1、 APC B 向量题型分析，难题集一、向量法证明几何、三角函数中定理、公式例 1 向量法证明两角差的余弦公式 sincos)cos(析：教科书上的探究有利用单位圆上的三角函数线和向量的知识，运用向量工具进行探索，过程十分简洁！例 2 证明：对于任意的 ，恒有不等式Rdba,.222cc证明：设 , vu,vu22dcbadc即 例 3 向量法证明勾股定理。证明：如图， ,bac 2222 bababc 即 22利用向量还可以证明平面几何的许多命题，例如菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分以及关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质。例 4在ABC 内求一点 P，
2、使 的值最小。22CPBA解：如图，设 = ， = ， = ， = ， = 。CabxaBxb 22BAP= + +x()()x=3 2（ + ） + +b2=3 + + 。)(31a2)(31ba根据向量运算的意义，知当 时， 有最小值。x()b22CPBA设 M 为 AB 的中点，易知 = ，abM即当 时， ，此时 P 为三角形的重心。1()33二、向量法解决代数中的最值问题例 5 求 的最值.22,4.(,)xyabxyabRxby解：构造向量 .mn因为 223xyxya所以 23ab评：向量是解决数学问题的重要工具，根据函数的形式，结构特征，巧妙构造向量可化难为易，获得新颖、快捷的
3、解法。BA C例 2： 求函数 的最大值。3245yxx解：因为 ； 05所以 324325yxxx设 ,1,pq则 97.13ypq当且仅当 与 平行且方向相同时不等式取等号即， 3252x解之得，当 时，819max13y3向量的线性运算，面积结论，三角形几个心问题1.已知 O 是 所在平面内的一点，内角 A,B,C 所对应的边长分别为 ，若 ，则 OABC ,abc0OAbBcC是 的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2 已知 O 是 所在平面内的一点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 ,ABC ACB,则动点 P 的轨迹一定通过0ABCA.外心 B.内心 C.重心
4、D.垂心3 已知 O 是 所在平面内的一点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 ,ABC ABCO,则动点 P 的轨迹一定通过0ABCA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心4 已知 O 是 所在平面内的一点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足ABC, ,则动点 P 的轨迹一定通过coscsAPC 0ABCA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5 的外接园的园心为 ，P 是 所在平面上的一点，若ABCOB，则 P 必过三角形的 ( )()()1123OPRllll-+-+=外心 内心 重心 垂心)(C)DPCA BQ6 若定点 O 满足 ，则 O 是 （ ）222AB
5、COACB+=+AC外心 内心 重心 垂心()()()()D7 设 , , ,点 是线段 上的一个动点, ,若 ,则实数 的取值范(0)1(0)PPBPAB围是.A2.B21.C2.D218 如图,设 为 内的两点 ,且 , ,PQA25APBCAQ23B14,则 的面积与 的面积之比为( ) ACBA. B. C. D. 1545149 如图，已知 为 上一点，P 为 外一点，满足 = 2，ABAB|PBA， ， 为 上一点，且有 ，则 的值52|PA|C I )0(|(APCI |BAI为（ ）A1 B2 C +1 D 15510 若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为 aba
6、b0bac)(ac（ ）（ ） （ ） （ ） （ ）A0B6C3D211 在直角三角形 中，点 是斜边 的中点，点 为线段 的中点，则 =CDABPC2PABCA2 B4 C5 D1012 如图所示，直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，2x2:14xy12,E记 ，任取双曲线 上的点 P，若 ，12,OEe12,()OaebR、则 满足的一个等式是 _ ,ab13 已知 O 为锐角 ABC的外心，210,6AC，若 ACyBxO，且 253yx，则AO14,B,P 是直线 l上不同的三点，点 O 直线 l外，若 BmAP32，则PA15.各棱长都等于 2 的四面体 ABCD 中，设 G 为
7、BC 的中点，E 为 C内动点，且 BDGE面/，若1BDAE，则3CE16 平面上 O,A,B 三点不共线，设 ，则OAB 的面积等于（c ）,OA=aBb(A) (B) 22|()ab 22|()a(C) (D) 1| 1|17 设 ， ， ， 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，1A234 1312A1412A且 ,则称 ， 调和分割 ， ,已知点 C(c，o),D(d，O) (c，dR)调和分割点 A(0，0)，B(1，0)，34A12A则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点(C)C，D 可能同时在线段 AB 上
8、(D) C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上18 已知 不共线，且有 ,则请比较 的大小_,AB132ABCAB,ACB19 设 是 内的一点，求 的最小值oC22O20 设向量 满足| |=| |=1, ,， = ，则 的最大值等于abc、 、 ab1=,acb06c(A)2 (B) (c) (D)13221 在ABC 中，E、F 分别为 AB，AC 中点.P 为 EF 上任一点,实数 x，y 满足 PA+x B+y PC ABDC=0.设ABC，PBC，PCA，PAB 的面积分别为 S， 1， 2， 3S，记 1, 2S, 3,则 23A取最大值时，2x+y 的值为A. -1 B.
9、1 C. - 32 D. 22 定义域为a,b的函数 ()yfx图像的两个端点为 A、B，M（x,y）是 ()fx图象上任意一点，其中(1),xaba,已知向量 (1)ONO，若不等式 |Nk恒成立，则称函数),f在上“k 阶线性近似 ”。若函数 y在1 ，2上“k 阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为A 0B 1,)2C 32,)D 32,)23 给定两个长度均为 2 的平面向量向量 OBA,，它们的夹角为 。150，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动.若OByAxC3，则 yx的最大值是 24 在平面直角坐标系中点 0,5A.对于某个正实数 k，存在函数 02axf，使得 OQ
10、AP,其中点 QP,的坐标分别为 kff,1,，则 的取值范围是 25 如图 1：OMAB ，点 P 由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且 ，则实数对（x,y ）可以是OBAxA B. )43,1( )32,(C. D. ,57,126 设 P 是ABC 内任意一点，S ABC 表示ABC 的面积， 1 ， 2 ， 3 ，定义 f(P)ABcPCSABCPSABCPS=( 1, , 3),若 G 是ABC 的重心，f (Q)（ ， ， ） ，则 （ ）22136A点 Q 在GAB 内 B点 Q 在GBC 内 C点 Q 在GCA 内 D点 Q 与点 G 重
11、合27 设 D 是正 123P及其内部的点构成的集合，点 0P是 123的中心，若集合0|,|,12,3iS，则集合 S 表示的平面区域是 ( )A 三角形区域 B四边形区域 C五边形区域 D六边形区域28 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 . 若两个非零的平面向量 ， 满足 与 的夹角ab，且 和 都在集合 中，则 ,42ab2nZ abA. B. C. 1 D. 531229 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 ，则点 O 是 ABC 的 （ ）OABCA（A）三个内角的角平分线的交点 ( B）三条边的垂直平分线的交点(C）三条中线的交点 （D ）三条高的交点30 已知两点 且点 P 使 成公差小于零的等差数列。则点 P 的轨迹表(1,0)(,MN,MNPAA示的曲线方程为_。31 设向量 ， 满足： ， ， 以 ， ， 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为ab|3a|4b0aba的圆的公共点个数最多为 ( c ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1A B C D345632 在四边形 ABCD 中， = =（1，1） ， ，则四边形 ABCD 的面积是 AD13BACB3
