1、二次函数、二次方程及二次不等式的关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
2、二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=ax2+bx+c; y=a(xx 1)(xx 2); y=a(xx 0)2+n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)当 a0,f(x)在区间p,q上的最大值 M，最小值 m,令 x0= (p+q) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 0 时，f( )| + |;2(3)当 a0 时，二次不等式 f(x)0 在p,q恒成立 或,0)(2pfab;0)(2,0)2(,qfpababf或(4)f(x)0 恒成立 .,0)(;,0 cxfcba或
3、恒 成 立或典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=bx ，其中 a、b、c 满足 abc,a+b+c=0,(a,b,cR) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco两函数的图象交于不同的两点 A、B ；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 2 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 头h
4、tp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1，2) 内，求 m 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若不等式( a 2)x2+2(a2)x40),若 f(m)0,则实数 p 的取值范围是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygco
5、m126t:/.j 二次函数 f(x)的二次项系数为正，且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2x ),若 f(12x 2)0,求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygcorqmp12(1)pf( )0,则 f(0)0,而 f(m)0,m(0,1), 2m10,f(m1)0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygcoA7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 只需 f(1)=2p 2
6、3p+90 或 f(1)=2p 2+p+10 即3p 或 p1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3, ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j23答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (3， ）8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 f(2+x)=f(2x )知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，|1 2 x22| |1+2x x 22|,2x0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案 头ht
7、p:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x09 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：(1) （1 分）(,)|CCO由 y=0 知 2340x （3 分）120x （2 分）22114916ABxxm又 x1x10由 AB2=12CO+1 得 9m 2+16m=24m+1解之得 m=1 （2 分）(2) 3y(1,0)(4,)ABPxy设由 S=5 知 y= 2 （2 分）230x解 之 得 或 3 （2 分）(0,)(,2)PP或10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/w
8、xjkygco (1) )1()()(2rmqpf )2(1 )()(2 22p prq,由于 f(x)是二次函数，故 p0,又 m0,所以，pf ( )0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(22m (2)由题意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r当 p0 时，由(1）知 f( )01若 r0,则 f(0)0,又 f( )0,所以 f(x)=0 在(0 ， )内有解;m1m若 r0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=( )+r= 0,p2rp2又 f( )0, 所以 f(x)=0 在( ,1)内有解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1当 p0 时同理可证 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j学生练习：例 1关于 的方程 有一根在 0 与 1 之间，另一根大于 2，求实数 的取值范围 x2ax a例 2已知方程 在 上有实根，求实数 的取值范围k3)1,(k例 3求实数 的取值范围使 至少有一个正根m262mxx例 4关于 的方程 至少有一个小于 的实数根，求实数 的取值范围x02a1a答案：1. 2. 3. 4. 43a25169k1m2a
