下得到的热传导方程：,称为齐次热传导方程,称为非齐次热传导方程,1.2 热传导方程的导出,1.2 热传导方程的导出,1.2 拉普拉斯方程的导出,1.2 泊松方程的导出,设空间中有一电荷密度为(x,y,z)的
6、静电场。,在此电场内任取一由封闭曲面S包围的区域，,由静电学基本原理知，通过S向外的电通量等于中总电量的4倍。,即,其中E为电场强度矢量， n为上的单位外法线向量。,1.2 泊松方程的导出,又由库仑定律知，静电场是有势的。即存在静电位势u=u(x,y,z)，使,E=-grad u,代入上式，得静电位势u满足以下的泊松方程,即,1.2 拉普拉斯方程和泊松方程的导出,1.3 定解条件与定解问题,一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描述，称为定解问题。,定解问题中的偏微分方程称为泛定方程。,常见的定解条件，可分为初始条件与边界条件。,1.3.1 初始条件,1.3.1 初始条件,1.3.
7、1 初始条件,1.3.1 初始条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.2边界条件,1.3.3定解问题,一个偏微分方程与定解条件一起构成对于具体问题的完整描述，称为定解问题。,1.3.3定解问题,1.3.3定解问题,1.3.3定解问题,1.3.3定解问题,1.3.3定解问题,1.3.3定解问题,1.3.3定解问题,1.3.3定解问题,1.4定解问题的适定性,定解问题的提法是否合适？,例如：这个定解问题的解是否一定存在？,解的
8、存在性问题,这个定解问题的解是否只有一个？,解的唯一性问题,此外，还要考虑解的稳定性问题（或称为解对定解条件或自由项的连续依赖性问题），即当定解条件或自由项作很小的变化时，问题的解是否也作很小的变化。,定解问题的存在性、唯一性、稳定性统称为定解问题的适定性。如果一个定解问题的解是存在的、唯一的、稳定的，称这个问题是适定的，即认为这样的定解问题的提法是合适的。,1.4定解问题的适定性,1.4定解问题的适定性,1.4定解问题的适定性,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,叠加原理的适用范围非常广泛。 叠加
9、原理对于用线性方程和线性定解条件描述的物理现象来说，都是成立的。,例如，一维热传导方程及其定解问题的叠加原理。,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,特解,通解,通解,分析,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,1.5 线性叠加原理,第二章 二阶线性偏微分方程的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,根据复合函数求导法则，有,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,记
10、,的符号是自变量可逆变换下的不变量,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,注：混合型的退缩的,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,定理：设(x,y)满足隐函数存在定理中的条件，则(x,y)是方程（2.1.10）的解的充要条件是(x,y)=c是一阶常微分方程,的通积分。,证明： 设(x,y)是方程（2.1.10）的解。,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,双曲型方程的第一标准形式,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,双曲型方程的第二标准形式,双曲型方程的第
11、一标准形式和第二标准形式统称为双曲型方程的标准形式,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,抛物型方程的标准形式,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,椭圆型方程的标准形,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型,第三章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波
12、动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,偶延拓,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,3.1一维波动方程的初值（柯西）问题,
