1、第十九章相似三角形小结与复习一、掌握本章知识结构二、按照“特殊一般特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展过程，把握本章的两个重点1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形2.相似三角形所对应的基本图形.(1)类比推广：从特殊到一般，如图(2)从一般到特殊：要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判3.熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.三、通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想及方法例 1 已知： cbaba:.45,32求的值.分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：(1)设比值为 k;(2)比例的基本性质；(3)方
2、程的思想，用其中一个字母表示其他字母.解法一 由 4532cba及，得 a:b=2:3,b:c=5:4,即 a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k,则(a+b):(bc)=25:3.解法二 4,3cba 51., 325cba解法三 4,32cba,a=4,32515bcb例 2 已知：如图 5126(a)，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线交于 O 点，过 O 作 EFBC，分别交 AB，DC 于 E，F.求证：(1)OE=OF;(2) EFBCAD21;(3)若MN 为梯形中位线，求证 AFMC.分析：(1)利用比例证明两线段相等的方法.若 dca,a=c(
3、或 b=d 或 a=b)，则 b=d(或 a=c 或 c=d)；若b,则 a=b(只适用于线段，对实数不成立)；若 dca, ,a=a,b=b,c=c,则 d=d.(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.(3)证明 EFBCAD21时，可将其转化为“ cba1”类型后：化为bca直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为 1；直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长 BA，CD 交于 S，AFMC AFMC 成立.(5)用运动的观点将问题进行推广.若直线 EF 平行移动后不过点 O，分别交 AB，B
4、D，AC，CD 于 E，O1，O2，F，如图5126(b),O1F与 O2F 是否相等?为什么?(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等.例 3 已知：如图 5127，在 ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，DEAC 于 E，F 为DE 中点，BE 交 AD 于 N，AF 交 BE 于 M.求证：AFBE.分析：(1)分解基本图形探求解题思路.(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)的方法，利用 ADEDCE 得到 CFDEA结合中点定义得到 BCD,结合3=C,得到 BECAFD，因此1=2.进一步可得到 AFBE.(3)总结
5、证明四条线段成比例的常用方法：比例的定义；平行线分线段成比例定理；三角形相似的预备定理；直接利用相似三角形的性质；利用中间比等量代换；利用面积关系.例 4 已知：如图 5128，RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，DEAC 于E，DFBC 于 F.求证：(1)CD3=AAEBFAB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：(1)掌握基本图形“RtABC，C=90，CDAB 于 D”中的常用结论.勾股定理：AC2+BC2=AB2.面积公式：ACBC=ABCD.三个比例中项：AC2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB. BDAC2(2)灵活运
6、用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等.(3)学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法.证明 a3 型：先得到 a2=bc 型，再两边乘方，求出 a4 来，进行化简(证法一).或在 a2=bc 两边乘以同一线段 a，再进行化简(证法二).证明 a2:b2=c:d 型问题的常用方法：()先证 nmba2,再利用中间比证明 dcnm()先证 yx再两边平方：2yxba,然后设法将右边降次，得 dcyx2()先分别求出 fenm,两式相乘得 nfeba2,再将右边化简.证明 a3:b3=c:d 型问题的常用
7、方法：()先用有关定理求出 yxba2，再通过代换变形实现；()先证 yx,两边平方或立方，再通过代换实现；()先分别求出 febanm, yx,然后相乘并化简： dcnfymexba3第(1)题：证法一 CD2=ADBD, CD4=AD2BD2=(AEAC)(BFBC)=(AEBF)(ACBC)=(AEBF)(ABCD).证法二 CD2=ADBD,CD= ABC CD3=ADBD =ABD=AEBFAB.第(2)题：证法一 ADBACB2,利用 BDFDAE，证得 AECDF,命题得证.证法二 由 AECAEDCBA222,得证法三 BCDCAD， EF(相似三角形对应高的比等于对应边的比)
8、 DEBC， ADCB, AECDFE2第(3)题：证法一 B2, ACEFDACB24, EBF3证法二： ADCCDB，B AEBFCDEFDEFAC233证法三 BAB, AEFDEFCAC3四、师生共同小结在学生思考总结的基础上，教师归纳：1.本章重点内容及基本图形.2.本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法.五、作业课本第 261265 页复习题五中选取.补充题：1.利用相似三角形的性质计算.已知：如图 5129，在 RtABC，中ACB=90，E 为 AB 上一点，过 E 作 EDBC交 AC 于 D，过 D 作 DFAC 交 AB 于 F.若 EF：FB=2:1，ED=
9、2，CD= 56,求 FB 的长.(答：2)2.证明相似三角形的方法.如图 5130，在 ABC，中C=60，AD，BE 是 ABC 的高，DF 为 ABD 的中线.求证：DE=DF.(提示：证明 CDECAB，得到 21ABDE.)3.已知：如图 5131，ABC 内一点 O，过 O 分别作各边的平行线DEBC，FGAB，HKAC.求证：(1)1BCGKADHEF(2)设 SOEF=S1,SODH=S2,SOGK=S3,SABC=S.则 SS3214.构造相似三角形来解决问题.(1) 已知：如图 5132，ABC 中，点 E 为 BC 中点，点 D 在 AC 上，AC=1，BAC=60ABC
10、=100，DEC=80.求 SABC+2SCDE；(答： 83)(提示：延长 AB 至 F，使 F=AC.作BCF 平分线交 AF 于 G.(2)已知：如图 5133，在 ABC 中，A：B：C=1:2:4.求证：BCA1.(提示：把 变形为 BCA1，进一步变形为BCA.设法构造相似三角形，使其对应边的比分别为 BCA和，作 AE=AC,交 BC 延长线于 E，延长 AB 至 D，使 BD=AC.)5.构造基本图形(平行线分线段成比例定理).已知：如图 5134，ABC 的三边 BC，CA，AB 上有点 D，E，F.若 AD，BE，CF 三线交于一点 O.求证：1EACDBF.(塞瓦定理)课堂教学设计说明本教案需用 1 课时完成.本节例 2 在三角形相似的判定(四)中出现过，如果学生已经掌握，教师可在这节复习课中选取补充题 2 或其它题目说明利用比例证明线段相等的方法.
