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结构可靠度计算方法(一次二阶矩).ppt

1、,s o u t h w e s t j I a o t o n g u n I v e r s I t y,西南交通大学Southwest Jiaotong University,隧道与地下结构可靠度课程第 三 讲结构可靠度计算方法,龚 伦 副教授,主要内容,基本概念一次二阶矩理论的中心点法一次二阶矩理论的验算点法(JC法)映射变换法实用分析法,s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y,一、基本概念,西南交通大学Southwest Jiaotong University,现代的结构可靠度理论是以概率论和数理统计学为基础发展起来

2、的,要解决的中心问题是围绕着怎样描述和分析可靠度,以及研究影响可靠度各基本变量的概率模型。,1、解决的问题,结构可靠度计算方法分精确法和近似法两种。精确法:求解结构的失效概率 pf 的方法,通常称为全概率法;近似法:一次二阶矩计算方法等,虽然是近似的,但仍属概率法。,2、计算方法,结构功能函数大多是非线性函数,且非线性不是很强的条件下,但又不能直接精确积分计算得到结构的可靠度,而通过计算结构可靠指标,近似得到结构可靠度的计算方法。在通常情况下,结构功能函数的一阶矩(均值)和二阶矩(方差)较容易得到,故称之为一次二阶矩法。,3、一次二阶矩法,一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时,采用均值

3、和标准差的数学模型,求解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。该法将功能函数 在某点用泰勒级数展开,使之线性化,然后求解结构的可靠度,因此称为一次二阶矩。,s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y,二、一次二阶矩理论的中心点法,西南交通大学Southwest Jiaotong University,中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思想:首先,将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒级数展开,并保留至一次项;然后,近似计算功能函数的平均值和标准差。,1、一次二阶矩中心点法,设X1,X2,Xn是结构中n个相

4、互独立的随机变量,其平均值为 ,标准差为 ,功能函数将功能函数Z在平均值P*(X1,X2,Xn)处展开且保留至一次项,即 (3-1),2、推导过程,ZL平均值和方差为: (3-2),结构可靠指标为 (3-3),可靠指标的几何意义是什么?证明如下功能函数泰勒级数展开至一次项,即 (3-4)假定正态变换,即: (3-5),3、几何意义,将(3-5)式代入(3-4)式,得 (3-6),(3-6)式为一个超平面方程,点P*(X1,X2,Xn)到平面的距离为: (3-7),中心点法,验算点法,极限方程曲面,可靠区,均值点,显然,点P*(X1,X2,Xn)到平面的距离d,就是所求的可靠指标值,两者是相等的

5、。,P*,优点:计算简便。缺点:对于非线性功能函数,均值点一般在可靠区内,而不在极限边界上;选择不同极限状态方程(数学表达式不同,同样物理含义),得到的可靠指标不同。例如:p30例3-1。适用条件:结果比较粗糙,适用于可靠度要求不高的情况,如钢筋混凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析。,4、优缺点,例题1设X1,X2,Xn是结构中n个相互独立的随机变量,其平均值为xi(i=1,2,n),标准差为xi(i=1,2,n),功能函数Z=g(X1,X2,Xn)。求结构可靠指标?解 将功能函数Z在随机变量的平均值处泰勒级数展开,且保留一次项,即,5、举例,ZL的平均值和方差为:结构可靠指标为:,例题2

6、某结构构件正截面强度的功能函数为Zg(R,S)=R-S,其中抗力R服从对数正态分布,R=100kNm,R=0.12;荷载效应S服从极值I型分布,S=50kNm,S=0.15。试用中心点法求结构失效概率Pf?解:,结构可靠指标结构失效概率,s o u t h w e s t j I a o t o n g w n I v e r s I t y,三、一次二阶矩理论的验算点法,西南交通大学Southwest Jiaotong University,JC法是Hasofer, Lind, Rackwitz和Fiessler, Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。适用于随机变量为非正态分

7、布的结构可靠指标的计算。通俗易懂,计算精度又能满足工程实际需要。国际结构安全度联合委员会(JCSS)推荐使用,故称为JC法。我国建筑结构设计统一标准(GBJ68-84)和铁路工程结构设计统一标准(GB50216-94)中都规定采用JC法进行结构可靠度计算。,1、验算点法(JC法),将P*(X*1,X*2,X*n)定义为验算点(设计点),故称之为验算点法。又因为是在中心点法的基础上改进的,故称为一次二阶矩的改进方法。数学推导过程如下:设X1,X2, ,Xn(i=1,2,n)为基本变量,且相互独立,则极限状态功能函数方程为: (3-8)将极限方程用泰勒级数在P*(X*1,X*2,X*n)点上展开,

8、取一次项,可得极限方程为: (3-9),2、推导过程,设 (3-10)有 (3-11)将(3-11)代入(3-9),得 (3-12),Z的平均值为: (3-13)验算点在极限边界上,即又 (3-14)将(3-14)代入(3-13),得 (3-15),2.1 按定义推导,Z的标准差Z为: (3-16)则可靠指标为: (3-17),随机变量满足正态分布,即 (3-18)其中: (3-19),由(3-12),得 (3-19)此为超平面方程,均值点P(X1,X2,Xn)到超平面的距离d为: (3-20),2.2 按几何意义推导,各变量的方向余弦为: (3-21)显然,两种方法得到的结果是一致的。,将(

9、3-8)与(3-18)联立,求得和各变量值,再代入到(3-8)和(3-18),且联立求解,得到新的一组和各变量值。直到满足下式为止,即 (3-22)迭代结束,计算完成。,2.3 迭代过程,两个随机变量为正态分布时,其极限方程为,标准化变换,极限状态方程变为,(3-23),(3-24),(3-25),3、正态分布时的推导过程,式中,将(3-25)变为标准法线式直线方程,(3-26),(3-27),是坐标系 中原点 到极限状态直线的距离 (其中P*为垂足)。在验算点法中, 的计算就转化为求 的长度。,两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点,非正态分布时,可采取以下三种方法:当量正态化法(JC法

10、)映射变换法实用分析法JC法为当量正态化法,将原来非正态分布随机变量Xi用等效正态分布代替, 要求满足以下2个条件:原函数值F(xi*)与当量正态函数值F(xi*)相等原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度值f(xi*)相等,4、非正态分布时,JC法的等效正态分布图,原分布FXi(xi*),fXi(xi*),等效正态分布FXi(xi*),fXi(xi*),O,条件(1)和(2)的数学表达式为 (3-20) (3-21) 由(3-20),得 (3-22)由(3-21),得 (3-23),4.1 当量正态化法-JC法,由(3-22),得 (3-24)将(3-24)代入(3-23),得 (3

11、-25)由(3-24)和(3-25),得 (3-26),将(3-26)代入(3-18)、(3-19)和(3-20)进行迭代计算,就可求解随机变量非正态分布的可靠度问题。显然,JC法通过当量变换,使得非正态分布的随机变量满足正态分布要求,进而应用满足正态分布的方法进行迭代计算,求解非正态分布随机变量的可靠度问题。,李云贵(1993)提出映射变换法。具体数学过程如下:设结构中的n个相互独立的随机变量为X1,X2,Xn,其概率分布函数为Fi(xi)(i=1,2,n),概率密度函数为fi(xi)(i=1, 2,n),极限状态方程为 Zx=g(X1,X2,Xn)=0 (3-27)映射变换 (3-28)则

12、 (3-29),4.2 映射变换法,将(3-29)代入(3-27),得 (3-30) 由于Yi是一个标准正态随机变量 ,则 (3-31)于是 (3-32) (3-33) (3-34),其中: (3-35)对于常用的几种概率(1)Xi服从正态分布 (3-36)(2)Xi服从对数正态分布 (3-37),(3)Xi服从极值I型分布 (3-38)式中,,Paloheimo和Hannus(1972)在赫尔辛基工程力学学术讨论会提出了分位值法。有的著作中是中国铁科院姚明初(1993)提出的分位值法。本文认为仍然是Paloheimo和Hannus(1972)提出的。所谓分位值法就是映射变换法的另一种表述。n

13、个独立随机变量X1,X2,Xn,结构极限状态方程为 (3-39)映射变换 (3-40)则有 (3-41),4.3 分位值法,将(3-39)在 点进行泰勒级数展开且保留一次项,即: (3-42)于是有 (3-43)其中,(3-44) 是基本变量 对应分位概率为 的分位值。 (3-45)各变量 的“分项可靠指标” 可用(3-45)求解得到。于是得到“设计值” ,即 (3-46),变量Xi的“设计值” 与变量Xi的标准值Xik之比定义为分项系数,即 (3-47),JC法-举例,例题 已知极限状态方程: (1) (2)随机变量f,W均服从正态分布,f=38,f=0.1;W=54,W=0.05,求:两个

14、极限状态方程条件下的及f和W的验算点之值f*,W*。解 1. 首先求(1)式条件下的及f和W的验算点之值f*,W*。,由 (3)得,由 (4)得 (4-1)将上式代入(1)式,得 (4-2)将(4-2)代入(4-1),得由于 为常数,所以不需要迭代就求解出,f*,W*。,对于极限状态方程(1),若采用中心点求解可靠指标,得当极限状态方程为线性方程时,采用验算点法与中心点法求解得到的结果是一致的。,2.按极限状态方程(2)求解及f和W的验算点之值f*,W*。由(3)式,得由(4-1),得,将上式代入(2)式,得 (5)显然,(5)式的求解需要采用迭代法求解。2.1 第一次迭代取将上式代入(5),得,第二次迭代得显然,需要再迭代求解。,第三次迭代得满足迭代精度要求,迭代求解结束。,将 代入(4-1),得若极限状态方程(2)应用中心点法求解可靠指标,有:,将中心点法与验算点法计算结果进行比较经比较发现,中心点法在极限状态方程是非线性方程,求解得到的结果与验算点法有较大误差。但若极限状态方程为线性方程,则两者求解结果一致。,

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